1、立体几何一、高考动向：考查思维能力和空间想象能力，特别是使用向量代数方法解决立体几何几何问题的能力，以顺应几何的改革方向，高考命题侧重于直线与平面之间的各种位置关系的考查，从川卷来看，一般是三小一大，估计26分左右。客观题仍是侧重于点线面位置关系及空间角，有可能涉及求表面积和体积问题，难度不会太大，主观题估计向新课标靠拢。锥体和柱体作为载体，传统法和向量法都好解决问题仍是主旋律，主要考查线面的平行与垂直，角与距离考查可能减少，也可能出现新的题型，如开放性试题，立体几何背景下的点的轨迹问题等，试题新颖，立意巧妙，要注意训练。二、主干知识整合1空间几何体的三视图(1)正视图：光线从几何体的前面向后
2、面正投影得到的投影图；(2)侧视图：光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图；(3)俯视图：光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图2斜二测画水平放置的平面图形的基本步骤(1)建立直角坐标系，在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的Ox，Oy，建立直角坐标系；(2)画出斜坐标系，在画直观图的纸上(平面上)画出对应的Ox，Oy，使xOy45(或135)，它们确定的平面表示水平平面；(3)画对应图形，在已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中画成平行于x轴，且长度保持不变；在已知图形中平行于y轴的线段，在直观图中画成平行于y轴，且长度变为原来的一半
3、；(4)擦去辅助线，图画好后，要擦去x轴、y轴及为画图添加的辅助线(虚线)3基本面积公式4空间几何体的体积计算公式5平行关系的转化两平面平行问题常常转化为直线与平面的平行，而直线与平面平行又可转化为直线与直线平行，所以要注意转化思想的应用，以下为三种平行关系的转化示意图6解决平行问题时要注意以下结论的应用(1)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行(2)两个平面平行，其中一个平面内的任一直线必平行于另一个平面(3)一条直线与两平行平面中的一个相交，那么它与另一个也相交(4)平行于同一条直线的两条直线平行(5)平行于同一个平面的两个平面平行(6)如果一条直线与两个相交平面都平行，那么这条直
4、线必与它们的交线平行7垂直关系的转化与平行关系之间的转化类似，它们之间的转化如下示意图在垂直的相关定理中，要特别注意记忆面面垂直的性质定理：两个平面垂直，在一个平面内垂直于它们交线的直线必垂直于另一个平面当题目中有面面垂直的条件时，一般都要用此定理进行转化8空间向量(1)加减法和线性运算； (2)共线向量定理；(3)共面向量定理; (4)空间向量基本定理；(5)空间两个向量的夹角；空间两向量夹角的范围是0，即0a，b；(6)向量的数量积； (7)空间向量的坐标运算9夹角计算公式(1)线线角：直线与直线所成的角为，如两直线的方向向量分别为a，b，则cos|cosa，b|；(2)线面角：直线与平面
5、所成的角为，如直线的方向向量为a，平面的法向量为n，则sin|cosa，n|；(3)面面角：两相交平面所成的角为，两平面的法向量分别为n1和n2，则cos|cosn1，n2|，其特殊情况是两个半平面所成的角即二面角，也可以用这个公式解决，但要判定二面角的平面角是锐角还是钝角的情况以决定cos|cosn1，n2|还是cos|cosn1，n2|.10距离公式(1)点点距：点与点的距离，以这两点为起点和终点的向量的模；(2)点线距：点M到直线a的距离，如直线的方向向量为a，直线上任一点为N，则点M到直线a的距离d|sin，a；(3)线线距：两平行线间的距离，转化为点线距离；两异面直线间的距离，转化为
6、点面距离或者直接求公垂线段的长度；(4)点面距：点M到平面的距离：如平面的法向量为n，平面内任一点为N，则点M到平面的距离d|cos，n|；(5)线面距：直线和与它平行的平面间的距离，转化为点面距离；(6)面面距：两平行平面间的距离，转化为点面距离.三、课前热身：1. (1)2011山东卷 如图123是长和宽分别相等的两个矩形给定下列三个命题：存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如图123；存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如图123；存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如图123.其中真命题的个数是()图123A3 B2 C1 D0（2） 一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45，腰和
