1、数学第 1 页 共 4 页20202021 学年度第一学期高三（2021 届）第二次质量检测理科数学第卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1若=2 (其中为虚数单位)，则|2|=（）A3B2C10D262若集合=|=log3(2 3 18)，=5,2,2,5,7，则 =（）A2,2,5B5,7C5,2,7D5,5,73设函数()在=1处存在导数为 2，则 lim0(1+)(1)3=（）A23B6C13D124我国古代的宫殿金碧辉煌，设计巧夺天工，下图(1)为北京某宫殿建筑，图(2)为该宫殿某一“柱脚”的三视图，其中小正方形的
2、边长为 1，则根据三视图可知，该“柱脚”的表面积为（）A9+92+9B18+182+9C18+92+18D18+182+185已知定义在上的奇函数()满足(+2)=()，当 (2,0)时，()=2+ln()，则(2021)=（）A1B0C1D26函数()=ln(2)3的图像在点(12,(12)处的切线方程为（）A=14 B=54 +2C=14 14D =54 347已知函数()=2ln1，则=()的图象大致为（）数学第 2 页 共 4 页ABCD8周髀算经有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影
3、之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为（）A一尺五寸B二尺五寸C三尺五寸D四尺五寸 9已知2 2，2 tan =tan 2，tan()=8，则sin =（）A 53B255C53D25510(3 2)2(2)6的展开式中，4的系数为A 480B0C 4320D384011已知圆:(4)2+(+1)2=25，直线 l：12 5 1=0与圆交于，两点，则|A8B6C4D312已知函数()=(ln +2)恰有两个极值点，则实数的取值范围是（）A(,12)B(12,+)C(12,e3)(e3,+)D(,12)(e3,+)第卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分
4、 13已知=(3,4)，=(1,2)则与夹角的余弦值为_14在区间3,3上随机取一个数，则满足不等式2 2 3 0的概率是_15已知直线3+2 3=0和6+1=0互相平行，则它们之间的距离为_16已知函数()=|lg|,0 10，若，互不相等，且()=()=()，则的取值范围为_数学第 3 页 共 4 页三、解答题：本大题共 6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17（10 分）已知 的内角，的对边分别为，5 cos=5 cos（1）求；（2）若=7，=3，点在线段上，=5，求的余弦值18（12 分）已知数列满足2=21=4，且+1 =2，数列是公差为1的等差数列.
5、（1）证明 是等比数列；（2）求使得1+2+2200成立的最小正整数的值.19（12 分）已知长方体 1111中，=2，1=32，点 M 是线段1上靠近的三等分点，点在线段11上.（1）求证：；（2）求二面角 1 1的余弦值.20（12 分）疫情过后，为了增加超市的购买力，营销人员采取了相应的推广手段，每位顾客消费达到 100元以上可以获得相应的积分，每花费 100 积分可以参与超市的抽奖游戏，游戏规则如下：抽奖箱中放有 2张奖券，3 张白券，每次任取两张券，每个人有放回的抽取三次，即完成一轮抽奖游戏；若摸出的结果是“2 张奖券”三次，则获得 10100 积分，若摸出的结果是“2 张奖券”一次
6、或两次，则获得 300 积分，若摸出“2 张奖券”的次数为零，则获得 0 积分；获得的积分扣除花费的 100 积分，则为该顾客所得的最终积分；最终积分若达到一定的标准，可以兑换电饭锅。洗衣机等生活用品（1）求一轮抽奖游戏中，甲摸出“2 张奖券”的次数为零的概率；（2）记一轮抽奖游戏中，甲摸出“2 张奖券”的次数为 X，求 X 的分布列以及数学期望；（3）试用概率与统计的相关知识，从数学期望的角度进行分析，多次参与抽奖游戏后，甲的最终积分情况数学第 4 页 共 4 页21（12 分）已知椭圆:22+22=1(0)的离心率为22，且过点(22,32)（1）求椭圆的方程；（2）若过点(13,0)且斜率不为 0 的直线与椭圆交于，两点，点(1,0)，求证：22（12 分）已知函数()=2+ln（1）若=4，求函数()的单点递增区间；（2）设1，2是()=1的两个不相等的正实数解，求证：(1)+(2)+3 ln 4+1+2
