1、1.2.1 排列1.理解排列数的定义,并掌握排列数公式及其应用.2.会用排列数的定义、排列数公式来解决一些简单的实际问题.1 2 1.排列的有关概念(1)一般地,从n个不同元素中任取m(mn)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.(2)两个排列相同的含义:组成排列的元素相同,并且元素的排列顺序也相同.(3)从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号表示.A 1 2 知识拓展(1)排列的定义中包括两个基本内容:一是“取出元素”;二是“按一定顺序排列”.(2)从定义知,只有当元素完全相同,并且元素排列
2、的顺序也完全相同时,才是同一个排列.元素完全不同,或元素部分相同,或元素完全相同而排列顺序不同的排列,都不是同一排列,叫做不同排列.(3)在定义中规定mn.(4)在定义中“一定顺序”就是说与位置有关.在实际问题中,要由具体问题的性质和条件来决定,这一点要特别注意.(5)判断一个具体问题是不是排列问题,就看从n个不同元素中取出m个元素后,再安排这m个元素时是有序还是无序,有序就是排列,无序就不是排列.1 2【做一做1】从三本不同的书中任选两本,放在甲、乙两个书架上,有 种不同的放法.解析:完成上述事情,需要分成两个步骤:第一步,从三本书中任选一本放在甲书架上,共有3种不同的方法;第二步,从剩下的
3、两本书中任选一本放在乙书架上,有2种不同的方法.根据分步乘法计数原理,不同的放法共有32=6(种).答案:6 1 2 2.排列数公式(1)排列数公式:A=!(-)!=n(n-1)(n-2)(n-m+1),这里 n,mN+,并且 mn.(2)一般地,n 个不同元素全部取出的一个排列,叫做 n 个不同元素的一个全排列.A=n!.(3)规定:0!=1.1 2 知识拓展(1)排列数公式的特点:这个公式在m,nN+,mn的情况下成立,mn时不成立;排列数公式的推导过程是不完全归纳法,不是严格的证明,要严格证明排列数公式,可采用数学归纳法证明.这个证明不作要求,今后直接应用公式即可;公式右边是m个数的连乘
4、积,形式较复杂,其特点是:公式右边的第一个因数是n,后面的每一个因数都比它前面的因数小1,最后一个因数为n-m+1,共有m个因数相乘.1 2(2)排列数公式的阶乘表示为Anm=n(n-1)(n-2)(n-m+1)=n(n-1)(n-2)(n-m+1)(n-m)21(n-m)(n-m-1)321=n!(n-m)!,即Anm=n!(n-m)!.在一般情况下,排列数的第一个公式Anm=n(n-1)(n-2)(n-m+1)适用于具体的计算以及解 m 较小的排列数方程和不等式;排列数的第二个公式Anm=n!(n-m)!适用于与排列数有关的证明、解方程、解不等式等情况.在具体运用时,应注意先提取公因式再计
5、算,同时还要注意隐含条件“mn 且 m,nN+”的运用.0!=1 是一种规定,不能按阶乘的含义作解释.1 2【做一做2-1】设mN+,且m6A9-2.分析求解以排列数形式给出的方程或不等式时,应体现化归与转化的思想,利用公式转化为一般的代数方程、不等式再求解.题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 解:(1)由排列数公式,得 3(-1)(-2)=2(+1)+6(-1),3,N+.由得 3x2-17x+10=0,解得 x=5 或 x=23,由可知 x=5.(2)原不等式可化为 9!(9-)!69!(9-+2)!,3 9,N+.由式化简得(x-8)(x-13)0,解得x13.由可知3x8,xN+,
6、即x=3,4,5,6,7.故所求不等式的解集为3,4,5,6,7.题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 反思(1)解含有排列数Anm的方程或不等式时,要注意 m,nN+,且 mn 这些限制条件,还要注意其中未知数的取值范围.(2)公式Anm=n(n-1)(n-2)(n-m+1),一般用于计算;而Anm=n!(n-m)!常用于化简与证明.题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型二排队问题【例2】有5名男生,4名女生排成一排.(1)从中选出3人排成一排,有多少种不同的排法?(2)若男生甲不站排头,女生乙不站排尾,则有多少种不同的排法?(3)要求女生必须站在一起,有多少种不同的排法?(4)若4
