1、专题突破练(4)数列中的典型题型与创新题型一、选择题1(2022福建福州第三中学高三上第二次质量检测)已知等比数列an中，a2a65，a3a54，则tan()A.BC.或D答案B解析由等比数列性质可知a2a6a3a54a，所以a42或a42，但a2a60，可知a40，所以a42，则tantan.故选B.2(2022广东广州荔湾区高三上调研考试)设等差数列an的前n项和为Sn，若S36，S63，则S12等于()A3B12C.21D30答案D解析由等差数列的性质知S3，S6S3，S9S6，S12S9成等差数列，2(S6S3)S3S9S6，则6S936，可得S99.同理，2(S9S6)S6S3S12
2、S9，即S12624，得S1230.故选D.3(2021江苏常州中学模拟)已知正项等比数列an满足a2aa202016，则a1a2a1017()A41017B21017C.41018D21018答案B解析由a2aa202016，可得(a7a1011)216，所以a7a10114，a5092，所以a1a2a1017a21017.故选B.4在等差数列an中，首项a10，公差d0，若aka10a11a100，则k()A496B469C.4914D4915答案D解析因为数列an是等差数列，所以ana1(n1)d(n1)d，因为aka10a11a100，所以ak100a1d4914d，又ak(k1)d，
3、所以(k1)d4914d，所以k4915.故选D.5数列an满足an1an1(nN*，0，R)，若数列an1是等比数列，则的值是()A1B2C.D1答案B解析数列an1为等比数列q，即an2qanq，上式恒成立，可知2，故选B.6已知数列bn满足b11，b24，bn2bncos2，则该数列的前23项和为()A4194B4195C.2046D2047答案A解析由题意，得当n为奇数时，bn22bn，数列的奇数项是以b11为首项，2为公比的等比数列，当n为偶数时，bn2bn1，数列的偶数项是以b24为首项，1为公差的等差数列，S23(b1b3b23)(b2b4b22)1141212144554194
4、.7(2021湖北省黄冈市高三年级质量检测)明代朱载堉创造了音乐上极为重要的“等程律”在创造律制的过程中，他不仅给出了求解三项等比数列的等比中项的方法，还给出了求解四项等比数列的中间两项的方法比如，若已知黄钟、大吕、太簇、夹钟四个音律值成等比数列，则有大吕，大吕，太簇.据此可得，正项等比数列an中，ak()A.BC.D答案C8(2022山东日照高三上开学校际联考)设f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(2x)f(x)，数列an满足a11，且(nN*)，则f(a22)()A0B1C.21D22答案A解析对于数列an满足a11，且(nN*)，变形可得，即，则1.所以ann2，所以a2222220.
5、因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x)f(x)且f(0)0.因为f(2x)f(x)，则f(x)f(2x)，则f(x2)f(x)，则f(x4)f(x2)f(x)，即f(x)是以4为周期的周期函数所以f(a22)f(20)f(0)0.故选A.9(多选)(2021广东省实验中学高三上学期第一次阶段考试)设公差不为0的等差数列an的前n项和为Sn，若S17S18，则下列各项的值为0的是()Aa17BS35Ca17a19DS19S16答案BD解析设an的首项为a1，公差为d，由S17S18，即17a1d18a1d，得a117d，an(n18)d，Snd，a180，S350，a17a19dd2d，
6、S19S16dd0.故选BD.10(多选)(2021海口市高考模拟演练)已知正项等比数列an满足a12，a42a2a3，若设其公比为q，前n项和为Sn，则()Aq2Ban2nCS102047Danan1an2答案ABD解析由题意，得2q34q2q2，即q2q20，解得q2(负值舍去)，A正确；an22n12n，B正确；Sn2n12，所以S102046，C错误；anan13an，而an24an3an，所以anan1an2，D正确故选ABD.11(多选)在数列an中，若aap(n2，nN*，p为常数)，则称an为“等方差数列”下列对“等方差数列”的判断正确的是()A若an是等差数列，则a是等方差数
7、列B(1)n是等方差数列C若an是等方差数列，则akn(kN*，k为常数)也是等方差数列D若an既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列答案BCD解析对于A，取ann，则aa(n1)4n4(n1)2n2(n1)2n2(2n1)(2n22n1)不是常数，则a不是等方差数列，A错误；对于B，(1)n12(1)n2110为常数，则(1)n是等方差数列，B正确；对于C，若an是等方差数列，则存在常数pR，使得aap，则数列a为等差数列，所以aakp，则数列akn(kN*，k为常数)也是等方差数列，C正确；对于D，若数列an为等差数列，设其公差为d，则存在mR，使得andnm，则aa(an1an)
8、(an1an)d(2dn2md)2d2n(2md)d，由于数列an也为等方差数列，所以存在实数p，使得aap，则2d2n(2md)dp对任意的nN*恒成立，则得pd0，此时，数列an为常数列，D正确12(多选)(2021湖南省长沙市第一中学高三月考(三)将n2个数排成n行n列的一个数阵，如下图：该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列，每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列(其中m0)已知a112，a13a611，记这n2个数的和为S.下列结论正确的有()Am3Ba671737Caij(3i1)3j1DSn(3n1)(3n1)答案ACD解析由题意可知，该数阵第一列的n个数从
