1、江苏省常州市溧阳市2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）注意事项：1.请将本试卷答案填写在答题卡相应位置上；2.考试时间120分钟，试卷总分150分.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在等差数列中，若=4，=2，则= （ ）A. -1B. 0C. 1D. 6【答案】B【解析】在等差数列中，若，则，解得，故选B.2.设命题，则为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【详解】特称命题的否定为全称命题，所以命题的否命题应该为，即本题的正确选项为C.3.设是椭圆上的动点，则到该椭圆的两个焦点的距离之
2、和为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】判断椭圆长轴（焦点坐标）所在的轴，求出a，接利用椭圆的定义，转化求解即可【详解】椭圆=1的焦点坐标在x轴，a=，P是椭圆=1上的动点，由椭圆的定义可知：则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为2a=2故选C【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的定义的应用，属于基础题4.，.若.则实数的值是（ ）A. 2B. C. 2D. 0【答案】D【解析】【分析】根据平行得到，计算得到答案.【详解】，则，即故 解得，故故选：【点睛】本题考查了根据向量平行计算参数，意在考查学生的计算能力.5.以椭圆对称中心为顶点，椭圆的焦点为焦点的抛物线的方程为（
3、）A. B. 或C. D. 或【答案】B【解析】【分析】计算得到，椭圆的焦点为，得到抛物线方程.【详解】椭圆的对称中心为 ，椭圆的焦点为 故抛物线方程为：或故选：【点睛】本题考查了椭圆的焦点，抛物线方程，属于简单题.6.已知椭圆的离心率为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据离心率得到，化简得到答案.【详解】圆的离心率为，即 故选：【点睛】本题考查了椭圆的离心率，意在考查学生的计算能力.7.设等差数列前项和为，若.，则的值是（ ）A. 15B. 30C. 13D. 25【答案】D【解析】【分析】根据.，计算得到，代入公式计算得到答案.【详解】，故，故选：【点睛】本题考
4、查了等差数列的前项和，意在考查学生的计算能力.8.已知等差数列的公差为d,前n项和为,则“d0”是A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由，可知当时，有，即，反之，若，则，所以“d0”是“S4 + S62S5”的充要条件，选C【名师点睛】本题考查等差数列的前项和公式，通过套入公式与简单运算，可知， 结合充分必要性的判断，若，则是的充分条件，若，则是的必要条件，该题“”“”，故互为充要条件9.下列叙述中正确的是（ ）A. 若，则“”的充分条件是“”；B. 若，则“”的充要条件是“”；C. 命题“对任意.有”的否定是“存在，有”D.
5、“，”是“”的充分条件.【答案】D【解析】【分析】依次判断每个选项：当时不成立，错误；当时不充分，错误；否定是“存在，有”，错误；判断正确，得到答案.【详解】A. 若，则“”的充分条件是“”，当时不成立，错误；B. 若，则“”充要条件是“”，当时不充分，错误；C. 命题“对任意.有”的否定是“存在，有”，错误；D. “，”是“”的充分条件，当，时，充分性；取计算知不必要，故正确.故选：【点睛】本题考查了充分必要条件，全称命题的否定，意在考查学生的推断能力.10.已知在四面体中，点是棱上的点，且，点是棱的中点，若其中为实数，则的值是（ ）A. B. C. 2D. 2【答案】B【解析】【分析】利用
6、向量运算得到得到答案.【详解】故故选：【点睛】本题考查了空间向量的运算，意在考查学生的计算能力.11.已知椭圆：与双曲线：的焦点重合，分别为，的离心率，则A. 且B. 且C. 且D. 且【答案】A【解析】根据椭圆与双曲线的基本性质知，所以，又 ，所以，故选A点睛：本题考查椭圆和双曲线的标准方程及其简单几何性质，基本量之间的关系，属于中档题处理此类问题注意分析之间的关系，利用离心率定义写出，为了判别其积是否大于1，可考察其平方，根据条件转化为，从而大于112.首项为，公差为的等差数列的前项和为，满足.则的取值范围（ ）A. 或B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】化简得到，计算解得答案.【
7、详解】，即将当成变量，看成常数，即或故选：【点睛】本题考查了等差数列公差的范围，看成二次方程是解题的关键.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若恒成立，则实数的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】根据恒成立计算对应方程的得到答案.【详解】恒成立，故对应的 故答案为：【点睛】本题考查了恒成立问题，转化为对应方程的是解题的关键.14.设为等比数列的前项和，则_.【答案】【解析】分析】根据，计算得到，代入式子化简得到答案.【详解】，故答案为：【点睛】本题考查了等比数列通项公式，前项和，意在考查学生的计算能力.15.已知四棱柱的底面是矩形，则_.【答案】【解析】【分析】根据，两边
8、平方化简得到，得到答案.【详解】故，故故答案为：【点睛】本题考查了空间向量的运算，意在考查学生的计算能力.16.双曲线的方程为，为其渐近线，为右焦点.过作且交双曲线于，交于.若，且则双曲线的离心率的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】根据渐近线解得，设，根据，解得，代入双曲线方程化简得到，得到答案.【详解】双曲线的渐近线方程为：，不妨设，则，联立解得 设，故，故 代入双曲线方程得到：，化简得到故故答案为：【点睛】本题考查了双曲线的离心率范围，意在考查学生的计算能力.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在等差数列中，.（1）求数列的通项公式；（
