1、第五节数列的综合应用1.认识数列的函数特性，能结合方程、不等式、解析几何等知识解决一些数列综合题2能在实际情形中运用数列知识解决实际问题.1在解决数列综合问题时要注意以下方面(1)用函数的观点和思想认识数列，将数列的通项公式与求和公式都看作自变量为正整数的函数(2)用方程思想去处理数列问题，把通项公式与求和公式看作列方程的等量关系(3)用转化思想去处理数学问题，将实际问题转化为等差数列或等比数列问题(4)用猜想与递推的思想去解决数学问题2数列应用问题利用数列模型解决的实际问题称为数列应用问题在实际问题中，有很多问题都可转化为数列问题进行处理，如经济上涉及的利润、成本、效益的增减问题，在人口数量
2、的研究中涉及的增长率问题以及金融中涉及的利率问题，都与数列问题相联系处理数列应用问题的基本思想与处理函数应用问题的基本思想是一致的数列应用题的解法一般是根据题设条件，建立目标函数关系(即等差数列或等比数列模型)，然后利用相关的数列知识解决问题在建模过程中，首先要分析研究实际问题的对象的结构特点，其次要找出所含元素的数量关系，从而确定为何种数学模型解模的过程就是运算的过程，首先判断是等差数列还是等比数列，确定首项、公差(比)、项数是什么，能分清an，Sn，然后选用适当的方法求解最后的程序是还原，即把数学问题的解客观化，针对实际问题的约束条件合理修正，使其成为实际问题的解1某学校高一、高二、高三共
3、计2460名学生，三个年级的学生人数刚好成等差数列，则该校高二年级的人数是()A800 B820C840D860解析：由题意可设高一、高二、高三三个年级的人数分别为ad，a，ad.则 adaad2460，a24603 820.故高二年级共有 820 人答案：B2数列an的通项公式是关于 x 的不等式 x2xnx(nN*)的解集中的整数个数，则数列an的前 n 项和 Sn()An2Bn(n1)C.nn12D(n1)(n2)解析：由 x2xnx，得 0 x0)，b24ac3b21且nN)满足y2x1，则a1a2a10_.解析：an2an11an12(an11)，an1是等比数列，则 an2n11.
4、a1a2a1010(20212229)10121012 1033.答案：10335在数列an中，a11，a22，且an2an1(1)n(nN*)，则S100_.解析：由已知，得a11，a22，a3a10，a4a22，a99a970，a100a982，累加得 a100a99983，同理得 a98a97963，a2a103，则 a100a99a98a97a2a15098025032600.答案：2600 热点之一 等差、等比数列的综合问题1等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的重点，特别是等差、等比数列的通项公式，前n项和公式以及等差中项、等比中项问题是历年命题的热点2.利用等比数列前n项
5、和公式时注意公比q的取值同时对两种数列的性质，要熟悉它们的推导过程，利用好性质，可降低题目的难度，解题时有时还需利用条件联立方程求解例1 已知数列an中，a11，a22，且an1(1q)anqan1(n2，q0)(1)设bnan1an(nN*)，证明bn是等比数列；(2)求数列an的通项公式；(3)若a3是a6与a9的等差中项，求q的值，并证明：对任意的nN*，an是an3与an6的等差中项思路探究 课堂记录(1)证明：由题设 an1(1q)anqan1(n2)，得 an1anq(anan1)即 bnqbn1，n2.又b1a2a11，q0，所以bn是首项为1，公比为q的等比数列(2)解：由(1
6、)，得a2a11，a3a2q，anan1qn2(n2)将以上各式相加，得 ana11qqn2(n2)所以，当 n2 时，an11qn11q，q1，n，q1.上式对 n1 显然成立(3)解：由(2)知，当 q1 时，显然 a3 不是 a6 与 a9的等差中项，故 q1.由 a3a6a9a3，可得 q5q2q2q8，由 q0，得 q311q6整理得(q3)2q320，解得 q32 或 q31(舍去)于是 q3 2.另一方面，anan3qn2qn11q qn11q(q31)，an6anqn1qn51q qn11q(1q6)由得，anan3an6an，nN*，即 2anan3an6.所以对任意的 nN
7、*，an 是 an3 与 an6 的等差中项即时训练设an是公比大于1的等比数列，Sn为数列an的前n项和，已知S37，且a13,3a2，a34构成等差数列(1)求数列an的通项；(2)令bnlna3n1，n1,2，求数列bn的前n项和Tn.解：(1)由已知，得 a1a2a37a13a3423a2，解得 a22.设数列an的公比为 q，由 a22，可得 a12q，a32q，又 S37，可知2q22q7，即 2q25q20.解得 q12，q212.由题意知 q1，q2，a11，故数列an的通项为 an2n1.(2)由于 bnlna3n1，n1,2，由(1)得 a3n123n，bnln23n3nl
8、n2.又 bn1bn3ln2，bn是等差数列Tnb1b2bnnb1bn2n3ln23nln223nn12ln2.故 Tn3nn12ln2.热点之二 数列的实际应用问题数列在实际生活中有着广泛的应用，因而涉及数列的应用问题非常多，如人口增长问题、银行利率问题、浓度配比问题、分期付款问题等等解题时要充分挖掘题中所给条件，建立适当的数列模型求解解数列应用题的基本步骤可用图表示如下：例2 假设某市2008年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是廉低价房预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，廉低价房的面积均比上一年增加50万平方米那么，到哪一年底，
