1、河北省定州市2020-2021学年高二数学下学期期中试题考试时间：120分钟 满分：150分本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。第卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将正确答案的序号填涂在答题卡上.）1.已知集合，则（ ）A.B.C.D2.已知复数与为共辄复数，其中，i为虚数单位，则（ ）A.1B.5C.D.3.下列命题中，正确的是（ ）A.，B.，C.命题“，使得”的否定形式是“，使得D.方程有两个正实数根的充要条件是4.已知函数，若对任意，且，都有，则实数的取值范围是（ ）A.B.C.D.5
2、.设函数是定义在上的奇函数，且，若，则（ ）A.B.C.D.6.设，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ）A.B.C.D.7.如图是一个底面半径和高都是1的圆锥形容器，匀速给容器注水，则容器中水的体积V是水面高度x的函数，若正数a，b满足，则的最小值为（ ）A.B.C.D.8.已知函数，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ）A.B.C.D.二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.请将正确答案的序号填涂在答题卡上.）9.已知i是虚数单位，以下四个说法中正确的是（
3、 ）A.B.复数的虚部为C.若复数z满足，则z所对应的点在第一象限D.已知复数z满足，则z在复平面内对应的点的轨迹为一条直线10.设正实数，满足，则（ ）A.B.C.D.11.函数的定义域为R，且与都为奇函数，则（ ）A.为奇函数B.为周期函数C.为奇函数D.为偶函数12.半正多面体（semiregular solid）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美。二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），若它的所有棱长都为，则（ ）A.平面EABB.该二十四等边体的体积为C.该二十四等边体外接球的
4、表面积为D.与平面EBFN所成角的正弦值为第卷（非选择题共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的横线上）13.不等式的解集是，则_.14.已知一个正四棱柱的对角线的长是9cm，表面积等于144cm2，则该正四棱柱的侧面积为_cm2.15.已知函数，若对于任意的，总存在，使得成立，则实数的值为_.16.一个正三棱柱恰好有一个内切球（球与三棱柱的两个底面和三个侧面都相切）和一个外接球（球经过三棱柱的6个顶点），则此正三棱柱的内切球与外接球表面积之比为_.四、解答题（本大题共6小题，共70.分：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知集合，集合.（1
5、）若，求实数m的值；（2）若，求实数m的取值范围.18.已知函数.（1）当时，求函数的最小值；（2）若函数在上恒成立，求实数m的取值范围.19.已知正实数、满足.（1）求的最小值；（2）求的最小值；（3）求的最小值.20.如图所示的几何体中，都是等腰直角三角形，且，.（1）求证：平面；（2）若F为线段BC的中点，求二面角的余弦值.21.定州市民小王新购置了一套住房，拟对新房进行装修.在装修中需满足如下5要求：窗户面积应小于地板面积；窗户面积不小于地板面积的；窗户面积与地板面积的比值越大，采光效果越好.设窗户面积为m平方米，地板面积为n平方米，已知，其中k为常数.已知当窗户和地板的总面积为22平
6、方米时，窗户面积恰好是地板面积的.（1）求实数k的值；（2）在满足装修的要求下，求窗户面积可以取到的范围；（3）当采光效果最好时，求窗户的面积.22.如图，四棱锥中，底面是直角梯形，.（1）求证：平面平面；（2）设，当二面角的余弦值为时，求的值定州市2020-2021学年第二学期高二期中考试数学答案考试时间：120分钟 满分：150分本试卷分第卷（选择题）和第I卷（非选择题）两部分.第卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将正确答案的序号填涂在答题卡上.）1.【答案】D【解析】由题意知集合A为点集，集合B为数
7、集，所以，故选：D.2.【答案】B【解析】由题意得，解得，所以，则.故选：B.3.【答案】C【解析】对于A，当时，故A错误；对于B，恒成立，故B错误；对于C，根据全称命题的否定是特称命题，则命题“，”，使得的否定形式是“，使得”，故C正确；对于D，方程有两个正实数根，设为，则充要条件是，解之得，故D错误.故选：C.4.【答案】C【解析】由题意任意，且，即为，所以函数在单调递增，又函数为二次函数，故其开口向上，且对称轴在区间的左侧，即，解得.故选：C.5.【答案】C【解析】是定义在R上的奇函数，由得，.故选：C.6.【答案】A【解析】由，得当时，或；当时，或，因为“”是“”的充分不必要条件，所以
