1、第四节 平面向量与几何的综合应用平面向量与几何的综合应用内容为每年高考必考内容，多以选择题（填空题）形式考查平面向量相关概念的几何意义及与平面几何知识的综合应用，或作为题设条件与解析几何知识综合以解答题形式出现，分值在4-12分左右；难度系数在0.30.6之间.考试要求 理解平面向量的概念、两个向量平行或共线及相等的几何意义；掌握向量的加减法运算及数乘运算几何意义，了解向量线性运算的性质及其几何意义；了解平面向量基本定理及其意义；理解平面向量的数量积的含义，了解平面向量的数量积与向量投影的关系，能用数量积表示两向量的夹角，会用数量积判断两向量的垂直关系；会用向量方法解决简单的平面几何问题和简单
2、力学问题及其他一些实际问题.题型一 平面向量加减法及数乘运算的几何意义应用例1 已知为平面上四点，且，则( )A点M在线段AB上 B点B在线段AM上 C点A在线段BM上 DO、A、M、B四点共线在中，点在上，平分若，则( )A. B. C. D.点拨：考查了平面向量的加减法运算，利用数乘运算几何意义根据来判断点M的位置：考查向量的基本运算和三角形的角平分线定理，关键在于确定点D在AB上的位置，由角平分线定理得出D为AB的三等分点，结合向量的基本运算求解；解：选B. 根据题意知,则，即.由判断出点在线段AB的延长线上，即点B在线段AM上；选B因为平分，由角平分线定理得，所以为AB的三等分点，且，
3、故；易错点：没有根据来判断点M的位置；同学对角平分线定理不熟悉，导致求解出错.变式与引申1已知和点M满足，若存在实数使得成立，则=（ ） A2 B3 C4 D52.设分别是的三边上的点，且则与( ) A.反向平行 B.同向平行 C.互相垂直 D.既不平行也不垂直题型二 平面向量基本定理及数量积的几何意义应用例2：在正六边形中，点是内（包括边界）的动点，若，则的取值范围是；已知， ，设，如果，那么为何值时，三点在一条直线上？点拨：利用平面向量基本定理和向量加法的平行四边形法则，通过画图数形结合解出，或者用平面向量基本定理及线性规划的知识来解出；向量个数较多，应选准一对作为基底，利用平面向量共线充
4、要条件列出方程求解；G图ABCDEF解：方法一，的取值范围是.从特例试一试，当点与重合时(如图)，确定，过点作和（即和）的平行线得，易知，,所以；同理点与重合时，也可以得；点与重合时，所以.方法二，如图建立直角坐标系，设六边形的边长为2，各个顶点的坐标分图xCyFEDABoP别是、，令，那么,.由得 ， ，二者联立有，.因为点在内（包括边界），所以点必在直线和的下方，同时在直线的上方，求出直线和的方程，根据线性规划知识得到点满足的约束条件是：；把分别换成得；作图验证可知，当点与重合时，即；点与重合时，即.所以的取值范围是；由题设知，三点在一条直线上的充要条件是存在实数，使得，即，整理得，若共线
5、，则可为任意实数；若不共线，则有，解之得，所以综上所述，当共线时，则可为任意实数；当不共线时，；易错点：对平面向量基本定理概念不清晰，利用向量加法进行平行四边形法则作图不到位，判断的取值出错；不能正确选准一对向量来作为基底去表示，没有对是否共线进行分类讨论；变式与引申3：已知在平面直角坐标系中，O为原点，且（其中均为实数），若N（1，0），则的最小值是 .4.已知=1，=,点在内，且=30，设 ，则等于（ ）A. B.3 C. D.题型三 平面向量与平面几何综合的问题例：已知中，过重心的直线交于，交边于，设的面积为，的面积为，则 ，的取值范围是 ；已知圆的半径为，为该圆的两条切线，、为两切点，
6、那么的最小值为（） 点拨：令通过引入中间变量根据三角形的重心和平面向量的基本定理演算出和之间的关系式；用的三角函数形式表示出，再使用均值不等式得到答案；或者建立适当的坐标系，使用向量数量积的坐标运算形式求解.解：；设因为是的重心，故，又，因为与共线，所以，即，又与不共线，所以及，消去，得；能重合，故B图PA选D.方法一：如图，令 ，令，；方法二：以圆心O的坐标原点，以OP为轴，建立坐标系：圆的方程为，设，由，所以有易错点：没有正确引入中间变量使得和之间的关系式运算出错：对的三角形式化简方向偏离正确结构或建立坐标系没有利用得出，难以继续演算题型四 平面向量与圆锥曲线综合的问题例4：如图,已知双曲
7、线：，直线与一条渐近线交于点是双曲线的右焦点，为坐标原点. 证：；若,且双曲线的离心率，求双曲线的方程；在的条件下，直线过点与双曲线右支交于不同的两点，且在之间，满足，试判断的范围，并用代数方法给出证明.【注】考虑课程标准和教材关于双曲线的准线方程不作要求，所以题目里给出的直线实际上就是双曲线的右准线. 点拨：由题意写出点的坐标，判断即可；由离心率和建立关于方程组求解出的值；由题意可初步猜想出，用直线与圆锥曲线的位置关系来进一步推证.解：因为，渐近线；所以又，得出，有，所以. 因为，所以，即；又，故，解得， 即所求的双曲线的方程为： 由题意可得证明：设：，点 由和联立消去得出方程：，因为与双曲