9、上到下构成以m为公差的等差数列，每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列，且a112，a13a611，可得a13a11m22m2，a61a115d25m，所以2m225m1，解得m3或m(舍去)，所以A正确；又由a67a61m6(253)361736，所以B不正确；又由aijai1mj1a11(i1)mmj13j1(3i1)3j1，所以C正确；这n2个数的和S(a11a12a1n)(a21a22a2n)(an1an2ann)(3n1)n(3n1)(3n1)，所以D正确故选ACD.二、填空题13(2022广东广雅中学高三上月考)数列an满足a12，an1，其前n项的乘积为Tn，则T2021
10、_.答案2解析a21，a3，a42，所以数列an的周期T3，a1a2a31，T2021(1)673a1a22.14设数列an满足a2a410，点Pn(n，an)对任意的nN*，都有向量(1,2)，则数列an的前n项和Sn_.答案n2解析Pn(n，an)，Pn1(n1，an1)，(1，an1an)(1,2)，an1an2，an是公差d为2的等差数列又由a2a42a14d2a14210，解得a11，Snn2n2.15(2022湖南师范大学附属中学高三上第二次月考)等比数列an的公比0q成立的正整数n的最大值为_答案18解析由等比数列an的公比0q0，且a1q9，由an为等比数列，可得是以为首项，为
11、公比的等比数列，则原不等式等价为，因为0qq1n(1qn)，可得q18q1n，181n，即n0，a1，nN*.(1)求an的通项公式；(2)设bn(1)n(log2an)2，求数列bn的前2n项和T2n.解(1)设等比数列an的公比为q，则q0，因为，所以，因为q0，解得q2，所以an2n12n7，nN*.(2)bn(1)n(log2an)2(1)n(log22n7)2(1)n(n7)2，设cnn7，则bn(1)n(cn)2.T2nb1b2b3b4b2n1b2ncc(c)c(c)c(c1c2)(c1c2)(c3c4)(c3c4)(c2n1c2n)(c2n1c2n)c1c2c3c4c2n1c2n
12、n(2n13)2n213n.18(2021山东临沂二模、枣庄三调)在3Sn1Sn1，a2，2Sn13an1这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，并给出解答已知数列an的前n项和为Sn，满足_，_，又知正项等差数列bn满足b12，且b1，b21，b3成等比数列(1)求an和bn的通项公式；(2)证明：ab1ab2abn.解(1)选择：当n2时，由3Sn1Sn1，得3SnSn11，两式相减，得3an1an，即(n2)，由，得3S2S11，即3(a1a2)a11，2a113a21，得a1，an是首项为，公比为的等比数列，ann1n.设等差数列bn的公差为d，d0，b1，b21，b3成等比数列，b1
13、b3(b21)2，即2(22d)(1d)2，解得d3，d1(舍去)，bn2(n1)33n1.选择：当n2时，由2Sn13an1，得2Sn113an，两式相减，得2an3an3an1，(n2)，又2S113a2，得a1，an是首项为，公比为的等比数列，ann1n.设等差数列bn的公差为d，d0，b1，b21，b3成等比数列，b1b3(b21)2，即2(22d)(1d)2，解得d3，d1(舍去)，bn2(n1)33n1.(2)证明：由(1)得abna3n13n1，则ab1ab2abn253n1.19已知函数f(x)x2xc(c为常数)，且x时，f(x)的最大值为，数列an的首项a1，点(an，an
14、1)在函数f(x)的图象上，其中n1，nZ.(1)证明：数列是等比数列；(2)记Rn，求Rn.解(1)证明：依题意，f(x)x2xc，c为常数，当x时，f(x)0，f(x)单调递增，所以f(x)maxf(0)c，所以f(x)x2x.又点(an，an1)在函数f(x)的图象上，所以an1aan，即an12，由于a1，易知an0，所以lg 2lg ，又lg lg 20，所以数列是首项为lg 2，公比为2的等比数列(2)由(1)知lg2n1lg 2lg 22n1，所以an22n1，所以Rn22022122222n122021222n122n1.20(2021湖北省十一校高三第一次联考)已知等差数列a
15、n与正项等比数列bn满足a1b13，且b3a3,20，a5b2既是等差数列，又是等比数列(1)求数列an和bn的通项公式；(2)在cn(1)nbn，cnanbn，cn这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答若_，求数列cn的前n项和Sn.解(1)设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q(q0)，由题得20b3a3a5b2，即解得d2，q3，所以an2n1，bn3n.(2)选：cn(1)nbn(3)n(3)n，则Snc1c2cn(3)1(3)2(3)n，故Sn.选：cnanbn(2n1)3n，Snc1c2cn33532(2n1)3n，()3Sn332533(2n1)3n1，()由(
16、)()，得2Sn3223223323n(2n1)3n1，即Snn3n1.选：cn，则Snc1c2cn，故Sn.21已知an是各项均为正数的等比数列，且a1a23，a3a22，等差数列bn的前n项和为Sn，且b35，S416.(1)求数列an，bn的通项公式；(2)如图，在平面直角坐标系中，有点P1(a1,0)，P2(a2,0)，Pn(an，0)，Pn1(an1，0)，Q1(a1，b1)，Q2(a2，b2)，Qn(an，bn)，若记PnQnPn1的面积为cn，求数列cn的前n项和Tn.解(1)设数列an的公比为q，因为a1a23，a3a22，所以得3q25q20，又q0，所以q2，a11，则an2n1.设数列bn的公差为d，因为b35，S416，所以解得则bn2n1.(2)由(1)得PnPn1an1an2n2n12n1，PnQnbn2n1，由cnSPnQnPn1(2n1)2n2，得Tnc1c2c3cn11325(2n1)2n2，2Tn112345(2n1)2n1，由得，Tn2(122n2)(2n1)2n1(2n1)2n1(32n)2n1，故Tn(2n3)2n1(nN*)