7、名女生互不相邻,有多少种不同的排法?分析(1)这是一个无限制条件的排列问题,利用排列数公式易求;(2)这是一个有限制条件的排列问题,特殊元素是男生甲和女生乙,排头和排尾是特殊位置,需将问题合理分类、分步再计算;(3)女生站在一起,可将所有女生视为一个整体,既考虑整体内部的排列,又考虑这个整体与其他男生一起的排列;(4)由于4名女生不能相邻,所以可考虑先将男生排好,再将4名女生插空排列.题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 解:(1)只要从 9 名学生中任选三名排列即可,所以共有A93=987=504(种)不同排法.(2)将排法分成两类:一类是甲站在排尾,其余的可全排,有A88种排法;另一类是
8、甲既不站排尾又不站排头,有A71种排法,乙不站排尾而站余下的 7 个位置中的一个,有A71种排法,其余人全排列,于是这一类有A71 A71 A77种排法.由分类加法计数原理知,共有A88+A71 A71 A77=287 280(种)不同排法.题型一 题型二 题型三 题型四 题型五(3)女生必须站在一起,是女生的全排列,有A44种排法.全体女生视为一个元素与其他男生全排列有A66种排法.由分步乘法计数原理知,共有A44 A66=17 280(种)不同排法.(4)分两步.第一步:男生的全排列有A55种排法;第二步:男生排好后,男生之间有 4 个空,加上男生排列的两端共 6 个空,女生在这 6 个空
9、中排列,有A64种排法.由分步乘法计数原理知,共有A55 A64=43 200(种)不同排法.题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 反思(1)对于有限制条件的排列问题,先考虑安排好特殊元素(或位置),再安排一般的元素(或位置),即先特殊后一般,一般用直接法.也可以先不考虑特殊元素(或位置),而列出所有元素的全排列数,从中再减去不满足特殊元素(或位置)要求的排列数,此方法一般是间接法.(2)关于某些元素“相邻”的排列问题,可以把相邻元素看成一个整体,当成一个元素去和其他元素进行排列;而对于元素“不相邻”的排列问题,可先将允许相邻的元素进行排列,然后在它们的空当处插入不能相邻的元素.题型一 题型
10、二 题型三 题型四 题型五 题型三组数问题【例3】用0,1,2,3,4,5这六个数字:(1)能组成多少个无重复数字的四位偶数?(2)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数?(3)能组成多少个无重复数字且比1 325大的四位数?分析该例中的每一个小题都是有限制条件的排列问题.除了应注意题目中要求的明显条件外,还应注意隐含条件“0不能排在首位”.题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 解:(1)符合要求的四位偶数可分为三类:第一类:当 0 在个位时有A53个;第二类:当 2 在个位时,首位从 1,3,4,5 中选定 1 个(有A41种),十位和百位从余下的数字中选(有A42种),于是有A41
11、A42个;第三类:当 4 在个位时,与第二类同理,也有A41 A42个.由分类加法计数原理知,所求的四位偶数共有A53+A41 A42+A41 A42=156(个).题型一 题型二 题型三 题型四 题型五(2)五位数中无重复数字且是 5 的倍数的数可分为两类:个位上的数字是 0 的五位数有A54个;个位上的数字是 5 的五位数有A41 A43个.故所求的五位数共有A54+A41 A43=216(个).(3)无重复数字且比 1 325 大的四位数可分为三类:第一类是形如 2,3,4,5,共A41 A53个;第二类是形如 14,15,共有A21 A42个;第三类是形如 134,135,共有A21
12、A31个.由分类加法计数原理知,所求的四位数共有A41 A53+A21 A42+A21 A31=270(个).题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 反思 不同数字的无重复排列是排列问题中的一类典型问题.其常见的附加条件有:奇数、偶数、倍数、大小关系等,也可以有相邻问题、插空问题,也可以与数列等知识相联系等.解决这类问题的关键是搞清事件是什么,元素是什么,位置是什么,给出了什么样的附加条件.然后按特殊元素(位置)的性质分类(每一类的各种方法都能保证事件的完成),按事件发生的连续过程合理分步来解决.这类问题的隐含条件“0不能排在首位”尤其不能忽略.题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型四与