8、“”是不等式的解集的真子集，所以或，即.故选：A7.【答案】A【解析】因为半径和高都是1，所以水的半径和高都是x，而，所以，当且仅当时取得等号.故选：A.8.【答案】D【解析】由，为R上的偶函数，又当时，和都为增函数，所以在上单调递减，在上单调递增，由不等式对任意恒成立，得在上恒成立，即，也即即，解得.故选：D.二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.请将正确答案的序号填涂在答题卡上.）9.【答案】AD【解析】A选项，故A正确；B选项，z的虚部为-1，故B错误；C选项，设，则，所以有
9、，解之得或即或，对应的点的坐标为或，即z所对应的点在第一象限或第三象限，故C错误；D选项，表示z到和两点的距离相等，故z的轨迹是线段AB的垂直平分线，故D正确.故选：AD.10.【答案】BCD【解析】设正实数、满足.对于A选项，可得，当且仅当时取得等号，故A错误；对于B选项，当且仅当时取得等号成立，故B正确；对于C选项，当且仅当时取得等号，故C正确；对于D选项，而，当且仅当时取得等号，故D正确，故选：BCD.11.【答案】ABC【解析】函数的定义域为R，且与都为奇函数，所以函数是一个周期为2的周期函数，故B正确；所以为奇函数、故A正确；所以为奇函数，故C正确；所以为奇函数，故D错误；故选：AB
10、C12.【答案】BCD【解析】将二十四等边体补形成正方体如下图对于A选项，正方体的体对角线平面EAB，而BF与RS是异面直线，不平行，故A错误；对于B选项，该二十四等边体的所有棱长为，则对应正方体的棱长为2，所以，故B正确；对于C选项，该二十四等边体的外接球的球心即为正方体的中心，到正方体六个表面的距离都为1，所以，即，故C正确；对于D选项，PN与平面EBFN所成角即PN与正方体前面的表面所成的角，为45，故D正确.故选：BCD第卷（非选择题共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的横线上.）13.【答案】-10【解析】由题意知解得，所以.14.【答案】72
11、或112【解析】设正四棱柱的底面边长为，高为，则，联立消可得，即，解得或，当或，当时，侧面积，当时，侧面积，故答案为：72或11215.【答案】【解析】不等式等价于，若对于任意的，总存在，使得成立，则当时，单调递减，所以，当时，先减再增，所以，所以有，解之得.16.【答案】【解析】设正三棱柱底面正三角形的边长为a，其内切球的半径为r当球内切于正三棱柱时，球的半径r等于正三棱柱的底面正三角形的中心到对边的距离即，又正三棱柱的高是其内切球半径的2倍，故正三棱柱的高为，球外接正三棱柱时，球的球心是正三棱柱高的中点，且球的球心与正三棱柱两个底面正三角形构成两个正三棱锥，顶点在底面上的投影恰好是底面三角
12、形的中心，到顶点的距离，棱锥的高为。故正三棱锥外接球的半径满足，内切球与外接球表面积之比为.故答案为：四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.【解析】由己知得：集合，集合（1）因为，所以，所以，即；（2），因为，所以或，所以或.18.【解析】（1）当时，当且仅当，即时等号成立，所以.（2）由题意得在上恒成立，即在上恒成立，所以在上恒成立，即在上恒成立，.设，则在上单调递减，在上单调递增，又，解得，所以实数m的取值范围.19.【解析】，即，（1）因为、是正实数，所以，当且仅当时等号成立，故的最小值为2.（2）因为，所以，则，当且仅当，时等号成立，故的
13、最小值为25.（3）因为，所以当且仅当，时等号成立，故的最小值为.20.【解析】（1）证明：因为，是等腰直角三角形，所以，所以，所以，又因为是等腰直角三角形，所以，所以，因为，且，平面，所以平面；（2）解：如图，以点E为坐标原点，EB，EC所在的直线分别为x轴，y轴，垂直于平面BEC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设.则，设平面ADE的法向量为由，得令，得平面ADE的一个法向量为，设平面ADF的法向量由，得令，得平面ADF的一个法向量为，因为二面角为钝二面角，所以二面角的余弦值为.21.【解析】（1）由，得，解得，所以，则；（2）由题意上，即，解得；（3），当且仅当，即时等号成立.所以采光效果最好时，窗户的面积为1平方米.22.【解析】（1）因为ABCD是直角梯形，所以.又因为，所以平面PAD，又因为平面ABCD，所以平面平面ABCD.（2）以A为坐标原点，分别以向量，的正方向为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，.则，所以，设平面的法向量，由即，令，得，设，由，得，所以，所以，设平面的法向量，由，得，令，得平面PAM的一个法向量为，设二面角的平面角为，则为锐角，所以，解之得或，因为，所以.