9、(1)该市历年所建廉低价房的累计面积(以2008年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米？(2)当年建造的廉低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?课堂记录(1)设廉低价房面积形成数列an，由题意可知an是等差数列，其中 a1250，d50，则 Sn250nnn125025n2225n，令 25n2225n4750.即 n29n1900，而 n 是正整数，n10.到 2017 年底，该市历年所建廉低价房的累计面积将首次不少于 4750 万平方米(2)设新建住房面积形成数列bn，由题意可知bn是等比数列，其中b1400，q1.08.则bn4001.08n1.由题意可知an0.8
10、5bn，有250(n1)504001.08n10.85.由计算器解得满足上述不等式的最小正整数n6.到2013年底，当年建造的廉低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.即时训练 某企业进行技术改造，有两种方案，甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年获利增加5000元；两种方案的使用期都是10年，到期一次性归还本息若银行两种形式的贷款都按年息5%的复利计算，试比较两种方案中，哪种获利更多？(取1.05101.629,1.31013.786,1.51057.665)解：甲方案是等比
11、数列，乙方案是等差数列，甲方案获利：1(130%)(130%)2(130%)91.31010.342.62(万元)，银行贷款本息：10(15%)1016.29(万元)，故甲方案纯利：42.6216.2926.33(万元)，乙方案获利：1(10.5)(120.5)(190.5)10110920.532.50(万元)，银行本息和：1051(15%)(15%)2(15%)91.051.051010.0513.21(万元)故乙方案纯利：32.5013.2119.29(万元)；综上可知，甲方案更好 热点之三 数列与函数、不等式、解析几何的综合应用数列与其他知识的综合问题主要指的是几何方法或函数的解析式构
12、造数列，用函数或方程的方法研究数列问题，函数与数列的综合问题主要有以下两类：一是已知函数的条件，利用函数的性质图象研究数列问题，如恒成立，最值问题等二是已知数列条件，利用数列的范围、公式、求和方法等知识对式子化简变形，从而解决函数问题例 3 已知数列an的首项 a11，且点 An(an，an1)在函数y xx1的图象上(1)求数列an的通项公式；(2)求证：弦 AnAn1 的斜率随 n 的增大而增大思路探究(1)将点 An(an，an1)代入函数 y xx1即可得出数列 1an的性质，从而求得 an；(2)kAnAn1an2an1an1an，可用作差比较法证明课堂记录(1)an1 anan1且
13、 a11，1an11 1an，1an1 1an1，1an是以 1 为首项，1 为公差的等差数列，1an1(n1)1n，an1n.(2)证明：an1n，an1 1n1，an2 1n2，弦 AnAn1的斜率knan2an1an1an 1n2 1n11n11n nn2，kn1knn1n3 nn2n1n2nn3n3n22n2n30.弦 AnAn1的斜率随 n 的增大而增大即时训练已知曲线C：yx2(x0)，过C上的点A1(1,1)作曲线C的切线l1交x轴于点B1，再过点B1作y轴的平行线交曲线C于点A2，再过点A2作曲线C的切线l2交x轴于点B2，再过点B2作y轴的平行线交曲线C于点A3，依次作下去，
14、记点An的横坐标为an(nN*)(1)求数列an的通项公式；(2)设数列an的前n项和为Sn，求证：anSn1.解：(1)曲线 C 在点 An(an，an2)处的切线 ln 的斜率是 2an，切线 ln的方程是 yan22an(xan)，由于点 B 的横坐标等于点 An1的横坐标 an1，令 y0，得 an112an，数列an是首项为 1，公比为12的等比数列，an 12n1.(2)Sn1 12n1122(1 12n)，anSn412n(1 12n)，令 t 12n，则 00)的切线 ln，切点为 Pn(xn，yn)(1)求数列xn与yn的通项公式；(2)证明：x1x3x5x2n11xn1xn
15、 2sinxnyn.分析 本小题主要考查函数、数列、不等式、导数等基础知识，考查推理论证能力，考查函数与方程的思想，化归与转化思想及放缩法解析(1)设直线 ln：ykn(x1)，联立 x22nxy20 得(1kn2)x2(2kn22n)xkn20，则(2kn22n)24(1kn2)kn20，knn2n1(n2n1舍去)，xn2 kn21kn2n2n12，即 xn nn1.ynkn(xn1)n 2n1n1.(2)证明：1xn1xn1 nn11 nn112n1，x1x3x5x2n112342n12n13352n12n112n1，x1x3x5x2n11xn1xn.由于xnyn12n11xn1xn，可令函数 f(x)x 2sinx，则 f(x)1 2cosx，令 f(x)0，得 cosx 22，给定区间(0，4)，则有 f(x)0，则函数 f(x)在(0，4)上单调递减，f(x)f(0)0，即 x 2sinx 在(0，4)上恒成立又 012n1134，则有12n1 2sin12n1，即1xn1xn0，即 1556n1log56115115.85.当 2n15 时，SnSn1.故 n15 时，Sn取得最小值