1、正弦定理、余弦定理一、选择题1(2021山东泰安市高三三模)在ABC中，AC3，BC2，cos C，则tan A()A B C DD由余弦定理得：AB2AC2BC22BCACcos C32222324，所以AB2，因为ABBC，所以AC，所以cos Acos C，tan A2在ABC中，BC6，A，sin B2sin C，则ABC的面积为()A6 B6 C9 D4Aa2b2c22bccos A，36c2b2bc，sin B2sin C，b2c解得：c2，b4，ABC的面积为Sbcsin A2463对于ABC，有如下命题，其中正确的是()A若sin 2Asin 2B，则ABC为等腰三角形B若si
2、n Acos B，则ABC为直角三角形C若sin2Asin2Bcos2C1，则ABC为钝角三角形D若AB，AC1，B30，则ABC的面积为C对于A项，sin 2Asin 2B，AB或2A2B，即AB，ABC是等腰三角形或直角三角形，故A错误；对于B项，sin Acos B，AB或AB，ABC不一定是直角三角形，故B错误；对于C项，sin2Asin2B1cos2Csin2C，a2b2c2，ABC为钝角三角形，C正确；对于D项，由正弦定理，得sin C，且ABAC，C60或C120，A90或A30，SABCACABsin A或，D不正确故选C4(2020全国卷)在ABC中，cos C，AC4，BC
3、3，则cos B()A B C DA由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos C1692439，AB3，所以cos B，故选A5(2021河南安阳市高三一模)在ABC中内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cos Acos B，c，则当sin Asin B取最大值时，ABC外接圆的面积为()A B C D2C由题意，在ABC中，满足cos Acos B，因为(cos Acos B)2(sin Asin B)222(sin Asin Bcos Acos B)22cos(AB)，所以当AB0时，即AB时，上式取得最大值，此时sin Asin B取最大值，又由cos Acos B，可得co
4、s Acos B，因为A，B(0，)，所以AB，则C，又因为c，利用正弦定理可得2R2，所以R1，所以ABC外接圆的面积为SR26在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin2Bbcos Acos B，则ABC的形状是()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D不确定B由asin2Bbcos Acos B得sin Asin2Bsin Bcos Acos B，即sin B(cos Acos Bsin Asin B)0，即sin Bcos(AB)0，sin B0，cos(AB)0，又0AB，AB，故选B二、填空题7(2021河南新乡市高三二模)a，b，c分别为ABC内角A，B，C的
5、对边已知a2bcb2c2，则cos A 因为a2bcb2c2，且a2b2c22bccos A，所以cos A8(2019全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知bsin Aacos B0，则B bsin Aacos B0，由正弦定理，得cos Bsin B，tan B1又B(0，)，B9(2021山西吕梁市高三三模)已知锐角ABC中，AB6cos A，AC2AB2，sin，延长AB到点D，使sin BCD，则SBCD sin，A60，AB6cos A3，AC2AB24，ABC中，由余弦定理可知BC2AC2AB22ACABcos A13，BC，cos CBA，CBD180CBA为
6、钝角，BCD是锐角，sin BCD，cos BCD，cos CBDcos(CBA)cos CBA，sin CBD，sin Dsin(CBDBCD)，BCD中，由正弦定理得，DC4，SBCDBCDCsin BCD4三、解答题10(2021天津高考)在ABC，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin Asin Bsin C21，b(1)求a的值；(2)求cos C的值；(3)求sin的值解(1)因为sin Asin Bsin C21，由正弦定理可得abc21，b，a2，c2(2)由余弦定理可得cos C(3)cos C，sin C，sin 2C2sin Ccos C2，cos 2C2cos
7、2C121，所以sinsin 2Ccoscos 2Csin11(2021北京高考)已知在ABC中，c2bcos B，C(1)求B的大小；(2)在三个条件中选择一个作为已知，使ABC存在且唯一确定，并求BC边上的中线的长度cb；周长为42；面积为SABC 解(1)由正弦定理，得sin C2sin Bcos Bsin 2B，故C2B(舍)或C2B故BA(2)由(1)知，cb，故不能选选，设BCAC2x，则AB2x，故周长为(42)x42，解得x1从而BCAC2，AB2，设BC中点为D，则在ABD中，由余弦定理，cos B，解得AD选，设BCAC2x，则AB2x，故SABC(2x)(2x)sin 1
8、20x2，解得x，即BCAC，设BC中点为D，则在ABD中，由余弦定理，cos B，解得AD1已知ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，ABC的外接圆的面积为3，且cos2Acos2Bcos2C1sin Asin C，则ABC的最大边长为()A2 B3 C D2C由cos2Acos2Bcos2C1sin Asin C得1sin2A1sin2B1sin2C1sin Asin C，即sin2Asin2Bsin2Csin Asin C，由正弦定理得b2a2c2ac，即c2a2b2ac，则cos B，则B150，即最大值的边为b，ABC的外接圆的面积为3，设外接圆的半径为R，R23，得R
9、，则2R2，即b2sin B2，故选C2在ABC中，若，则ABC的形状是()A等腰三角形 B直角三角形C等腰直角三角形 D等腰三角形或直角三角形D由已知，所以或0，即C90或，由正弦定理，得sin Ccos Csin Bcos B，即sin 2Csin 2B，因为B，C均为ABC的内角，所以2C2B或2C2B180，所以BC或BC90，所以ABC为等腰三角形或直角三角形，故选D3在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2(bc)2(2)bc，sin Asin Bcos2，BC边上的中线AM的长为(1)求角A和角B的大小；(2)求ABC的面积解(1)由a2(bc)2(2)bc，得a2
10、b2c2bc，cos A，又0A，A由sin Asin Bcos2，得sin B，即sin B1cos C，则cos C0，即C为钝角，B为锐角，且BC，则sin1cos C，化简得cos1，解得C，B(2)由(1)知，ab，在ACM中，由余弦定理得AM2b22bcos Cb2()2，解得b2，故SABCabsin C221(2021浙江高考)在ABC中，B60，AB2，M是BC的中点，AM2，则AC ，cos MAC 2由题意作出图形，如图，在ABM中，由余弦定理得AM2AB2BM22BMBAcos B，即124BM22BM2，解得BM4(负值舍去)，所以BC2BM2CM8，在ABC中，由余
11、弦定理得AC2AB2BC22ABBCcos B46422852，所以AC2；在AMC中，由余弦定理得cos MAC2(2020北京高考)在ABC中，ab11，再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求：(1)a的值；(2)sin C和ABC的面积条件：c7，cos A；条件：cos A，cos B解选条件：c7，cos A，且ab11(1)在ABC中，由余弦定理，得cos A，解得a8(2)cos A，A(0，)，sin A在ABC中，由正弦定理，得，sin Cab11，a8，b3，SABCabsin C836若选条件：cos A，cos B，且ab11(1)A(0，)，B(0，)，cos A，cos B，sin A，sin B在ABC中，由正弦定理，可得，又ab11，a6，b5(2)sin Csin(AB)sin(AB)sin Acos Bcos Asin BSABCabsin C65