1、考点规范练64条件概率、二项分布与正态分布基础巩固1.从装有若干个大小相同的红球、白球和黄球的袋中随机摸出1个球,摸到红球、白球和黄球的概率分别为12,13,16,从袋中随机摸出一个球,记下颜色后放回,连续摸3次,则记下的颜色中有红有白但没有黄的概率为()A.536B.56C.512D.12答案:C解析:设摸到红球、白球、黄球分别为事件A,B,C,则P(A)=12,P(B)=13,P(C)=16,从袋中随机摸出一个球,记下颜色后放回,连续摸3次,记下的颜色中有红有白但没有黄的概率P=3P(AAB)+3P(ABB)=3121213+121313=512.2.(2020山东青岛模拟)已知某市居民在
2、2019年用于手机支付的个人消费额(单位:元)服从正态分布N(2 000,1002),则该市某居民手机支付的消费额在区间(1 900,2 200)内的概率为()附:随机变量服从正态分布N(,2),则P(-+)0.682 7,P(-2+2)0.954 5,P(-3+3)0.997 3.A.0.975 9B.0.84C.0.818 6D.0.477 2答案:C解析:服从正态分布N(2000,1002),=2000,=100,则P(19002200)=P(-+)+12P(-2+2)-P(-+)=0.6827+12(0.9545-0.6827)=0.8186.故选C.3.一个盒子里装有大小、形状、质地
3、相同的12个球,其中黄球5个、蓝球4个、绿球3个.现从盒子中随机取出两个球,记事件A为“取出的两个球颜色不同”,事件B为“取出一个黄球、一个绿球”,则P(B|A)=()A.1247B.211C.2047D.1547答案:D解析:因为P(A)=54+53+43C122=4766,P(AB)=53C122=522,所以P(B|A)=P(AB)P(A)=1547.4.甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏,其中任何一人射击一次击中目标得2分,未击中目标得0分.若甲、乙两人射击的命中率分别为35和p,且甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为920.假设甲、乙两人射击互不影响,则p的值为()A.35B.4
4、5C.34D.14答案:C解析:设“甲射击一次,击中目标”为事件A,“乙射击一次,击中目标”为事件B,则“甲射击一次,未击中目标”为事件A,“乙射击一次,未击中目标”为事件B,则P(A)=35,P(A)=1-35=25,P(B)=p,P(B)=1-p,依题意得35(1-p)+25p=920,解得p=34.故选C.5.一袋中有5个白球、3个红球,这些球除颜色外其他完全相同.现从袋中往外取球,每次任取一个记下颜色后放回,直到红球出现10次时停止,设停止时共取了X次球,则P(X=12)等于()A.C12103810582B.C12938958238C.C119582382D.C1193810582答
5、案:D解析:由题意知第12次取到红球,前11次中恰有9次红球2次白球,因为每次取到红球的概率为38,所以P(X=12)=C11938958238=C1193810582.6.三个元件T1,T2,T3正常工作的概率分别为12,23,34,且是相互独立的.如图,将T2,T3两个元件并联后再与T1元件串联接入电路,则电路不发生故障的概率是()A.1124B.2324C.14D.1732答案:A解析:记T1正常工作为事件A,记T2正常工作为事件B,记T3正常工作为事件C,则P(A)=12,P(B)=23,P(C)=34,电路不发生故障,则满足T1正常工作,T2,T3至少有一个正常工作.T2,T3至少有
6、一个正常工作的概率为P1=1-P(BC)=1-1-231-34=1112.故电路不发生故障的概率P=121112=1124.7.甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时,该队获胜,决赛结束).根据前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以41获胜的概率是.答案:0.18解析:前五场中有一场客场输时,甲队以41获胜的概率是0.630.50.52=0.108;前五场中有一场主场输时,甲队以41获胜的概率是0.40.620.520.6=0.072.综上所述,甲队以41获胜的概率是0
7、.108+0.072=0.18.8.(2020广东广州模拟)某种产品的质量指标值Z服从正态分布N(,2),且P(-3Z+3)0.997 3.某用户购买了10 000件这种产品,则这10 000件产品中质量指标值位于区间(-3,+3)之外的产品件数为.(注:正态分布N(,2)在区间(-,+),(-2,+2),(-3,+3)内取值的概率分别为0.682 7,0.954 5,0.997 3)答案:27解析:因为某种产品的质量指标值Z服从正态分布N(,2),且P(-3Z+3)=0.9973,所以10000件产品中质量指标值位于区间(-3,+3)之外的产品件数为10000(1-0.9973)=27.9.