9、2）设，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据，利用等差数列公式计算得到答案.（2），利用裂项求和法计算得到答案.【详解】（1）设等差数列的公差为， ， ， ， （2）【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，裂项法求和，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.18.如图，在正方体中，点是的中点.（1）求与所成的角的余弦值；（2）求与平面所成角正弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，计算得到，利用夹角公式计算得到答案.（2）平面的一个法向量为，利用向量夹角公式计算得到答案.【详解】（1）以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐
10、标系设正方体棱长为2，则.，设与所成角为，则.所以，与所成角的余弦值为.（2）设平面的一个法向量为.由，取，则设与平面所成的角为，则所以与平面所成的角的正弦值为.【点睛】本题考查了异面直线夹角，线面夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.19.若椭圆：与双曲线：有相同的焦点，且椭圆与双曲线交于点.（1）求的值；（2）过椭圆的右焦点且斜率为的直线与椭圆交于，两点，求的长度.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）将点代入椭圆和双曲线，根据相同焦点计算得到答案.（2）计算的方程为，联立方程，根据韦达定理得到，再计算弦长得到答案.【详解】（1）椭圆与双曲线由相同焦点，且两曲线交于点 （2）椭圆
11、方程为，则其右焦点为 的方程为由.设，则，所以的长度为.【点睛】本题考查了椭圆和双曲线的标准方程，弦长的计算，意在考查学生的计算能力.20.如图，四棱锥中，平面，,，.（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）在边是否存在一点使二面角的余弦值为，若存在请确定点的位置，不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）存在，当满足时，能使三面角的余弦值为【解析】【分析】（1）以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，计算夹角得到答案.（2）平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，根据夹角公式计算得到答案.【详解】（1）以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，由，及得，设与所成角为，则所以，与所成角的余弦值为
12、.（2）设，平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为由，取，则设二面角的平面角为，则得或又所以，当满足时，能使二面角的余弦值为.【点睛】本题考查了异面直线夹角，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.21.椭圆：的左，右焦应分别是，离心率为，过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1.（1）求椭圆的方程；（2）已知直线：与椭圆切于点，直线平行于，与椭圆交于不同的两点、，且与直线交于点.证明：存在常数，使得，并求的值；（3）点是椭圆上除长轴端点外的任一点，连接，设后的角平分线交的长轴于点，求的取值范围.【答案】（1）（2）证明见解析，（3）【解析】【分析】（1）根据题意直接计算得到答案.（2
13、）设方程，联立方程，利用韦达定理得到，计算，代入化简得到答案.（3）设其中，将向量坐标代入并化简得，计算得到答案.【详解】（1）由得所以椭圆的方程为（2）又设方程为由设，则由即存在满足条件（3）由题意可知：，设其中，将向量坐标代入并化简得：，因为，所以而，所以【点睛】本题考查了椭圆方程，韦达定理的应用，向量的运算，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.22.设数列的前项和，对任意，都有（为常数）.（1）当时，求；（2）当时，（）求证：数列是等差数列；（）若数列为递增数列且，设，试问是否存在正整数（其中），使成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组；若不存在，说明理由.【答案】（1）（2）（）
14、证明见解析（）存在唯一正整数数对，使成等比数列【解析】【分析】（1）当时，利用公式计算得到，再计算得到.（2）（）化简得到，得到，化简得到得到答案.（2）（）计算，假设存在正整数数组，则当，且时，故数列为递减数列，为方程的一组解，得到答案.【详解】（1）时，时，由得即时，（常数，），以1为首项，4为公比的等比数列（2）（）当，时，.当时，.得：，所以得：.因为，所以，即，所以是等差数列.（）因为为递增等差数列.，又得或者（舍），所以假设存在正整数数组，使成等比数列，则成等差数列，于是，所以，（）易知为方程（）的一组解.当，且时，故数列为递减数列，于是，所以此时方程（）无正整数解.综上，存在唯一正整数数对，使成等比数列.【点睛】本题考查了等差数列的证明，等比数列的前项和，等比数列的证明，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.