1、导数的概念及运算一、选择题1下列求导运算正确的是()A1B(log2x) C(3x)3xlog3eD(x2cos x)2sin xBx1；(3x)3xln 3；(x2cos x)(x2)cos xx2(cos x)2xcos xx2sin x，故选项B正确2已知函数f (x)的导函数为f (x)，且满足f (x)2xf (e)ln x(其中e为自然对数的底数)，则f (e)()A1B1CeDe1D由已知得f (x)2f (e)，令xe，可得f (e)2f (e)，则f (e)故选D3一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为st33t28t，那么速度为零的时刻是()A1秒末B1秒末和2秒
2、末C4秒末D2秒末和4秒末Ds(t)t26t8，由导数的定义可知vs(t)，令s(t)0，得t2或4，即2秒末和4秒末的速度为零，故选D4若曲线f (x)acos x与曲线g(x)x2bx1在x0处有公切线，则ab()A1B0C1D2C由题意得f (x)asin x，g(x)2xb，于是有f (0)g(0)，即asin 020b，b0又f (0)g(0)，即a1，ab15已知直线yax是曲线yln x的切线，则实数a()ABCDC设切点坐标为(x0，ln x0)，由yln x的导函数为y知切线方程为yln x0(xx0)，即yln x01由题意可知解得a故选C6(2021合肥模拟)已知函数f
3、(x)xln x，若直线l过点(0，e)，且与曲线yf (x)相切，则直线l的斜率为()A2B2CeDeB函数f (x)xln x的导数为f (x)ln x1，设切点为(m，n)，可得切线的斜率k1ln m，则1ln m，解得me，故k1ln e2二、填空题7(2020全国卷)曲线yln xx1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为_y2x设切点坐标为(x0，ln x0x01)由题意得y1，则该切线的斜率k12，解得x01，所以切点坐标为(1，2)，所以该切线的方程为y22(x1)，即y2x8设函数f (x)x3ax2，若曲线yf (x)在点P(x0，f (x0)处的切线方程为xy0，则点P的
4、坐标为_(1，1)或(1，1)由题意知，f (x)3x22ax，所以曲线yf (x)在点P(x0，f (x0)处的切线斜率为f (x0)3x2ax0，又切线方程为xy0，所以x00，且解得或所以当时，点P的坐标为(1，1)；当时，点P的坐标为(1，1)9(2021成都模拟)曲线yx2ln x上的点到直线xy20的最短距离为_由题意知，曲线yx2ln x与直线xy20平行的切线的切点到直线xy20的距离最短y2x，令2x1得x1，则切点坐标为(1，1)，所求距离为d三、解答题10已知点M是曲线yx32x23x1上任意一点，曲线在M处的切线为l，求：(1)斜率最小的切线方程；(2)切线l的倾斜角的
5、取值范围解(1)yx24x3(x2)21，当x2时，ymin1，此时y，斜率最小时的切点为，斜率k1，切线方程为3x3y110(2)由(1)得k1，tan 1，又0，)，故的取值范围为11已知函数f (x)x3(1a)x2a(a2)xb(a，bR)(1)若函数f (x)的图像过原点，且在原点处的切线斜率为3，求a，b的值；(2)若曲线yf (x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围解f (x)3x22(1a)xa(a2)(1)由题意，得解得b0，a3或a1(2)因为曲线yf (x)存在两条垂直于y轴的切线，所以关于x的方程f (x)3x22(1a)xa(a2)0有两个不相等的实数根，所以4
6、(1a)212a(a2)0，即4a24a10，所以a所以a的取值范围为1已知曲线yxln x在点(1，1)处的切线与抛物线yax2(a2)x1相切，则a的值为()A0B0或8C8D1C对yxln x求导，得y1，y|x12，即切线的斜率为2，切线方程为y12(x1)，即y2x1因为该切线与抛物线相切，所以ax2(a2)x12x1有唯一解即ax2ax20有唯一解则解得a8，故选C2(2021南昌模拟)已知曲线C：yxex，过点A(a，0)的切线有且仅有两条，则实数a的取值范围是_(，4)(0，)设切点为(m，mem)，yxex的导数为y(x1)ex，则切线的斜率为(m1)em，切线方程为ymem
7、(m1)em(xm)，切线过点A(a，0)，代入得mem(m1)em(am)，即m2maa0由题意知，方程m2maa0有两个解则有a24a0，解得a0或a43已知函数f (x)x3x16(1)求曲线yf (x)在点(2，6)处的切线的方程；(2)若直线l为曲线yf (x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；(3)若曲线yf (x)的某一切线与直线yx3垂直，求切点坐标与切线的方程解(1)因为f (x)3x21，所以f (x)在点(2，6)处的切线的斜率kf (2)13所以所求的切线方程为y13(x2)(6)，即y13x32(2)设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f (x0)3x1，所以直线l的方程为y(3x1)(xx0)xx016又因为直线l过点(0，0)，所以0(3x1)(x0)xx016，整理得x8，所以x02，所以y0(2)3(2)1626，直线l的斜率k3(2)2113所以直线l的方程为y13x，切点坐标为(2，26)(3)因为切线与直线yx3垂直，所以切线的斜率k4设切点的坐标为(x0，y0)，则f (x0)3x14，所以x01所以或即切点坐标为(1，14)或(1，18)，所以切线方程为y4(x1)14或y4(x1)18，即y4x18或y4x14