1、1.3.1 二项式定理1.理解用组合的知识推导二项式定理,弄清其适用范围.2.理解通项的意义,并会灵活运用通项,能区分项的系数与二项式系数的不同.3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的一些简单的问题.二项式定理(2)对于通项,要注意以下几点:它表示二项展开式中的任意项,只要n与r确定,该项也随即被确定;通项表示的是第r+1项,而不是第r项;通项中a,b的位置不能颠倒,它们的指数和一定为n.(1)二项式定理:(a+b)n=C0an+C1an-1b+C2an-2b2+Cbn(nN+).展开式的第 r+1 项(通项)为 Tr+1=(其中 0rn,rN,nN+),其中C(r=0,1,2,n)叫做二项
2、式系数.名师点拨(1)展开式中第r+1项的二项式系数与第r+1项的系数,在一般情况下是不相同的.(2)在通项中共含有a,b,n,r,Tr+1这5个元素,只要知道其中4个元素,便可求出第5个元素的值.在有关二项式定理的问题中,常常会遇到:知道这五个元素中的若干个(或它们之间的关系),求另外几个元素的问题.这类问题一般是利用通项,把问题归结为解方程(组)或不等式(组),这里要注意n为正整数,r为非负整数,且rn.C【做一做1-1】(a+b)2n的二项展开式的项数是()A.2nB.n+1 C.2n+1D.2n-1 解析:因为(a+b)2n中的指数为2n,所以展开式有2n+1项.答案:C解析:逆用二项
3、式定理,原式=(x+1)-1n=xn.答案:xn【做一做 1-2】化简:C0(x+1)n-C1(x+1)n-1+(-1)rC(x+1)n-r+(-1)nC=.二项式中各项的幂指数有何规律?剖析二项式(a+b)n的展开式有(n+1)项,各项的幂指数状况如下:各项的次数都等于二项式的幂指数n.字母a按降幂排列,从第一项开始,次数由n逐项减1直到零;字母b按升幂排列,从第一项起,次数由零逐项加1直到n.注意:通项是对(a+b)n这个标准形式而言的,如(a-b)n的二项展开式的通项是 Tr+1=(-1)rCan-rbr(只需把-b 看成 b 代入二项式定理),这与Tr+1=Can-rbr是不同的,在这
4、里对应项的二项式系数是相等的,都是C,但项的系数一个是(-1)rC,一个是C,可看出二项式系数与项的系数是不同的概念.题型一 题型二 题型一二项式定理的应用【例 1】用二项式定理展开 3 +1 4.分析本题可以直接利用二项式定理展开再化简,也可以先化简再展开.题型一 题型二 解法一 3 +1 4=C40 3)4+C41(3 3 1 +C42(3)2 1 2+C43(3)1 3+C44 1 4=81x2+108x+54+12+12.解法二 3 +1 4=(3+1)42=12 C40(3x)4+C41(3x)31+C42(3x)212+C43(3x)13+C44 14=12(81x4+108x3+
5、54x2+12x+1)=81x2+108x+54+12+12.反思 当二项式较复杂时,可先将式子化简,再展开.题型一 题型二 题型二求二项展开式中的特定项【例 2】若 +12 x4 n的展开式中前 3 项系数成等差数列,求:(1)展开式中含x的一次幂的项;(2)展开式中所有含x的有理项;(3)展开式中系数最大的项.分析根据前3项系数成等差数列可求出n值,应用二项展开式的通项求特定项.题型一 题型二 解:(1)由题意可知,n0+n2 122=2n1 12,得 n=8.Tr+1=8r(x)8-r 12 4 =C82-r 4-34.令 4-34r=1,得 r=4.故含 x 的一次幂的项为 T4+1=
6、C84 2-4x=358 x.(2)令 4-34rZ(0r8),则 r=0,4,8,有理项为 T1=x4,T5=358 x,T9=12562.题型一 题型二(3)设第 k 项的系数 tk 最大,则有 tktk+1,且 tktk-1,于是 C8-12-+1 C82-,C8-12-+1 C8-22-+2,解得 3k4.故系数最大项为第 3 项和第 4 项,分别是 T3=752,T4=774.反思 求二项展开式中的特定项的关键在于会运用通项,也就是由题设确定通项中的指数或项数,从而求出其项.通项是展开式的第r+1项,而不是第r项.r的范围是0rn,且rN.常数项要求变量字母的指数为0,有理项要求变量
7、字母的指数为整数.Tr+1=Can-rbr 123451.在(x-y)n 的二项展开式中,第 r 项的二项式系数为()A.CB.C+1C.C-1D.(-1)r-1C-1答案:C 解析:第 r 项的二项式系数为C-1.123452.在(x-3)10 的展开式中,含 x6 项的系数是()A.-27C106B.27C104C.-9C106D.9C104解析:设第 r+1 项为含 x6 的项,则 Tr+1=C10 x10-r(-3)r,r=4.T5=C104 x6(-3)4=9C104 x6.答案:D 123453.设P=1+5(x+1)+10(x+1)2+10(x+1)3+5(x+1)4+(x+1)5,则P等于()A.x5B.(x+2)5 C.(x-1)5 D.(x+1)5 解析:P=1+(x+1)5=(x+2)5.答案:B 123454.如果 x3-1 4 的展开式中存在常数项,那么 n 可能为()A.6B.7C.8D.9 答案:B 123455.在二项式 2-1 5的展开式中,含 x4 项的系数是 .解析:展开式的通项为 Tr+1=C5(x2)5-r -1=(-1)r C5 x10-3r,令 10-3r=4,则 r=2,故含 x4 项的系数是(-1)2 C52=10.答案:10