1、3.2.3 直线与平面的夹角3.2.4 二面角及其度量1.理解斜线和平面所成角的定义,体会夹角定义的唯一性、合理性.2.会求直线与平面所成的角.3.掌握二面角的概念,二面角的平面角的定义,会找一些简单图形中的二面角的平面角.4.掌握求二面角大小的基本方法.1.直线与平面的夹角(1)如果一条直线与一个平面垂直,我们规定这条直线与平面的夹角为90;(2)如果一条直线与一个平面平行或在平面内,我们规定这条直线与平面的夹角为0;(3)斜线和它在平面内的射影所成的角叫做斜线和平面所成的角(或斜线和平面的夹角);(4)直线与平面的夹角的范围是0,90.【做一做1】已知直线l的一个方向向量与平面的法向量的夹
2、角为135,则直线l与平面的夹角为()A.135B.45 C.75D.以上均错 解析:因为直线与平面的夹角的范围是0,90,所以直线l与平面的夹角为180-135=45,90-45=45.答案:B 2.最小角定理(1)线线角、线面角的关系式:cos=cos 1cos 2,如图,是OA与OM所成的角,1是OA与OB所成的角,2是OB与OM所成的角.(2)最小角定理:斜线和它在平面内的射影所成的角,是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角.【做一做2】已知一条直线与平面的夹角为30,则它和这个平面内所有直线所成角中最小的角为()A.30B.60C.90D.150 答案:A 3.二面角的定义及表示
3、方法(1)平面内的一条直线把平面分为两部分,其中的每一部分都叫做半平面.(2)从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角;这条直线叫做二面角的棱,每个半平面叫做二面角的面.棱为l,两个面分别为,的二面角,记作-l-.若A,B,二面角也可以记作A-l-B.(3)二面角的平面角 在二面角-l-的棱上任取一点O,在两半平面内分别作射线OAl,OBl,则AOB叫做二面角-l-的平面角.(4)二面角的范围是0,180.(5)平面角是直角的二面角叫做直二面角.名师点拨1.二面角是图形,它是由两个半平面和一条棱构成的图形.2.符号-l-的含义是棱为l,两个面分别为,的二面角.3.两个平面相交,构成四个
4、二面角.【做一做3】在正方体ABCD-A1B1C1D1中,二面角A-B1C-A1的平面角的正切值为()A.1B.22C.2 D.3解析:连接 A1D,设 A1D,B1C 的中点分别为 E,F,连接 AF,EF,可知AFE 是所求二面角的平面角.在 RtAEF 中,tanAFE=22 =22.答案:B4.设m1,m2,则角与二面角-l-相等或互补.【做一做4】若二面角的两个半平面的法向量分别为(4,2,0)和(3,-6,5),则这个二面角的余弦值是()A.0B.32 C.12 D.22解析:43+2(-6)+05=0,则二面角的两个半平面的法向量互相垂直.故这个二面角的余弦值是0.答案:A 1.
5、如何理解直线与平面所成的角?剖析:(1)直线与平面斜交时,直线与平面所成的角是指这条直线和它在平面内的射影所成的锐角;(2)直线与一个平面垂直时,直线与平面的夹角为90;(3)一条直线与一个平面平行或在平面内时,直线与平面的夹角为0.2.如何用向量求线面角?剖析:设直线l的方向向量为a,平面的法向量为n,直线与平面所成的角为,则sin=|cos|=|.3.如何理解二面角的平面角?剖析:二面角的平面角必须具备三个条件:(1)二面角的平面角的顶点在二面角的棱上;(2)二面角的平面角的两条边分别在二面角的两个面内;(3)二面角的平面角的两条边都与棱垂直,且平面角的大小与平面角在棱上的位置无关.4.如
6、何求二面角?剖析:(1)作出二面角的平面角;(2)利用法向量的夹角.题型一 题型二 题型三 题型四 用定义法求直线与平面所成的角 【例 1】已知BOC 在平面 内,OA 是平面 的一条斜线,若AOB=AOC=60,OA=OB=OC=a,BC=2,求与平面所成角的大小.分析:解答本题可找出点A在平面内射影的位置,作出线面角,然后解三角形求出线面角.解:OA=OB=OC=a,AOB=AOC=60,AB=AC=a.为等腰直角三角形.同理,BOC也为等腰直角三角形.如图,过点A作AH于点H,连接OH,则OH为AO在平面内的射影,AOH为OA与平面所成的角.BC=2,2+2=2,ABC 题型一 题型二
7、题型三 题型四 OA=OB=OC=AB=AC,OH=BH=CH,H 为BOC 的外心,点 H 在 BC 上,且为 BC 的中点.在 RtAOH 中,AH=22,sinAOH=22,AOH=45,OA 与平面 所成角的大小为 45.反思用定义法求直线与平面所成的角时,关键是找到斜线的射影,找射影有两种方法:(1)斜线上任一点在平面内的射影必在斜线在平面内的射影上;(2)利用已知垂直关系得出线面垂直,确定射影.题型一 题型二 题型三 题型四 用向量法求直线与平面所成的角【例2】在直三棱柱ABC-A1B1C1中,ACB=90,AC=2BC,A1BB1C.求B1C与侧面A1ABB1所成角的正弦值.分析
