1、2.2.1 条件概率1.在具体情境中,理解条件概率的意义.2.学会应用条件概率解决实际问题.1 2 1.事件A与B的交(积)由事件A和B同时发生所构成的事件D,称为事件A与B的交(或积),记做D=AB(或D=AB).1 2 2.条件概率 对于任何两个事件A和B,在已知事件A发生的条件下,事件B发生的概率叫做条件概率,用符号P(B|A)表示.条件概率公式 P(B|A)=()(),P(A)0.1 2 知识拓展(1)计算条件概率的公式为 P(B|A)=()(),P(A)0,它可以用频率的稳定值来解释:设进行 n 次试验,事件 A 发生了 nA 次,事件 AB 发生了 nAB次,则在事件 A 发生的条
2、件下,事件 B 发生的频率 称为事件 B 发生的条件频率,可改写为=,考虑到大量重复试验时,条件频率 的稳定值即为条件概率 P(B|A),又因为事件AB 发生的频率、事件 A 发生的频率 的稳定值分别为P(AB),P(A),于是有 P(B|A)=()().1 2(2)条件概率公式揭示了条件概率P(B|A)与事件概率P(A),P(AB)三者之间的关系,由条件概率公式可以解决下列两类问题:一是已知P(A),P(AB),求P(B|A);二是已知P(A),P(B|A),求P(AB).1 2【做一做】已知 P(AB)=310,P(A)=35,则 P(B|A)等于()A.950B.12C.910D.14解
3、析:P(B|A)=()()=31035=12.答案:B 1.怎样理解条件概率的存在?剖析3张奖券只有1张能中奖,现分别由3名同学无放回地抽取,最后抽的同学中奖概率P(B)=与第一名同学抽到的是一样的.而在知道第一名同学没有抽到奖券的条件下,即事件A发生的前提下,P(B|A)=,显然知道了事件A的发生,影响了事件B的发生的概率.事实上,在已知事件A没有中奖的前提下,奖券情况已经发生了变化,只有1张能中奖和1张不能中奖,与原来的2张不能中奖和1张中奖不同了,从而基本事件空间发生变化了,所以概率不同了,这就是条件概率中的“条件”的意义,事实上就是“前提”的意思,这也就说明了条件概率的存在.12 13
4、 2.怎样求条件概率?剖析(1)从古典概型角度看,事件有限定的前提条件,则各事件包含的基本事件个数发生了变化,故首先要准确计算各事件包含的基本事件个数,然后得出条件概率,即,n(AB)表示AB同时发生所包含的基本事件的个数,同理n(A)表示事件A发生所包含的基本事件的个数.当然这个公式只是对于古典概型而言,即组成事件A的各基本事件发生的概率相等.(等可能事件)(2)把(1)的公式进行推广,便得到条件概率公式:在具体题目中,一定要先弄清谁是A,谁是B,是否是条件概率问题等.P(B|A)=()()P(B|A)=()(),事件 AB 表示 A,B 同时发生.题型一 题型二 题型一求条件概率【例1】在
5、5道题中有3道理科题和2道文科题.如果不放回地依次抽取2道题,求:(1)第1次抽到理科题的概率;(2)第1次和第2次都抽到理科题的概率;(3)在第1次抽到理科题的条件下,第2次抽到理科题的概率.分析根据分步乘法计数原理先计算出事件总数,然后计算出各种情况下的事件数后即可求解.题型一 题型二 解:设第 1 次抽到理科题为事件 A,第 2 次抽到理科题为事件 B,则第 1 次和第 2 次都抽到理科题为事件 AB.(1)从 5 道题中不放回地依次抽取 2 道题的事件数为A52=20.根据分步乘法计数原理,事件 A 的总数为A31 A41=12.故P(A)=1220=35.(2)因为事件 AB 的总数
6、为A32=6,所以 P(AB)=620=310.(3)方法 1:由(1)(2)可得,在第 1 次抽到理科题的条件下,第 2 次抽到理科题的概率为 P(B|A)=()()=31035=12.方法 2:因为事件 AB 的总数为 6,事件 A 发生的总数为 12,所以P(B|A)=612=12.题型一 题型二 反思 在具体到每一个事件的求解过程中,古典概型起着重要的作用,条件概率也是一种概率,因此,事实上仍可以按照古典概型的一般定义考虑求解的方法.题型一 题型二 题型二条件概率公式的变形应用【例2】袋中有2个白球、3个黑球,从中依次取出2个球,求取出的两个都是白球的概率.分析可用古典概型概率求解,也
7、可理解为“在第一次取到白球的条件下,第二次取到白球”的条件概率.解法一用古典概型方法.袋中有5个球,依次取出2个,包括个基本事件.令A=“2次都取得白球”,包括2个基本事件,因此 P(A)=2A52=110.A52 题型一 题型二 解法二用概率乘法公式.令Ai=“第i次取得白球”(i=1,2),则A=A1A2,由乘法公式,得 反思 公式既是条件概率的定义,同时又是求条件概率的公式.公式中有P(B|A),P(A),P(AB),只要知道其中两个就可求另外一个.条件概率问题,常见的类型有:(1)取球模型,如摸彩票、取球、抽试题等.(2)射击模型,如射击问题、天气预报、电路闭合等.(3)抛硬币模型,如
8、抛硬币、掷骰子等.P(A)=P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1)=25 14=110.P(B|A)=()()123451.下面几种概率是条件概率的是()A.甲、乙二人投篮命中率分别为0.6,0.7,各投篮一次都投中的概率 B.甲、乙二人投篮命中率分别为0.6,0.7,在甲投中的条件下乙投篮一次命中的概率 C.有10件产品,其中3件次品,抽2件产品进行检验,恰好抽到一件次品的概率 D.小明上学路上要过四个路口,每个路口遇到红灯的概率都是,则小明在一次上学路上遇到红灯的概率 答案:B 25 123452.下列说法正确的是()A.P(B|A)P(AB)C.0P(B|A)1 D.P(A|A)=0
9、 答案:B B.P(B|A)=()()是可能的123453.已知事件 A 发生时,事件 B 一定发生,并且 P(A)=13P(B),则 P(A|B)为()A.3B.13C.23D.12解析:事件A发生时,事件B一定发生,P(AB)=P(A).答案:B P(A|B)=()()=()()=13.123454.6位同学参加百米短跑初赛,赛场共有6个跑道,已知甲同学被排在第一跑道,则乙同学被排在第二跑道的概率是 .解析:甲同学排在第一跑道后,还剩5个跑道,则乙排在第二跑道的概率为15.答案:15123455.从一副不含大、小王的扑克牌中不放回地抽取2次,每次抽1张,若第一次抽到A,则第二次也抽到A的概率为 .解析:若设“第1次抽到A”为事件A,“第2次抽到A”为事件B,则P(A)=452=113,P(AB)=113 117,则 P(B|A)=()()=117.答案:117