7、上底长均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是()A. B1C1 D2(1)A(2)D【解析】 (1)可以是放倒的三棱柱，所以正确；容易判断正确；可以是放倒的圆柱，所以也正确(2)如图，设直观图为OABC，建立如图所示的坐标系，按照斜二测画法的规则，在原来的平面图形中，OCOA，且OC2，BC1，OA121，故其面积为22.2.(1) 2011安徽卷 一个空间几何体的三视图如图124所示，则该几何体的表面积为()图124A48 B328C488 D80(2)2011湖南卷 设图125是某几何体的三视图，则该几何体的体积为()图125A12 B18C942 D3618(1) C(2)B【解析】
8、(1)由三视图可知本题所给的是一个底面为等腰梯形的放倒的直四棱柱(如图所示)，所以该直四棱柱的表面积为S2(24)4442424488.(2)由三视图可得这个几何体是由上面是一个直径为3的球，下面是一个长、宽都为3、高为2的长方体所构成的几何体，则其体积为：VV1V2333218，故选B.【点评】 我们常见的柱体一般是把底面放在水平面上，锥体也往往是把底面放在水平面上，但是柱体和锥体也可以把其侧面或者一条母线放在水平面上，也可以以其他各种可能的方式放置在空间，这时其三视图就会出现各种可能，在根据空间几何体的三视图还原空间几何体的形状时，要克服思维定势3. 2011辽宁卷 已知球的直径SC4，A
9、，B是该球球面上的两点，AB，ASCBSC30，则棱锥SABC的体积为()A3 B2 C. D1C【解析】 如图，过A作AD垂直SC于D，连接BD.由于SC是球的直径，所以SACSBC90，又ASCBSC30，又SC为公共边，所以SACSBC.由于AD SC，所以BDSC.由此得SC平面ABD.所以VSABCVSABDVCABDSABDSC.由于在RtSAC中ASC30，SC4，所以AC2，SA2，由于AD.同理在RtBSC中也有BD.又AB，所以ABD为正三角形，所以VSABCSABDSC()2sin604，所以选C.【点评】 本题考查空间想象能力、逻辑推理能力和运算能力本题的难点在于对三棱
10、锥SABC的结构特征的分析判断，其中的体积分割法是求解体积问题时经常使用的技巧4. 设m，n是平面内的两条不同直线；l1，l2是平面内的两条相交直线，则的一个充分而不必要条件是()Am且l1 Bml1且nl2Cm且n Dm且nl2【解析】 B选项A作条件，由于这是两个平面中各有一条直线与另一个平面平行，是不能得到的，但却能得到选项A，故选项A是必要而不充分条件；选项B作条件，此时m，n一定是平面内的两条相交直线(否则，根据公理4得直线l1l2，与已知矛盾)，这就符合两个平面平行判定定理的推论“一个平面内如果有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行”，故条件是充分的，
11、但是在时，由于直线m，n在平面内的位置不同，只能得到m，n与平面平行，得不到ml1，nl2的结论，故条件是不必要的，故选项B中的条件是充分而不必要的；选项C作条件，由于m，n只是平面内的两条不同直线，这两条直线可能相互平行，故得不到的必然结论，这个条件是不充分的，但却能得到选项C，故选项C是必要而不充分条件；选线D作条件，由nl2可得n，这样平面的直线m，n分别与平面平行，由于m，n可能平行，故也得不到的必然结论，故这个条件是不充分的，当时，只能得到m但得不到nl2，故条件也不是必要的，选项D中的条件是既不充分也不必要的5. （辽宁理8）。如图，四棱锥SABCD的底面为正方形，SD底面ABCD