13、几何知识相联系的应用题【例4】从数字0,1,3,5,7中取出不同的三个数作为方程ax2+bx+c=0的系数,可以组成多少个不同的一元二次方程?其中有实根的方程有多少个?分析题目有两问:第一问隐藏的限制条件是a0;第二问的限制条件等价于0,且a0,即受不等式b2-4ac0且a0的制约,需分类讨论.题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 解:先考虑组成一元二次方程的问题:首先确定 a,只能从 1,3,5,7 中选一个,有A41种,然后从余下的 4 个数中任选两个作 b,c,有A42种.由分步乘法计数原理,共组成一元二次方程的个数为A41 A42=48.方程要有实根,必须满足=b2-4ac0.分类讨
14、论如下:当 c=0 时,a,b 可在 1,3,5,7 中任取两个排列,有A42个;当 c0 时,分析判别式知 b 只能取 5,7.当 b 取 5 时,a,c 只能取 1,3这一组数,有A22种;当 b 取 7 时,a,c 可取 1,3 或 1,5 这两组数,有 2A22种.此时共有(A22+2A22)个.由分类加法计数原理知,有实根的一元二次方程共有A42+A22+2A22=18(个).题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 反思 该例题的限制条件较隐蔽,需仔细分析.一元二次方程须满足a0.对有实根的一元二次方程,因为0,所以有两层意思:一是a不能为0;二是要保证b2-4ac0,故需先对c能否
15、取0进行分类讨论.实际问题中,既要能观察出是排列问题,又要能搞清哪些是特殊元素,还要根据问题进行合理分类、分步,选择合适的解法.因此需做一定量的排列应用题,逐渐掌握解决问题的基本思路.题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型五易错辨析【例5】将铅笔、圆珠笔、橡皮、直尺四件文具分给甲、乙、丙3名小朋友,每人至少分到一件文具,有多少种不同的分法?错解:第一步,先分给 3 名小朋友每人一件,有A43种方法;第二步,将余下的一件给 3 名小朋友中任何一人,有A31种方法.所以,共有A43 A31=72 种方法.题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 错因分析这是一种常见的处理方式,但不是严密的解题
16、方法,其中含有重复现象,如第一步分配为 铅笔甲 圆珠笔乙 橡皮丙,第二步直尺分给甲,结果是 铅笔 直尺甲 圆珠笔乙 橡皮丙;第一步分配为直尺甲 圆珠笔乙 橡皮丙,第二步将铅笔分给甲,结果是直尺 铅笔甲 圆珠笔乙 橡皮丙.显然这两种结果是相同的.错误的原因是,必有一名小朋友得到两件文具,且与得到的先后顺序无关,因而这不是纯排列问题.题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 正解应先将铅笔、圆珠笔、橡皮、直尺分成三组,显然有 6 种分法,再将分好的三组分别分给 3 名小朋友,有A33种方法,所以共有N=6A33=36(种)方法.123451.有下列问题:从甲、乙、丙三名同学中选出两名参加一项活动,其
17、中一名同学参加上午的活动,另一名同学参加下午的活动.从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动.从a,b,c,d四个字母中取出2个字母.从a,b,c,d四个字母中取出2个字母,然后按顺序排成一列.其中是排列问题的有()A.1个B.2个 C.3个D.4个 解析:是排列问题,因为选出的两名同学参加的活动与顺序有关;不是排列问题,因为选出的两名同学参加的活动与顺序无关;不是排列问题,因为取出的两个字母与顺序无关;是排列问题,因为取出的两个字母还需要按顺序排成一列.答案:B 123452.将5辆车停放在5个车位上,若A车不停在1号车位上,则不同的停车方案有()A.24种 B.78种 C.96种 D
18、.120种 答案:C 解析:A 车不停在 1 号车位上,它可以停在其他 4 个车位上,有A41种停法,另外 4 辆车可在余下四个车位中全排列,有A44种停法,故共有A41A44=96(种)停法.123453.6名同学排成一排,其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有()A.720种 B.360种 C.240种 D.120种 解析:应用捆绑法,不同排法有 答案:C A55 A22=240(种).123454.写出从甲、乙、丙三个元素中任取两个元素的所有排列:.答案:甲乙,甲丙,乙甲,乙丙,丙甲,丙乙 123455.有5名男生和3名女生,从中选出5人分别担任语文、数学、英语、物理、化学学科的课代表,若某女生必须担任语文课代表,则不同的选法共有 种.解析:由题意知,从剩余7人中选出4人担任4个学科课代表,共有答案:840 A74=840(种).