1、直线、平面平行的判定及其性质一、选择题1若直线l不平行于平面，且l，则()A内的所有直线与l异面B内不存在与l平行的直线C与直线l至少有两个公共点D内的直线与l都相交Bl，且l与不平行，lP，故内不存在与l平行的直线故选B2(2021江苏南通市高三期末)已知m，n是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，则下列结论正确的是()A若mn，m，则nB若，m，则mC若m，m，则D若m，n，则mnD若mn，m，则n可能在内，只要过m作平面与相交，交线即可作为直线n，故A错误；若，m，则m可能在内，只要m在内垂直于两平面，的交线即有m，故B错误；若m，m，则，可能相交，只要m不在，内，且平行于，的交线即可
2、，故C错误；若m，n，根据线面垂直的性质定理可知mn，故D正确；故选D3若平面平面，直线a，点B，则在平面内过点B的所有直线中()A不一定存在与a平行的直线B只有两条与a平行的直线C存在无数条与a平行的直线D存在唯一一条与a平行的直线D因为直线a与点B可确定一个平面，该平面与平面的交线即为在平面内过点B，且与直线a平行的直线，所以只有唯一一条4如图，已知四棱锥PABCD的底面是平行四边形，AC交BD于点O，E为AD中点，F在PA上，APAF，PC平面BEF，则的值为()A1 B C2 D3D设AO交BE于点G，连接FGO，E分别是BD，AD的中点，则有，PC平面BEF，平面BEF平面PACGF
3、，GFPC，则，即35如图，已知平面平面，点P为，外一点，直线PB，PD分别与，相交于A，B和C，D，则AC与BD的位置关系为()A平行 B相交C异面 D平行或异面A由题意知：P，A，B，C，D在同一平面内，且平面PBD平面AC，平面PBD平面BD，平面平面，ACBD6若平面截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥与平面平行的棱有()A0条 B1条C2条 D0条或2条C如图，设平面截三棱锥所得的四边形EFGH是平行四边形，则EFGH，EF平面BCD，GH平面BCD，所以EF平面BCD，又EF平面ACD，平面ACD平面BCDCD，则EFCD，EF平面EFGH，CD平面EFGH，则CD平面EFGH
4、，同理AB平面EFGH，所以该三棱锥与平面平行的棱有2条，故选C二、填空题7对于不重合直线a，b，不重合平面，下列四个条件中，能推出的有 (填写所有正确的序号)，；，；a，a；ab，a，b对于，当，时，与相交，或与平行；对于，当，时，根据平行平面的公理得；对于，当a，a时，与相交，或与平行；对于，当ab时，若a，则b，又b，综上，能推出的是8若正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，若P为AE的中点，Q在BD上，若PQ平面BCE，则点Q的位置是 BD的中点当Q为BD的中点时，PQ平面BCE，证明如下：连接AC四边形ABCD为正方形，ACBDQ，且Q为AC的中点又P为AE的中点，PQE
5、C又PQ平面BCE，EC平面BCE，PQ平面BCE点Q为BD的中点时，PQ平面BCE9棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，过C，M，D1作正方体的截面，则截面的面积是 如图，由面面平行的性质知截面与平面ABB1A1的交线MN是AA1B的中位线，所以截面是梯形CD1MN，易求其面积为三、解答题10(2021江苏省镇江中学高三月考)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC是正三角形，AA1平面ABC，已知AB2，侧棱长为，D是A1B1的中点，E、F、G分别是AC，BC，CD的中点(1)求FG与BB1所成角的大小；(2)求证：平面EFG平面ABB1A1解(1)连接D
6、B(图略)，因为G，F分别是DC，BC的中点，所以GFBD，所以异面直线FG与BB1所成角即为直线DB与BB1所成的角，在直角DB1B中，由DB11，BB1，可得tan DBB1，所以DBB130(2)证明：由(1)知GFBD，BD平面ABB1A1，GF平面ABB1A1，所以GF平面ABB1A1，因为E是AC的中点，所以EFAB，因为AB平面ABB1A1，且EF平面ABB1A1，所以EF平面ABB1A1，又因为EFFGF，且EF，FG平面EFG，所以平面EFG平面ABB1A111(2021吉林东北师大附中高三模拟)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱BB1的中点(1)求证：B1D平面AC
