1、导数及其应用一、选择题1(2021莆田市高三二模)已知集合Ax|log3(x3)1，BxZ|x290，则AB()A.(，3(3,6 B(3,6C.3,4,5,6 D4,5,6,D由log3(x3)1，可得解得3x6，即Ax|3x6，又由BxZ|x290xZ|x3或x3，可得ABxZ|30时，函数f(x)的图象与函数ylog2x的图象关于yx对称，则g(1)()A5 B3 C1 D1B因为x0时，f(x)的图象与函数ylog2x的图象关于yx对称，所以x0时，f(x)2x，所以x0时，g(x)2xx2，又因为g(x)是奇函数，所以g(1)g(1)(21)3，故选B3若变量x，y满足约束条件，则目
2、标函数zx2y的最小值为()A1 B2 C5 D7C画出可行域如图所示，向上平移基准直线x2y0到可行域边界A(3,4)的位置，由此求得目标函数的最小值为z3245，故选C4若曲线yln x在x1处的切线也是yexb的切线，则b()A1 B2 C2 DeB由yln x得y，故y|x11，切点坐标为A(1,0)，故切线方程为yx1设yexb的切点为B(m，emb)，yex，em1，所以m0，将m0代入切线方程得B(0，1)，将B(0，1)代入yexb得：1e0b，得b2，故选B5已知函数f(x)ax在(1，)上有极值，则实数a的取值范围为()A BC DBf(x)a，设g(x)，函数f(x)在区
3、间(1，)上有极值，f(x)g(x)a在(1，)上有变号零点，令t，由x1可得ln x0，即t0，得到ytt2，又a时，f(x)为减函数，无极值，a，故选B6若0x1x21，则()Aeeln x2ln x1 Beeln x2ln x1Cx2ex1e Dx2ex1eC设f(x)exln x，则f(x)ex，由f20，f(1)e10知f(x)在x(0,1)时不是单调函数，故排除A、B设g(x)xex，则g(x)ex(x1)，当x0时，g(x)0，即g(x)在(0，)上是增函数，则x2ex1e，故排除D设m(x)，则m(x)，当x(0,1)时，m(x)0，即m(x)在(0,1)上是减函数，则，即x2
4、ex1e，故选C7(2021天津耀华中学高三一模)已知幂函数f(x)x满足2f(2)f(16)，若af(log42)，bf(ln 2)，cf，则a，b，c的大小关系是()Aacb BabcCbac DbcaC由2f(2)f(16)可得2224，14，即f(x)x由此可知函数f(x)在R上单调递增而由换底公式可得log42，ln 2，5，1log2e2，于是log42ln 2，又，5ac8(2021新高考卷)若过点(a，b)可以作曲线yex的两条切线，则()Aeba BeabC0aeb D0beaD法一(数形结合法)：设切点(x0，y0)，y00，则切线方程为ybe (xa)，由得e(1x0a)
5、b，则由题意知关于x0的方程e (1x0a)b有两个不同的解设f(x)ex(1xa)，则f(x)ex(1xa)exex(xa)，由f(x)0得xa，所以当xa时，f(x)0，f(x)单调递增，当xa时，f(x)0，f(x)单调递减，所以f(x)maxf(a)ea(1aa)ea，当xa时，ax0，所以f(x)0，当x时，f(x)0，当x时，f(x)，函数f(x)ex(1xa)的大致图象如图所示，因为f(x)的图象与直线yb有两个交点，所以0bea故选D法二(用图估算法)：过点(a，b)可以作曲线yex的两条切线，则点(a，b)在曲线yex的下方且在x轴的上方，得0bea故选D二、填空题9若直线y
6、kx与曲线yxex相切，则k_1e设切点为(x0，y0)，则y0x0e因为y(xex)1ex，所以切线的斜率k1e，又点(x0，y0)在直线ykx上，所以y0kx0，所以x0e(1e)x0，解得x01，所以k1e10若函数f(x)(a0，a1)的定义域和值域都是0,1，则logalog_1由f(1)0，知a1，且1，解得a2log2loglog2log2log2111已知函数f(x)x3bx2c(b，c为常数)当x2时，函数f(x)取得极值，若函数f(x)有三个零点，则实数c的取值范围为_f(x)x3bx2c，f(x)x22bx当x2时，f(x)取得极值，222b20，解得b1当x(0,2)时