8、:因为是直三棱柱,所以本题可建立空间直角坐标系,利用直线的方向向量与平面的法向量的夹角求解.题型一 题型二 题型三 题型四 解:以 C 为原点,1 为x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系 Cxyz,设|BC|=2,|CC1|=a,则A(4,0,0),A1(4,0,a),B(0,2,0),B1(0,2,a).A1BB1C,1 1 =0,=2.题型一 题型二 题型三 题型四 设 n=(x,y,z)是平面 A1ABB1 的一个法向量,则 n11 =4+2=0.n1 =2=0,取n=(1,2,0),又1 =(0,2,2),设B1C 与侧面 A1ABB1 所成的角为,则 sin=|
9、cos|=42 10=105,B1C 与侧面 A1ABB1 所成角的正弦值为 105.反思利用向量法求斜线与平面的夹角的优势在于不用找角,只需建立适当的坐标系,用待定系数法求出平面的法向量,再用公式求解即可.但要注意法向量的正确性以及线面角与向量夹角的关系.题型一 题型二 题型三 题型四 用定义法求二面角的大小【例3】如图,在四面体ABCD中,AD平面BCD,AD=DC=BC=a,AB=3.(1)求证:平面ABC平面ADC;(2)求二面角C-AB-D的大小.分析:(1)可利用面面垂直的判定定理证明;(2)利用平面ABC垂直于平面ADC,作出所求二面角的平面角,然后解三角形求角.题型一 题型二
10、题型三 题型四(1)证明:因为 AD平面 BCD,所以 ADDB,ADBC.又 AD=a,AB=3,所以 DB=2.又 DC=BC=a,因此 BD2=CD2+BC2,即DCB=90,所以 DCBC,因此 BC平面 ADC.又 BC 在平面 ABC 内,所以平面 ABC平面 ADC.(2)解:作DFAB于点F,DEAC于点E,连接EF,因为平面 ABC垂直于平面 ADC,因此 DE平面 ABC,所以 AB平面 DEF,所以 EFAB,则DFE为二面角C-AB-D的平面角,在直角三角形DEF中,DEF=90,DF=2 3=63,=22,所以sinDFE=32,所以DFE=60,故二面角 C-AB-
11、D 的大小为 60.题型一 题型二 题型三 题型四 反思所谓定义法,就是作出二面角的平面角,然后通过解三角形求解.作出二面角的平面角常用的方法有:(1)找与二面角的棱垂直的平面与二面角两半平面的交线;(2)在二面角的一个面上取一点,利用三垂线定理作平面角;(3)在二面角的棱上取一点,分别在两个面内作出和棱垂直的射线.题型一 题型二 题型三 题型四 用向量法求二面角的大小【例4】在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求二面角A1-BD-C1的余弦值.分析:本题可建立空间直角坐标系,分别求平面C1BD和平面A1BD的一个法向量,然后通过法向量的夹角的余弦值求得二面角的余弦值.题型一 题型二 题型三
12、 题型四 解:不妨设正方体的棱长为 1,以 D 为坐标原点,1 的方向为x 轴,y 轴,z 轴的正方向,建立空间直角坐标系 Dxyz,则 =(1,1,0),1 =(0,1,1),设平面C1BD 的法向量为 n1=(x,y,z),则n1 =0,n11 =0,即x+y=0,y+z=0,令 x=1,则 y=-1,z=1,所以n1=(1,-1,1)是平面 C1BD 的一个法向量.同理,得 n2=(-1,1,1)是平面A1BD 的一个法向量.因为|n1|=3,|n2|=3,所以cos=13.故二面角 A1-BD-C1 的余弦值为 13.题型一 题型二 题型三 题型四 反思用向量法求二面角有如下方法:(1
13、)可以在两个半平面内作垂直于棱的向量,转化为这两个向量的夹角,但需注意两个向量的起点应始终在二面角的棱上.(2)建立空间直角坐标系,分别求两个平面的法向量 m,n,根据cos=|求得锐角,若二面角为锐角,则为,若二面角为钝角,则为 180-.123451.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为侧面BCC1B1的中心,则AO与平面ABCD所成角的正弦值为()A.33 B.12 C.66 D.32解析:设BC的中点为E,则OAE就是AO与平面ABCD所成的角.答案:C 123452.若正三棱锥A-BCD的所有棱长都相等,则侧棱与底面所成的角的正切值是()A.3B.2C.33 D.22答案:B
14、123453.若BC在平面内,斜线AB与平面所成的角为,ABC=,AA平面,垂足为A,ABC=,那么()A.cos=cos cos B.sin=sin sin C.cos=cos cos D.cos=cos cos 答案:A 123454.已知正四面体ABCD,则二面角A-BC-D的余弦值为()A.12 B.13 C.33 D.32解析:如图,设 BC 的中点为 E,底面正三角形 BCD 的中心为 O,连接AE,DE,则AEO 就是二面角 A-BC-D 的平面角.在 RtAOE中,AE=32,=36,则cosAEO=13.答案:B123455.设a=(0,1,1),b=(1,0,1)分别是平面,的两个法向量,则锐二面角-l-的大小是()A.45 B.90 C.60 D.120 解析:设锐二面角 -l-的大小是,cos=|=1 2 2=12,故=60.答案:C