1、课时作业(十二)直线与平面垂直的判定A组基础巩固1.空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是()A垂直且相交B相交但不一定垂直C垂直但不相交D不垂直也不相交解析：取BD的中点E，连接AE，CE.可证BDAE，BDCE，而AECEE，即得BD平面AEC.得BDAC.故选C.答案：C2正方体ABCDA1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总保持APBD1，则动点P的轨迹是()A线段B1CB线段BC1CBB1中点与CC1中点连成的线段DBC中点与B1C1中点连成的线段解析：如图，由于BD1平面AB1C，故点P一定位于B1C上答案：A3在四棱锥PABCD中，
2、底面ABCD是菱形，PA底面ABCD，M是棱PC上一点若PAACa，则当MBD的面积为最小值时，直线AC与平面MBD所成的角为()A.B.C. D.解析：因为PA底面ABCD，则PAAC，又PAAC，PCA45，因PABPADPBPD，又PBMPDMBMDM，设AC与BD交于0，则OMBD，SMCDBDOM最小，只需OM最短，过O作OMPC，垂足为M，连接MB、MA，此时直线AC与平面MBD所成的角为CMO.答案：B4如图，四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，则PD与平面ABCD所成的角为图中的()APADBPDACPDBDPDC解析：PA平面ABCD，AD是PD在平面ABCD上的射影，故P
3、DA是PD与平面ABCD所成的角答案：B5若斜线段AB是它在平面内的射影长的2倍，则AB与平面所成角为()A30 B45C60 D120解析：设AB与平面所成的角为，由题意可知cos，60.答案：C6已知三条相交于点P的线段PA，PB，PC两两垂直，P在平面ABC外，PH平面ABC于H，则垂足H是三角形ABC的()A外心 B内心C垂心 D重心解析：如图，PA、PB、PC两两垂直，PA平面PBC，PABC.又BCPH，PAPHP，BC平面PAH，BCAH.同理ABCH，ACBH.点H为ABC的垂心答案：C7如图，ADB和ADC都是以D为直角顶点的直角三角形，且ADBDCD，BAC60，则直线AD
4、平面_；直线BD平面_；直线CD平面_解析：ADB、ADC都是直角三角形，ADBD，ADDC，又BDDCD，AD平面BDC.又ADBDCD，ABAC，又BAC60，ABC为正三角形，BCABAC，BDC90，由直线和平面垂直的判定定理，得BD平面ADC，CD平面ABD.答案：BDCADCABD8在RtABC中，D是斜边AB的中点，AC6，BC8，EC平面ABC，且EC12，则ED_.解析：如图所示，在RtABC中，CDAB.AC6，BC8，AB10.CD5.EC平面ABC，CD平面ABC，ECCD.ED13.答案：139如图所示：直角ABC所在的平面外一点S，SASBSC，点D为斜边AC的中点
5、则直线SD与平面ABC的位置关系为_解析：SASC，点D为斜边AC的中点，SDAC.则在RtABC中，ADDCBD，ADSBDS，SDBD.又ACBDD，SD平面ABC.答案：垂直10如图，四棱锥PABCD的底面是边长为1的正方形，PDBC，PD1，PC.求证：PD平面ABCD.证明：PDDC1，PC，PD2DC2PC2，PDC是直角三角形PDCD.又PDBC，BCCDC，且BC平面ABCD，CD平面ABCD，PD平面ABCD.B组能力提升11在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AA1，A1D1的中点，求：(1)D1B与平面ABCD所成角的余弦值；(2)EF与平面A1B1C1D1所
6、成的角解析：(1)如图所示，连接DB，D1D平面ABCD，DB是D1B在平面ABCD内的射影则D1BD即为D1B与平面ABCD所成的角DBAB，D1BAB，cosD1BD，即D1B与平面ABCD所成角的余弦值为.(2)E是A1A的中点，A1A平面A1B1C1D1，EFA1是EF与平面A1B1C1D1所成的角在RtEA1F中，F是A1D1的中点，EFA145.12如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，ADC45，ADAC1，O为AC的中点，PO平面ABCD，PO2，M为PD的中点(1)证明：PB平面ACM；(2)证明：AD平面PAC；(3)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值解析：(1)证明：如图连接BD，MO.在平行四边形ABCD中，O为AC的中点，O为BD的中点，又M为PD的中点，PBMO.PB平面ACM，MO平面ACM，PB平面ACM.(2)证明：ADC45，且ADAC1，DAC90，即ADAC.又PO平面ABCD，AD平面ABCD，POAD，而ACPOO，AD平面PAC.(3)解：取DO的中点N，连接MN，AN.M为PD的中点，MNPO，且MNPO1.由PO平面ABCD，得MN平面ABCD，MAN是直线AM与平面ABCD所成的角在RtDAO中，AD1，AO，DO，从而ANDO.在RtANM中，tanMAN，即直线AM与平面ABCD所成角的正切值为.