1、专题49 数 列（多选题部分） 一、题型选讲题型一 、数列中的项与和的问题例1、（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知等比数列的公比，等差数列的首项，若且，则以下结论正确的有（ ）ABCD【答案】AD【解析】等比数列的公比，和异号， ，故A正确；但不能确定和的大小关系；故B不正确；和异号，且且，和中至少有一个数是负数，又 ， ，故D正确，一定是负数，即 ，故C不正确；故选：AD例2、（2020鱼台县第一中学高三月考）设是等差数列，为其前项和，且，则下列结论正确的是（）ABCD、均为的最大值【答案】ABD【解析】由得，即，又，故B正确；同理由，得，故A正确；对C，即，可得，由结论，显然C是错误
2、的；与均为的最大值，故D正确；故选：ABD.例3、已知等差数列的公差，前项和为，若，则下列结论中正确的有（）ABC当时，D当时，【答案】ABC【详解】因为是等差数列，前项和为，由得：，即，即，对于选项A：由得，可得，故选项A正确；对于选项B：，故选项B正确；对于选项C：，若，则，故选项C正确；对于选项D：当时，则，因为，所以，所以，故选项D不正确，例4、在增减算法统宗中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关则下列说法正确的是A此人第二天走了九十六里路B此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里C此人第三天走的路程占全程的D此人后三天共走了42里路【答案】
3、ABD【解析：设此人第天走里路，则是首项为，公比为的等比数列，由等比数列前项和公式得，解得，在中，此人第二天走了九十六里路，故正确；在中，此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里，故正确；在中，故错误；在中，故正确故选：题型二、数列的综合性问题例5、（2020届山东省济宁市高三上期末）设等比数列的公比为q,其前n项和为,前n项积为,并满足条件,下列结论正确的是( )AS2019S2020BCT2020是数列中的最大值D数列无最大值【答案】AB【解析】当时，不成立；当时，不成立；故，且，故，正确；，故正确；是数列中的最大值，错误；故选：例6、（2020德州跃华学校高中部高三月考）已知数列满足，则
4、下列各数是的项的有（）ABCD【答案】BD【解析】因为数列满足，；数列是周期为3的数列，且前3项为，3；故选：例7、（2020浙江开学考试）已知数列满足：，且，则下列说法正确的是（）A存在，使得为等差数列B当时，C当时，D当时，是等比数列【答案】ABD【解析】当，两边同时取倒数可得为等差数列；当时，可知；当时，求可判断；当时，求作比较即可.详解：当，两边同时取倒数可得，所以为等差数列，A正确；当时，可知，B正确；当时，C错误当时，D.正确.故选:ABD例8、（2020博兴县第三中学高三月考）记数列an的前n项和为Sn，若存在实数H，使得对任意的nN+，都有H，则称数列an为“和有界数列”.下列
5、说法正确的是（）A若an是等差数列，且公差d=0，则an是“和有界数列”B若an是等差数列，且an是“和有界数列”，则公差d=0C若an是等比数列，且公比l，则an是“和有界数列”D若an是等比数列，且an是“和有界数列”，则an的公比l【答案】BC【解析】是等差数列，公差为，则，A，则，若，则时，an不是“和有界数列”，A错；B若an是“和有界数列”，则由知，即，B正确；Can是等比数列，公比是，则，若，则时，根据极限的定义，一定存在，使得，对于任意成立，C正确；D若，则，an是“和有界数列”，D错故选：BC二、达标训练1、（2020江苏南通高三期中）设是等差数列，是其前项的和，且，则下列结
6、论正确的是（）ABCD与均为的最大值【答案】BD【解析】根据题意，设等差数列的公差为，依次分析选项：是等差数列，若，则，故B正确；又由得，则有，故A错误；而C选项，即，可得，又由且，则，必有，显然C选项是错误的.，与均为的最大值，故D正确；故选：BD.2、（2020徐州期末）等差数列an的前n项和为Sn，若a10，公差d0，则下列命题正确的是（）A若S5S9，则必有S140B若S5S9，则必有S7是Sn中最大的项C若S6S7，则必有S7S8D若S6S7，则必有S5S6【答案】ABC【解析】：根据题意，依次分析选项：对于A，若S5S9，必有S9S5a6+a7+a8+a92（a7+a8）0，则a7
7、+a80，S14=14(a1+a14)2=14(a7+a8)2=0，A正确；对于B，若S5S9，必有S9S5a6+a7+a8+a92（a7+a8）0，又由a10，则必有S7是Sn中最大的项，B正确；对于C，若S6S7，则a7S7S60，又由a10，必有d0，则a8S8S70，必有S7S8，C正确；对于D，若S6S7，则a7S7S60，而a6的符号无法确定，故S5S6不一定正确，D错误；故选：ABC3、（2020山东日照高三月考）对于数列，若存在正整数，使得，则称是数列的“谷值”，是数列的“谷值点”.在数列中，若，则数列的“谷值点”为（）A2B7C3D8【答案】AB【解析】因为，所以，当，此时数
8、列单调递增，所以数列的“谷值点”为2，7.故选：AB4、（2019秋宁阳县校级月考）设是数列的前项和，且，则ABC数列为等差数列D【答案】BCD【解析：是数列的前项和，且，则，整理得（常数），所以数列是以为首项，为公差的等差数列故正确所以，故：所以当时，（首项不符合通项），故故正确所以，故正确故选：5、设是各项为正数的等比数列，是其公比，是其前项的积，且，则下列选项中成立的ABCD与均为的最大值【答案】ABD【解析：根据题意，依次分析选项：对于，若，则，故正确；对于，由可得，则，故正确；对于，由是各项为正数的等比数列且可得数列单调递减，则有，故错误；对于，结合，可得正确故选：6、（2020浙江开学考试）已知数集具有性质P：对任意的，或成立，则下列说法错误的是（）A若，则成等差数列B若，则成等比数列C若，则成等差数列D若，则成等比数列【答案】ABC【解析】证明：因为具有性质P，所以或中至少有一个属于，由于，所以，故，从而，故；因为，所以，故，由具有性质可知，又因为，所以，当时，有，即，因为，所以，故，由具有性质可知，由，得，且，所以，所以：，即是首项为1，公比为的等比数列.故选：ABC