8、某光学仪器厂生产的透镜,第一次落地打破的概率为0.3;第一次落地没有打破,第二次落地打破的概率为0.4;前两次落地均没打破,第三次落地打破的概率为0.9.则透镜落地3次以内(含3次)被打破的概率是.答案:0.958解析:透镜落地3次,恰在第一次落地打破的概率为P1=0.3,恰在第二次落地打破的概率为P2=0.70.4=0.28,恰在第三次落地打破的概率为P3=0.70.60.9=0.378,因此透镜落地3次以内(含3次)被打破的概率P=P1+P2+P3=0.958.10.(2020山东枣庄期末)某高校的入学面试中有4道不同的题目,每位面试者都要回答这4道题目.已知李明答对第1题、第2题、第3题
9、、第4题的概率分别为12,13,14,15,假设对这4道题目能否答对是独立的,该高校要求至少答对其中的3道题才能通过面试.用Ai表示事件“李明答对第i道题”(i=1,2,3,4).(1)写出所有的基本事件;(2)求李明通过面试的概率.解:(1)用Ai表示事件“李明答对第i道题”(i=1,2,3,4).则所有的基本事件为A1A2A3A4,A1A2A3A4,A1A2A3A4,A1A2A3A4,A1A2A3A4,A1A2A3A4,A1A2A3A4,A1A2A3A4,A1A2A3A4,A1A2A3A4,A1A2A3A4,A1A2A3A4,A1A2A3A4,A1A2A3A4,A1A2A3A4,A1A2A
10、3A4.(2)李明答对第1题、第2题、第3题、第4题的概率分别为12,13,14,15,假设对这4道题目能否答对是独立的,该高校要求至少答对其中的3道题才能通过面试.故李明通过面试的概率为P=P(A1A2A3A4)+P(A1A2A3A4)+P(A1A2A3A4)+P(A1A2A3A4)+P(A1A2A3A4)=12131415+12131415+12231415+12133415+12131445=11120.11.某袋子中有1个白球和2个红球,这些球除颜色外其他完全相同.(1)每次取1个球,不放回,直到取到白球为止,求取球的次数X的分布列;(2)每次取1个球,有放回,直到取到白球为止,但抽取
11、次数不超过5次,求取球次数X的分布列;(3)每次取1个球,有放回,共取5次,求取到白球次数X的分布列.解:(1)由题意可知X的取值为1,2,3.P(X=1)=13;P(X=2)=2312=13;P(X=3)=23121=13.所以X的分布列是X123P131313(2)由题意可知X的取值为1,2,3,4,5.P(X=k)=23k-113,k=1,2,3,4.P(X=5)=234.故X的分布列为X12345P13294278811681(3)因为XB5,13,所以X的分布列为P(X=k)=C5k13k235-k,其中k=0,1,2,3,4,5.X012345P322438024380243402
12、43102431243能力提升12.设事件A在每次试验中发生的概率相同,且在三次独立重复试验中,若事件A至少发生一次的概率为6364,则事件A恰好发生一次的概率为()A.14B.34C.964D.2764答案:C解析:假设事件A在每次试验中发生说明试验成功,设每次试验成功的概率为p,由题意得,事件A发生的次数XB(3,p),则有1-(1-p)3=6364,得p=34,故事件A恰好发生一次的概率为C31341-342=964.13.(2020福建厦门一模)小明和爸爸玩亲子游戏,规则如下:袋中装有3个大小相同的球,1个白球,2个红球,每次摸出一个球,记下颜色后放回,若摸出白球,则下一次由原摸球人继
13、续摸球;若摸出红球,则下一次由对方摸球,规定摸球m次,最后一次由谁摸球就算谁获胜,第一次由小明摸球.(1)求前3次摸球中小明恰好摸2次的概率;(2)设第n次(nm)由小明摸球的概率为Pn,则P1=1.求P4;在m=19与m=20之中选其一,小明应选哪个?(只写结果,不必说明理由)解:(1)前3次摸球中小明恰好摸2次,即小明第1次摸到白球,第2次摸到红球或者小明第1次摸到红球之后,爸爸也摸到红球,故P=1323+2323=23.(2)第4次由小明摸球的情况有以下几种:前3次小明都摸到白球;小明第1次摸到红球,之后两次爸爸分别摸到白球和红球;小明第1次摸到红球,之后爸爸也摸到红球,之后小明摸到白球