12、，则下列结论中不正确的是（A）ACSB（B）AB平面SCD（C）SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角（D）AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角【答案】D6. (1)在三棱柱ABCA1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是()A30 B45 C60 D90(2)如图133，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H分别为DE，AF的中点，将ABC沿DE，EF，DF折成正四面体PDEF，则四面体中异面直线PG与DH所成的角的余弦值为_图133(1)C(2)【解析】 (1)如图，E为BC中点，设三棱
13、柱的棱长为2，则DE1，AE且AE平面B1BCC1，则tanADE，故所求的角是60.(2)折成的四面体是正四面体，画出立体图形，根据中点找平行线，把所求的异面直线角转化到一个三角形的内角来计算如图，连接HE，取HE的中点K，连接GK，则GKDH，故PGK即为所求的异面直线所成的角或者其补角设这个正四面体的棱长为2，在PGK中，PG，GK，PK，故cosPGK.即异面直线PG与DH所成的角的余弦值是.四、要点热点探究例12011江苏卷 如图131，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABAD，BAD60，E、F分别是AP、AD的中点求证：(1)直线EF平面PCD；(2)平面BEF平面
14、PAD.图131【分析】 本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力【解答】 证明：(1)在PAD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EFPD.又因为EF平面PCD，PD平面PCD，所以直线EF平面PCD.(2)连接BD，因为ABAD，BAD60，所以ABD为正三角形，因为F是AD的中点，所以BFAD.因为平面PAD平面ABCD，BF平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以BF平面PAD.又因为BF平面BEF，所以平面BEF平面PAD.【点评】 在立体几何的平行关系问题中，“中点”是经常使用的一个特殊点，无论是试题本身的已知条件，还是在具体的解题中
15、，通过找“中点”，连“中点”，即可出现平行线，而线线平行是平行关系的根本在垂直关系的证明中，线线垂直是问题的核心，可以根据已知的平面图形通过计算的方式证明线线垂直，也可以根据已知的垂直关系证明线线垂直，其中要特别重视两个平面垂直的性质定理，这个定理已知的是两个平面垂直，结论是线面垂直例2 2011湖北卷 如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长都是4，E是BC的中点，动点F在侧棱CC1上，且不与点C重合(1)当CF1时，求证：EFA1C；(2)设二面角CAFE的大小为，求tan的最小值【解答】 解法1：过E作ENAC于N，连接EF.(1)如图，连接NF、AC1，由直棱柱的性质知，底面ABC
16、侧面A1C，又底面ABC侧面A1CAC，且EN底面ABC，所以EN侧面A1C，NF为EF在侧面A1C内的射影，在RtCNE中，CNCEcos601，则由，得NFAC1.又AC1A1C，故NFA1C，由三垂线定理知EFA1C.(2)如图，连接AF，过N作NMAF于M，连接ME，由(1)知EN侧面A1C，根据三垂线定理得EMAF，所以EMN是二面角CAFE的平面角，即EMN，设FAC，则045.在RtCNE中，NEECsin60，在RtAMN中，MNANsin3sin，故tan.又045，0sin，故当sin，即当45时，tan达到最小值，tan，此时F与C1重合解法2：(1)建立如图所示的空间直
17、角坐标系，则由已知可得A(0,0,0)，B(2，2,0)，C(0,4,0)，A1(0,0,4)，E(，3,0)，F(0,4,1)，于是(0，4,4)，(，1,1)，则(0，4,4)(，1,1)0440，故EFA1C.(2)设CF(04)，平面AEF的一个法向量为m(x，y，z)，则由(1)得F(0,4，)，(，3,0)，(0,4，)，于是由m，m可得即取m(，4)，又由直三棱柱的性质可取侧面A1C的一个法向量为n(1,0,0)，于是由为锐角可得cos，sin，所以tan，由00)，所以AB.法一：假设在线段AD上存在一个点G，使得点G到点P、B、C、D的距离都相等由、消去t，化简得m23m40