8、线右支交于不同的两点得出不等式组：；化简得；解得；又，有成立， ；故，消得；因为，有成立，得出，解得且，根据题意知在之间，所以的取值范围是易错点：在第问中字母的代数式运算出错，解得且之后，不结合题意分析的取值范围.变式与引申7已知定点(-1,0)和B (1,0)，是圆上的一动点，则的最大值是 ；最小值是 .本节主要考查 知识点有平面向量的加减法、向量共线定理、平面向量的基本定理、向量的数量积的几何意义及运算，平面向量平行和垂直位置关系；演绎推理能力、运算能力、创新意识；数形结合思想、函数、不等式思想、分类讨论思想、化归转化思想和应用向量法分析解决问题 点评 认识向量的几何特性对于向量问题一定要
9、结合图形进行研究，掌握平面向量相关概念的几何意义，正确地运用向量的各种运算来处理向量与几何的综合应用问题（如例1、例2），要善于利用向量“数”与“形”两方面的特征；理解向量数量积的定义、运算律、性质几何意义，并能灵活应用处理与向量的夹角、模长和垂直的相关问题；平面向量能与中学数学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，注意向量在知识的交汇点处命题，要关注平面向量与三角形等平面几何知识相结合的综合问题（如例）及平面向量作为解析几何问题的已知条件与之交织在一起的综合问题（例）；平面向量重视考查综合能力，体现了向量的工具性及学生分析问题、解决问题的能力，学生要善于运用向量方法解题，树立运用向量知识解
10、题的意识；知晓三角形五“心”向量形式的充要条件，设为所在平面上一点，角所对边长分别为，则为的外心；为的重心；为的垂心；为的内心；为的的旁心；习题1已知非零向量与满足()=0，且= , 则ABC为( )A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.等边三角形2. 设P为内一点，且，则的面积与面积之比为 （ ）A. B. C. D. 3已知，关于的函数 在上有极值，则与夹角的范围是_ _ _ .在平面直角坐标系xOy中，点A(1,2)、B(2,3)、C(2,1)。(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；(2)设实数t满足()=0，求t的值.5. 已知椭圆，斜
11、率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，.（1）判断与是否共线；（2）设M为椭圆上任意一点，且（），证明：为定值.【答案】变式与引申3： 解：的最小值是.由及知，点与点、共线，所以的最小值是点到直线的距离，在中求解得最小值是AHCB答图4解：选B由已知判断出点C在上，且，设A点坐标为(1，0)，B点的坐标为(0，)，C点的坐标为(x，y)=(，)，建立方程解出，所以=3，变式与引申5： 解：选.如答图，过作于点，取中点，由题意知=，=ACBPO答图=,即，又因为=，得所以的轨迹一定通过的重心.6解：最小值为.如答图, ，等号在，即为的中点时成立变式与引申7解：的最大值为，最小值为（分析
12、：因为为B的中点，所以故可利用向量把问题转化为求向量的最值）如答图2-6，设圆心为C，由已知可得：，又由中点公式得，所以=；又因为 点在圆上,所以且，所以有， 即， 所以的最大值为，最小值为习题2-4A BPCMND1选D非零向量与满足()=0，即角A的平分线垂直于BC，所以AB=AC，又= ，所以，即A=，故ABC为等边三角形；2. 选C 【解析】如图，过P作PMAC，PNAB，因为，所以N为AC靠近A的五等分点，所以连接CP并延长，交AB于D，则，故，则的面积与面积之比为. 答图3夹角范围为对函数，根据题意有，即，解得，又夹角，所以与的夹角范围为. 解：（1）方法一：由题设知，则所以故所求的两条对角线的长分别为、。方法二：设该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E，则:E为B、C的中点，E（0，1）又E（0，1）为A、D的中点，所以D（1，4） 故所求的两条对角线的长分别为BC=、AD=；（2）由题设知：=(2,1)，。由()=0，得：，从而所以。或者：，5.解（1）设过F的直线方程为由 消y得令 则所以所以。 所以共线（2）椭圆可化为高考资源网()来源：高考资源网版权所有：高考资源网(www.k s 5 )