7、E；(2)若F是棱CC1的中点，求证：平面B1DF平面ACE证明(1)连接BD，使BDACG，连接EG四边形ABCD是正方形，BDACG，DGBG又E是BB1中点，B1EBE，DB1GE，又DB1平面ACE，GE平面ACE，B1D平面ACE(2)E是棱BB1的中点，F是棱CC1的中点B1ECF且B1ECF，四边形B1ECF是平行四边形，B1FCE，又B1F平面ACE，CE平面ACE，B1F平面ACE，由(1)B1D平面ACE，DB1B1FB1 ，平面B1DF平面ACE1如图所示，透明塑料制成的长方体容器ABCDA1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度
8、的不同，有下面四个命题：没有水的部分始终呈棱柱形；水面EFGH所在四边形的面积为定值；棱A1D1始终与水面所在平面平行；当容器倾斜如图所示时，BEBF是定值其中正确命题的个数是()A1 B2 C3 D4C由题图，显然正确，错误； 对于，A1D1BC，BCFG，A1D1FG且A1D1平面EFGH，FG平面EFGH，A1D1平面EFGH(水面)正确；对于，水是定量的(定体积V)，SBEFBCV，即BEBFBCVBEBF(定值)，即正确，故选C2在三棱锥SABC中，ABC是边长为6的正三角形，SASBSC12，平面DEFH分别与AB，BC，SC，SA交于D，E，F，H，且它们分别是AB，BC，SC，
9、SA的中点，那么四边形DEFH的面积为()A18 B18 C36 D36A因为D，E，F，H分别是AB，BC，SC，SA的中点，所以DEAC，FHAC，DHSB，EFSB，则四边形DEFH是平行四边形，且HDSB6，DEAC3如图，取AC的中点O，连接OB、SO，因为SASC12，ABBC6，所以ACSO，ACOB，又SOOBO，所以AO平面SOB，所以AOSB，则HDDE，即四边形 DEFH是矩形，所以四边形DEFH的面积S6318，故选A3如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，P为平面ABC外一点，E、F分别是PA、PC的中点记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与
10、平面PAC的位置关系，并加以证明解直线l平面PAC，证明如下：因为E、F分别是PA、PC的中点，所以EFAC又EF平面ABC，且AC平面ABC，所以EF平面ABC而EF平面BEF，且平面BEF平面ABCl，所以EFl因为l平面PAC，EF平面PAC，所以l平面PAC1如图所示，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件 时，就有MN平面B1BDD1(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)点M在线段FH上(或点M与点H重合)连接HN，FH，FN(图略)，则
11、FHDD1，HNBD，平面FHN平面B1BDD1，只需MFH，则MN平面FHN，MN平面B1BDD12如图，四棱锥PABCD中，ABCD，AB2CD，E为PB的中点(1)求证：CE平面PAD(2)在线段AB上是否存在一点F，使得平面PAD平面CEF？若存在，证明你的结论，若不存在，请说明理由解(1)证明：如图，取PA的中点H，连接EH，DH，因为E为PB的中点，所以EHAB，EHAB，又ABCD，CDAB，所以EHCD，EHCD，因此四边形DCEH为平行四边形，所以CEDH，又DH平面PAD，CE平面PAD，因此CE平面PAD(2)存在点F为AB的中点，使平面PAD平面CEF，证明如下：取AB的中点F，连接CF，EF，则AFAB，因为CDAB，所以AFCD，又AFCD，所以四边形AFCD为平行四边形，因此CFAD又AD平面PAD，CF平面PAD，所以CF平面PAD，由(1)可知CE平面PAD，又CECFC，故平面CEF平面PAD，故存在AB的中点F满足要求