7、，f(x)单调递减，当x(，0)或x(2，)时，f(x)单调递增若f(x)0有3个实根，则解得0c12已知函数f(x)的定义域是1，5，部分对应值如表，f(x)的导函数yf(x)的图象如图所示，x10245f(x)121.521下列关于函数f(x)的命题：函数f(x)的值域为1,2；函数f(x)在0,2上是减函数；如果当x1，t时，f(x)的最大值是2，那么t的最大值为4；当1a2时，函数yf(x)a最多有4个零点其中所有正确命题的序号是_由导函数的图象可知，当1x0及2x4时，f(x)0，函数单调递增，当0x2及4x5时，f(x)0，函数单调递减，当x0及x4时，函数取得极大值f(0)2，f
8、(4)2，当x2时，函数取得极小值f(2)1.5又f(1)f(5)1，所以函数的最大值为2，最小值为1，值域为1,2，正确；因为当x0及x4时，函数取得极大值f(0)2，f(4)2，要使当x1，t时，函数f(x)的最大值是2，则0t5，所以t的最大值为5，所以不正确；因为极小值f(2)1.5，极大值f(0)f(4)2，所以当1a2时，yf(x)a最多有4个零点，所以正确，所以正确命题的序号为三、解答题13已知2x256，且log2x(1)求x的取值范围；(2)在(1)的条件下，求函数f(x)(log2)(log2x)的最大值和最小值解(1)由2x256得x8，log2 x得x，所以x8(2)由
9、(1)x8得log2x3，f(x)(log2)(log2x)2(1log2x)log2x(1log2x)，所以f(x)log2x(1log2x)，当log2x时，f(x)min当log2x3时，f(x)max1214已知函数f(x)(mR)(1)当m3时，判断并证明函数f(x)的奇偶性；(2)当m1时，判断并证明函数f(x)在R上的单调性解(1)当m3时，函数f(x)为奇函数由题意知f(x)的定义域为R，且f(x)f(x)，所以f(x)为奇函数(2)当m1时，函数f(x)1在R上为减函数设x1x2，则f(x1)f(x2)11(m1)，由m1，可得m10，由x1x2，可得220，且(12)(12
10、)0，即有f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，可得当m1时，f(x)在R上为减函数15在“函数f(x)的图象在点(2，f(2)处的切线斜率为2a；函数f(x)的图象在点(1，f(1)处的切线与直线xy10垂直；函数f(x)的图象在点(1，f(1)处的切线与直线4xy0平行”这三个条件中任选一个，补充在下面问题(1)中，求出实数a的值已知函数f(x)x22aln x(1)若_，求实数a的值；(2)若函数g(x)f(x)在1,2上是减函数，求实数a的取值范围解(1)若选，对f(x)求导，得f(x)2x，由已知f(2)2a，得2a，解得a4若选，对f(x)求导，得f(x)2x，直线xy1
11、0的斜率为，由题意得f(1)2，得22a2，解得a0若选，对f(x)求导，得f(x)2x，直线4xy0的斜率为4，由题意得f(1)4，得22a4，解得a1(2)对g(x)x22aln x求导，得g(x)2x由函数g(x)在1,2上是减函数，可得g(x)0在1,2上恒成立，即2x0在1,2上恒成立，即ax2在1,2上恒成立令h(x)x2，当x1,2时，h(x)2x0，由此知h(x)在1,2上为减函数，所以h(x)minh(2)，故a于是实数a的取值范围为16(2021全国甲卷)设函数f(x)a2x2ax3ln x1，其中a0(1)讨论f(x)的单调性；(2)若yf(x)的图象与x轴没有公共点，求a的取值范围解(1)由题意，f(x)的定义域为(0，)，f(x)2a2xa，则当x时，f(x)0，f(x)单调递增；当0x时，f(x)0恒成立，故a2a3ln10，得a，所以a的取值范围为