18、.由于方程没有实数根，所以在线段AD上不存在一个点G，使得点G到点P、C、D的距离都相等从而，在线段AD上不存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等设G(0，m,0)(其中0m4t)则(1,3tm,0)，(0,4tm,0)，(0，m，t)由|得12(3tm)2(4tm)2，即t3m；由|得(4tm)2m2t2.法二：假设在线段AD上存在一个点G，使得点G到点P、B、C、D的距离都相等由GCGD，得GCDGDC45，从而CGD90，即CGAD.所以GDCDcos451.设AB，则AD4，AGADGD3.在RtABG中，GB1.这与GBGD矛盾所以在线段AD上不存在一个点G，使得点G到
19、点B、C、D的距离都相等从而，在线段AD上不存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等.8. （湖南理19） 如图5，在圆锥中，已知=，O的直径,是的中点，为的中点（）证明：平面平面;（）求二面角的余弦值。解法1：连结OC，因为又底面O，AC底面O，所以，因为OD，PO是平面POD内的两条相交直线，所以平面POD，而平面PAC，所以平面POD平面PAC。（II）在平面POD中，过O作于H，由（I）知，平面所以平面PAC，又面PAC，所以在平面PAO中，过O作于G， 连接HG，则有平面OGH，从而，故为二面角BPAC的平面角。在在在在所以故二面角BPAC的余弦值为解法2：（I）如图所示
20、，以O为坐标原点，OB、OC、OP所在直线分别为x轴、y轴，z轴建立空间直角坐标系，则，设是平面POD的一个法向量，则由，得所以设是平面PAC的一个法向量，则由，得所以得。因为所以从而平面平面PAC。（II）因为y轴平面PAB，所以平面PAB的一个法向量为由（I）知，平面PAC的一个法向量为设向量的夹角为，则由图可知，二面角BPAC的平面角与相等，所以二面角BPAC的余弦值为9. （北京理16） 如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，.()求证：平面（）若求与所成角的余弦值；（）当平面与平面垂直时，求的长. 证明：（）因为四边形ABCD是菱形，所以ACBD.又因为PA平面ABCD.所以PABD.
21、所以BD平面PAC.（）设ACBD=O.因为BAD=60，PA=PB=2,所以BO=1，AO=CO=.如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系Oxyz，则P（0，2），A（0，0），B（1，0，0），C（0，0）.所以设PB与AC所成角为，则.（）由（）知设P（0，t）（t0），则设平面PBC的法向量,则所以令则所以同理，平面PDC的法向量因为平面PCB平面PDC,所以=0，即解得所以PA=10.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，BAD60，ABPA2，PA平面ABCD，E是PC的中点，F是AB中点(1)求证：BE平面PDF；(2)求证：平面PDF平面PAB；(3)求BE与平面P
22、AC所成的角 【解答】 (1)证明：取PD中点为M，连ME，MF.E是PC的中点，ME是PCD的中位线，MECD.F是AB的中点且四边形ABCD是菱形，ABCD，MEFB，四边形MEBF是平行四边形，BEMF.BE平面PDF，MF平面PDF，BE平面PDF.(2)证明：PA平面ABCD，DF平面ABCD，DFPA.底面ABCD是菱形，BAD60，DAB为正三角形F是AB中点，DFAB.PA、AB是平面PAB内的两条相交直线，DF平面PAB.DF平面PDF，平面PDF平面PAB.(3)连BD交AC于O、连EO，底面ABCD是菱形，BOAC.PA平面ABCD，BO平面ABCD，BOPA.PA、AC是平面PAC内的两条相交直线，BO平面PAC，EO是BE在平面PAC内的射影，BEO是BE与平面PAC所成的角O是AC、BD的中点，BO1，EO是PAC的中位线，EOPA1.在直角BEO中，tanBEO1，BEO45.直线BE与平面PAC所成的角为45.高考资源网()来源：高考资源网版权所有：高考资源网(www.k s 5 )