1、第 5 讲 直线、平面垂直的判定及其性质 一、选择题 1(2009浙江卷)设、是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是()A若 l，则 l B若 l，则 l C若 l，则 l D若 l，则 l 解析：由“一直线若垂直于两平行平面中的一个，则也必垂直于另一个平面”可知 C 项 正确 答案：C 2(2009山东威海检测)过正方体 ABCDA1B1C1D1 的 8 个顶点中任意两 点的直线，与 平面 A1BC1垂直的直线条数有()A1 条 B4 条 C6 条 D8 条 解析：依题意由图可知：连，答案：A 3 如图甲所示，在正方形 ABCD 中，EF 分别是 BC、CD 的中点，G 是 EF
2、 的中点，现 在沿 AE、AF 及 EF 把这个正方形折成一个四面体，使 B、C、D 三点重合，重合后的 点记为 H，如图乙所示，那么，在四面体 AEFH 中必有()AAHEFH 所在平面 BAGEFH 所在平面 CHFAEF 所在平面 DHGEFH 所在平面 解析：折成的四面体有 AHEH，AHFH，AH面 HEF.答案：A 4(2010浙江宁波调研)如图所示，在斜三棱柱 ABCA1B1C1中，BAC 90，BC1AC，则 C1在底面 ABC 上的射影 H 必在()A直线 AB 上 B直线 BC 上 C直线 AC 上 DABC 内部 解析：BAAC，BC1AC，BABC1B.AC平面 ABC
3、1.AC平面 ABC，平面 ABC平面 ABC1，且交线是 AB.故平面 ABC1上一点 C1在 底面 ABC 的射影 H 必在交线 AB 上 答案：A 二、填空题 5(2009江苏卷)设 和 为不重合的两个平面，给出下列命题：(1)若 内的两条相交直线分别平行于 内的两条直线，则 平行于；(2)若 外一条直线 l 与 内的一条直线平行，则 l 和 平行；(3)设 和 相交于直线 l，若 内有一条直线垂直于 l，则 和 垂直；(4)直线 l 与 垂直的充分必要条件是 l 与 内的两条直线垂直 上面命题中，真命题的序号是_(写出所有真命题的序号)解析：(1)内两条相交直线分别平行于平面，则两条相
4、交直线确定的平面 平行于平 面，正确(2)平面 外一条直线 l 与 内的一条直线平行，则 l 平行于，正确 (3)如图，=l，a，al，但不一定有，错误(4)直线 l 与垂直的充分必要条件是 l 与内的两条相交直线垂直，而该命题缺少“相 交”两字，故为假命题综上所述，真命题的序号为(1)(2)答案：(1)(2)6 如图所示，四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是边长为 a 的正方形，侧棱 PAa，PB PD 2a，则它的 5 个面中，互相垂直的面有_对 解析：面 PAB面 PAD，面 PAB面 ABCD，面 PAB面 PBC，面 PAD 面 ABCD，面 PAD面 PCD.答案：5 7(20
5、10江西南昌调研)如图所示，在四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，且底面各边都相等，M 是 PC 上的一动点，当点 M 满足_时，平面 MBD平面 PCD(只 要填写一个你认为是正确的即可)解析：连接 AC，由题意知 BD平面 PAC，BDPC.当 DMPC(或 BMPC)时，即有 PC平面 MBD，而 PC平面 PCD，平面 MBD平面 PCD.答案：DMPC(或 BMPC)三、解答题 8(2009南京第一次调研)如图所示，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，ABAC，点 D，E，O 分别为 AA1，A1C1，B1C 的中点证明：(1)OE平面 AA1B1B；(2)平面 B1DC平面
