1、等差数列及其前n项和一、选择题1(2021山西太原五中高三二模)在等差数列an中，a112a86，则a2a6a7()A18 B6 C8 D12Aa112a86a11a56，所以，a56，设等差数列an的公差为d，则a2a6a7(a1d)(a15d)(a16d)3(a14d)3a5182(2021黑龙江哈师大附中高三三模)Sn是等差数列an的前n项和，a1a2a33，a7a910，则S9()A9 B16 C20 D27D由a1a2a33得a1a2a33a23，则a21，由a7a910得a7a92a810，则a85，所以S939273(2021四川绵阳高三三模)已知等差数列an满足a4a622，a
2、1a957，则该等差数列的公差为()A1或1 B2C2 D2或2D由a1a9a4a622，a1a957，所以a1，a9是方程x222x570的两实数根，解得 或 所以公差d2或24(2021北京高考)数列an是递增的整数数列，且a13，a1a2a3an100，则n的最大值为()A9 B10 C11 D12C要想n最大，前面的项应该越小越好，3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14前12项和为102，超过了100，故n的最大值为11如3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,255(2021贵州凯里一中高三三模)已知an为递增的等差数列，a3a415，a2a58，若an21，
3、则n()A9 B10 C11 D12D因为an为等差数列，a2a58，所以a3a48，由得 或 (舍)，所以所以an2n3令2n321，得n126(2020全国卷)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上，中，下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)()A3 699块 B3 474块C3 402块 D3 339块C由题意知，由天心石开始向外的每环的扇面形石板块数构成一个等差数列，记为an，易知
4、其首项a19，公差d9，所以ana1(n1)d9n设数列an的前n项和为Sn，由等差数列的性质知Sn，S2nSn，S3nS2n也成等差数列，所以2(S2nSn)SnS3nS2n，所以(S3nS2n)(S2nSn)S2n2Sn29n2729，得n9，所以三层共有扇面形石板的块数为S3n3 402，故选C二、填空题7数列an的各项都是正数，a12，aa2，那么此数列的通项公式为an 因为a a2，所以aa2，所以数列是一个以a4为首项，以2为公差的等差数列，所以a 4(n1)22n2，因为数列an的各项都是正数，所以an8(2020新高考全国卷)将数列2n1与3n2的公共项从小到大排列得到数列an
5、，则an的前n项和为 3n22n将数列2n1与3n2的公共项从小到大排列得到数列an，则an是以1为首项，以6为公差的等差数列，故它的前n项和为Snn163n22n9(2021山西忻州高三三模)九章算术卷七“盈不足”有这样一段话：“今有良马与驽马发长安至齐齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增十三里驽马初日行九十七里，日减半里”意思是：今有良马与驽马从长安出发到齐国，齐国与长安相距3 000里，良马第一日走193里，以后逐日增加13里，驽马第一日走97里，以后逐日减少0.5里则8天后两马之间的距离为 里1 146良马日行里数构成以193为首项，13为公差的等差数列；驽马日行里数则构成以9
6、7为首项，0.5为公差的等差数列，则两马同时出发后第8日，良马共行里数1938131 908 (里)，而驽马共行里数978(0.5)762(里)，所以良马较驽马多行1 9087621 146里三、解答题10记Sn是公差不为零的等差数列an的前n项和，若a3S5，a2a4S4(1)求数列an的通项公式an；(2)求使Snan成立的n的最小值解(1)由等差数列的性质可得：S55a3，则：a35a3，a30，设等差数列的公差为d，从而有：a2a4(a3d)(a3d)d2，S4a1a2a3a4(a32d)(a3d)a3(a3d)2d，从而：d22d，由于公差不为零，故d2，数列的通项公式为：ana3(
7、n3)d2n6(2)由数列的通项公式可得：a1264，则Snn(4)2n25n，则不等式Snan即n25n2n6，整理可得(n1)(n6)0，解得n6，又n为正整数，故n的最小值为711已知等差数列的前三项依次为a,4,3a，前n项和为Sn，且Sk110(1)求a及k的值；(2)已知数列bn满足bn，证明数列bn是等差数列，并求其前n项和Tn解(1)设该等差数列为an，则a1a，a24，a33a，由已知有a3a8，得a1a2，公差d422，所以Skka1d2k2k2k由Sk110，得k2k1100，解得k10或k11(舍去)，故a2，k10(2)由(1)得Snn(n1)，则bnn1，故bn1b
8、n(n2)(n1)1，又b12，即数列bn是首项为2，公差为1的等差数列，所以Tn 1若an是等差数列，首项a10，a2 019a2 0200，a2 019a2 0200，则使前n项和Sn0成立的最大正整数n是()A2 019 B2 020 C4 039 D4 038Dan是等差数列，首项a10，a2 019a2 0200，a2 019a2 0200，所以an是递减的等差数列，且a2 0190，a2 0200，因为a2 019a2 020a1a4 0380，a1a4 0392a2 0200，所以S4 0380，S4 0390所以使前n项和Sn0成立的最大正整数n是4 038故选D2(2021山
9、东菏泽市高三二模)已知正项数列an的前n项和为Sn，且Sn，则不超过的最大整数是 88Sn，n1时，S1，S10，解得S11n2时，anSnSn1，代入可得：Sn，化为：SS1，可得数列S为等差数列，首项为1，公差为1，S1n1n，解得Sn(n2时，右边成立)即2()2()，2(1)88，12(1)89，所以8889，所以不超过的最大整数是883已知一次函数f(x)x82n(1)设函数yf(x)的图象与y轴交点的纵坐标构成数列an，求证：数列an是等差数列；(2)设函数yf(x)的图象与y轴的交点到x轴的距离构成数列bn，求数列bn的前n项和Sn解(1)证明：由题意得an82n，因为an1an
10、82(n1)82n2，且a1826，所以数列an是首项为6，公差为2的等差数列(2)由题意得bn|82n|由b16，b24，b32，b40，b52，可知此数列前4项是首项为6，公差为2的等差数列，从第5项起，是首项为2，公差为2的等差数列所以当n4时，Sn6n(2)n27n，当n5时，SnS4(n4)22n27n24故Sn1已知数列an的前n项和为Sn，a11，anan12n1(nN*)，则a20 ，S21 20231anan12n1，an1an22n3，得an2an2数列an的奇数项和偶数项均成公差为2的等差数列又a11，且a1a23，a22，a21110221，a2029220，S21(a1a3a21)(a2a4a20)2312等差数列an中，a3a44，a5a76(1)求an的通项公式；(2)设bnan，求数列bn的前10项和，其中x表示不超过x的最大整数，如0.90，2.62解(1)设数列an的公差为d，由题意有2a15d4，a15d3解得a11，d所以an的通项公式为an(2)由(1)知，bn当n1,2,3时，12，bn1；当n4,5时，23，bn2；当n6,7,8时，34，bn3；当n9,10时，45，bn4所以数列bn的前10项和为1322334224