14、;小明第1次摸到白球,第2次摸到红球,之后爸爸摸到红球.故P4=131313+231323+232313+132323=1327.应该选择m=19.14.(2020内蒙古呼和浩特模拟)为了更好地贯彻党的“五育并举”的教育方针,某市为了解全市中小学生“体能达标”情况,决定通过随机抽样选择几个样本校对学生进行体能达标测试,并规定测试成绩低于60分为不合格,否则为合格.若样本校学生不合格人数不超过其总人数的5%,则该样本校体能达标为合格.已知某样本校共有1 000名学生,现从中随机抽取40名学生参加体能达标测试,首先将这40名学生随机分为甲、乙两组,其中甲、乙两组学生人数的比为32,测试后,两组各自
15、的成绩统计如下:甲组的平均成绩为70,方差为16,乙组的平均成绩为80,方差为36.(1)估计该样本校学生体能测试的平均成绩;(2)求该样本校40名学生测试成绩的标准差s;(3)假设该样本校体能达标测试成绩服从正态分布N(,2),用样本平均数x作为的估计值,用样本标准差s作为的估计值,利用估计值估计该样本校学生体能达标测试是否合格.(注:本题所有数据的最后结果都精确到整数;若随机变量z服从正态分布,则P(-Z+)0.682 7,P(-2Z+2)0.954 5,P(-3Z+3)0.997 3)解:(1)由题知,甲、乙两组学生数分别为24和16,则这40名学生测试成绩的平均分x=7024+8016
16、40=74.故可估计该样本校学生体能测试的平均成绩为74.(2)由s2=1ni=1n(xi-x)2变形得s2=1ni=1n(xi2-nx2),设甲组学生的测试成绩分别为x1,x2,x3,x24,乙组学生的测试成绩分别为x25,x26,x27,x40,则甲组的方差为s12=124(x12+x22+x242)-24702=42,解得x12+x22+x242=24(16+702).乙组的方差为s22=116(x252+x262+x402)-16802=62,解得x252+x262+x402=16(36+802).这40名学生的方差为s2=140(x12+x22+x242+x252+x262+x402
17、)-40x2=14024(16+702)+16(36+802)-40742=48,所以s=48=437.综上,标准差s=7.(3)由x=74,s7,得的估计值为=74,的估计值=7,故P(-2X+2)=P(74-27X74+27)=0.954 5,即P(60X88)=0.954 5,所以P(X60)=P(X88)=121-P(60X88)=12(1-0.954 5)=0.022 75.从而,在全校1 000名学生中,体能达标测试“不合格”的有1 0000.022 75=22.7523(人).而2310005%,故可估计该样本校学生体能达标测试合格.高考预测15.某高校的大一学生在军训结束前,需
18、要进行各项过关测试,其中射击过关测试规定:每位测试的大学生最多有两次射击机会,第一次射击击中靶标,立即停止射击,射击测试过关,得5分;第一次未击中靶标,继续进行第二次射击,若击中靶标,立即停止射击,射击测试过关,得4分;若未击中靶标,射击测试未能过关,得2分.现有一个班组的12名大学生进行射击过关测试,假设每名大学生两次射击击中靶标的概率分别为m,0.5,每名大学生射击测试过关的概率为p.(1)求p(用m表示);(2)设该班组中恰有9人通过射击过关测试的概率为f(p),求f(p)取最大值时p和m的值;(3)在(2)的结果下,求该班组通过射击过关测试所得总分的平均数.解:(1)每名大学生射击测试
19、过关的概率:p=1-(1-m)(1-0.5)=0.5+0.5m.(2)由题意得f(p)=C129p9(1-p)3(0p1),故f(p)=C1299p8(1-p)3-3p9(1-p)2=3C123p8(1-p)2(3-4p),0p0,得0p0.75,由f(p)0,得0.75p1,f(p)在区间(0,0.75)内单调递增,在区间(0.75,1)内单调递减,p=0.75是f(p)的极大值点,也是f(p)的最大值点,此时,由0.5+0.5m=0.75,解得m=0.5.f(p)取得最大值时,p,m的值分别为0.75,0.5.(3)设一名大学生射击过关测试所得分数为随机变量X,则X的可能取值分别为5,4,2,则P(X=5)=0.5,P(X=4)=(1-0.5)0.5=0.25,P(X=2)=(1-0.5)(1-0.5)=0.25,故一名大学生射击过关测试所得分数的平均数为E(X)=50.5+40.25+20.25=4,即该班组通过射击过关测试所得总分的平均数为124=48.