6、 BB1C1C.证明：(1)证法一：连接 BC1，BA1.在直三棱柱 ABCA1B1C1中，因为四边形 BB1C1C 为矩形，点 O 为 B1C 的中点，所以点 O 也为 BC1的中点 因为 E 为 C1A1的中点，所以 OEA1B.因为 A1B平面 AA1B1B，OE平面 AA1B1B，所以 OE平面 AA1B1B.证法二：取 B1C1的中点 F，连接 BC1，OF，EF.因为 E，F 分别为 C1A1，C1B1的中点，所以 EFA1B1，因为 A1B1平面 AA1B1B，EF平面 AA1B1B，所以 EF平面 AA1B1B.在直三棱柱 ABCA1B1C1中，因为四边形 BB1C1C 为矩形
7、，点 O 为 B1C 的中点，所以点 O 也为 BC1的中点 所以 OFBB1，因为 BB1 平面 AA1B1B，OF平面 AA1B1B，所以 OF平面 AA1B1B.因为 EF 平面 OEF，OF 平面 OEF，EFOFF，所以平面 OEF平面 AA1B1B.因为 OE 平面 OEF，所以 OE平面 AA1B1B.(2)连接 OD，在直三棱柱 ABC-中，因为平面 ABC，AC 平面 ABC，所以AC.所以 同理 因为 AC=AB=，AD=，所以 CD=.因为 CO=，所以 OB.连接，BD，同理可证，OD，因为，=O，所以 OD平面.因为 OD 平面 B1DC，所以平面 9(2010广东中
8、山调研)如图所示，在正三棱柱 ABCA1B1C1中，ABAA1，D 是 BC 上的一点，且 ADC1D.(1)求证：A1B平面 AC1D；(2)在棱 CC1上是否存在一点 P，使直线 PB1平面 AC1D？若存在，找出这个点，并加 以证明；若不存在，请说明理由 证明：(1)ABCA1B1C1是正三棱柱，CC1平面 ABC，CC1AD.又 ADC1D，CC1C1DC1，AD平面 BCC1B1，ADBC，D 是 BC 的中点 连接 A1C，设与 AC1相交于点 E，则点 E 为 A1C 的中点连接 DE，则在A1BC 中，D、E 分别是 BC、A1C 的中点，A1BDE，又 DE 在平面 AC1D
9、 内，A1B 不在平面 AC1D 内，A1B平面 AC1D.(2)解：存在这样的点 P，且点 P 为 CC1的中点下面给出证明：由(1)知 AD平面 BCC1B1，故 B1PAD.设 PB1与 C1D 相交于点 Q，由于DC1CPB1C1，故QB1C1CC1D，因为QC1B1CDC1，从而QC1B1CDC1，所以C1QB1DCC190，所以 B1PC1D.因为 ADC1DD，所以 B1P平面 AC1D.10如图所示，在五面体 ABCDEF 中，点 O 是矩形 ABCD 的对角线的交点，面 CDE 是等边三角形，棱 EF 綊12BC，CDE 为等边三角形(1)证明：FO平面 CDE；(2)设 B
10、C 3CD，证明：EO平面 CDF.证明：(1)如图所示，取 CD 中点 M，连结 OM.在矩形 ABCD 中，OM12BC，又 EF12BC，则 EFOM.连结 EM，于是四边形 EFOM 为平行四边形 FOEM.又FO平面 CDE，且 EM 平面 CDE，FO平面 CDE.(2)连结 FM.由(1)和已知条件，在等边CDE 中，CM=DM，EMCD 且 EM=CD=BC=EF.因此平行四边形 EFOM 为菱形，从而 EOFM.CDOM，CDEM，CD平面 EOM.从而 CDEO.而 FMCD=M，所以 EO平面 CDF.1(2010改编题)已知两条不同直线 l1 和 l2 及平面，则直线 l1l2 的一个充分条件是()Al1 且 l2 Bl1 且 l2 Cl1 且 l2 Dl1 且 l2 解析：根据垂直于同一个平面的两条直线互相平行可知 B 为 l1l2的一个充分条件 答案：B 2()长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB 2，BCAA11，则 BD1与平面 A1B1C1D1所成的角的大小为_ 解析：如右图，连接 B1D1，则 BD1 与平面 A1B1C1D1 所成的角为BD1B1，在 RtBD1B1 中，由 BB11，B1D1 3，求得 tanBD1B1 33，则BD1B16，即 BD1与平面 A1B1C1D1所成的角为6.答案：6 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m