1、3.1.3 两个向量的数量积1.理解空间向量夹角的概念及表示方法.2.理解两个向量的数量积的概念.3.会利用数量积的定义及运算律,计算两个向量的数量积及向量的模.1.两个向量的夹角(1)定义及表示:已知两个非零向量a,b,在空间中任取一点O,则AOB叫做向量a与b的夹角,记作;(2)范围和性质:规定0,显然有=;如果=90,则称a与b互相垂直,记作ab.【做一做1】已知向量a,b不共线且模相等,m=a+b,n=a-b,则=.作 =a,=b,解析:用向量加减法的几何意义及菱形的性质可求得=2.答案:22.异面直线(1)定义:不同在任何一个平面内的两条直线;(2)两条异面直线所成的角:把异面直线平
2、移到一个平面内,这时两条直线的夹角(锐角或直角)叫做两条异面直线所成的角.如果所成的角是直角,则称两条异面直线互相垂直.【做一做2】在正四面体ABCD中,AB与CD的位置关系是()A.平行B.垂直但不相交 C.相交但不垂直D.相交且垂直 答案:B 名师点拨对异面直线定义的理解需注意的问题:(1)“不在同一平面内的两条直线”是指不在任意一个平面内的两条直线,异面直线既不相交,也不平行,要注意把握异面直线的不共面性.(2)不能把异面直线误解为:分别在不同平面内的两条直线为异面直线.3.两个向量的数量积 已知空间两个向量a,b,则|a|b|cos叫做两个空间向量a,b的数量积(或内积),记作ab,即
3、,ab=|a|b|cos.【做一做3】已知|a|=2,|b|=3,=60,则ab=.答案:3 4.空间向量数量积的性质(1)ae=|a|cos(e为单位向量);(2)abab=0;(3)|a|2=aa;(4)|ab|a|b|.名师点拨两个向量的数量积的性质的作用:性质(1)可以帮助我们求两个向量的夹角.性质(2)用于判断空间两个向量是否垂直.性质(3)主要用于计算向量的模.性质(4)主要用于不等式的证明.5.两个空间向量的数量积满足的运算律(1)(a)b=(ab);(2)ab=ba(交换律);(3)(a+b)c=ac+bc(分配律).【做一做4】下列各式不正确的是 .(填序号)=;ab=0a=
4、0或b=0;|ab|=|a|b|;a(b+c)=(b+c)a.解析:ab=0ab,命题错误;|ab|=|a|b|cos|,命题错误;正确.答案:=|,命题错误;1.如何理解空间向量的夹角?剖析:(1)只有两个非零向量才可以定义夹角,求向量的夹角注意把向量平移到同一起点;(2)向量夹角的范围是0,向量同向时夹角为0,向量反向时夹角为;(3)注意零向量与任意向量平行,零向量与任意向量垂直.2.如何理解异面直线?剖析:(1)两直线不同在某一个平面不一定是异面直线,异面直线是不同在任何一个平面内,异面直线既不平行也不相交;(2)注意异面直线所成角的范围是 0,2;(3)在空间中两直线垂直但未必相交.3
5、.如何理解空间向量的数量积?剖析:(1)空间向量的数量积是平面向量数量积的推广;(2)空间向量的数量积的运算符号是“”,不能省略,更不能写成“”;(3)空间向量的数量积(内积)是一个实数而不是一个向量,它有别于数乘向量;(4)空间向量的数量积不满足结合律,即a(bc)(ab)c;(5)若 ab=k,不能得出 a=;(6)ab的充要条件是ab=0,这是用向量证明空间中垂直关系的根本方法.题型一 题型二 题型三 求空间向量的夹角【例1】如图,在正方体ABCD-ABCD中,求下列各向量的夹角:(1)与 ;(2)与 .分析:结合图形,利用空间向量的夹角的定义求解.解:(1)=,=90.(2)在 BA
6、的延长线上作 =,易知EAC=135,=135.题型一 题型二 题型三 反思求两个向量的夹角,一种方法是结合图形平移向量,利用空间向量的夹角的定义通过解三角形来求,但要注意向量夹角的范围;另一种方法是先求 ab,然后利用公式 cos=|求cos,最后确定.题型一 题型二 题型三 求空间向量的数量积【例 2】已知长方体 ABCD-ABCD,AB=AA=2,AD=4,E 为侧面AB的中心,F 为 AD的中点,计算下列数量积:(1);(2);(3).解:如图,设 =a,=b,=c,则由题意,得|a|=|c|=2,|b|=4,|=2 2,=45,ab=bc=ca=0.(1)=|cos=2 2 2 22
7、=4;(2)=b 12(-)+=|2=16;(3)=12(-)+12 12 +=12|2+14|2=2.题型一 题型二 题型三 反思求两个向量m,n的数量积一般分为两个层次:一是结合图形确定向量m,n的模及的大小,直接利用空间向量数量积的定义来求,此种情况下要注意向量夹角的正确性;二是选定一组基向量表示向量m,n,从而把m,n的数量积通过运算转化为基向量之间的数量积来求.题型一 题型二 题型三 空间向量的数量积的应用【例3】如图所示,在平行四边形ABCD中,AB=AC=1,ACD=90,将它沿对角线AC折起,使AB与CD成60角,求B,D间的距离.分析:可选基底表示出 ,利用性质|a|2=aa
8、 来求|.题型一 题型二 题型三 解:ACD=90,=0,同理 =0.AB 与 CD 成 60角,=60或120.又 =+,|2=|2+|2+|2+2(+)=1+1+1+2 1 1 cos,当=60时,|2=3+2cos 60=4,当=120时,|2=3+2cos 120=2.|=2 或 2,即B,D 间的距离为 2或 2.反思通过向量数量积的性质,可证明空间中的垂直关系,求空间中两点间的距离,求空间中角的度数.123451.已知|a|=13,|b|=19,|a+b|=24,则|a-b|=()A.22B.48C.46 D.32解析:利用|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2)可得|
9、a-b|2=484,故|a-b|=22.答案:A 123452.若 cos=12,则=()A.60 B.30 C.45 D.90 答案:A 123453.已知|a|=3 2,|b|=4,m=a+b,n=a+b,=135,mn,则=.解析:ab=|a|b|cos=3 2 4 -22 =12,mn=(a+b)(a+b)=|a|2+|b|2+(1+)ab=0,(3 2)2+42+(1+)(12)=0,解得=32.答案:32123454.已知|a|=2 2,|b|=22,ab=2,则=.解析:cos=|=22,=135.答案:135123455.根据下列等式,求.(1)cos=1;(2)cos=0;(3)ab=-|a|b|.解:(1)cos=1,=0;(2)cos=0,=90;(3)ab=-|a|b|,|=1=cos,=180.