1、第1课时抛物线及其标准方程核心必知1预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P64P67的内容，回答下列问题(1)观察教材P64图2.41，点F是定点，l是不经过点F的定直线，H是l上任意一点，过点H作MHl，线段FH的垂直平分线m交MH于点M，拖动点H，观察点M的轨迹M的轨迹是什么形状？提示：抛物线|MH|与|MF|之间有什么关系？提示：相等抛物线上任意一点M到点F和直线l的距离都相等吗？提示：都相等(2)观察教材P65图2.42，直线l的方程为x，定点F的坐标为，设M(x，y)，根据抛物线的定义可知|MF|MH|，则M点的轨迹方程是什么？提示：y22px(p0)2归纳总结，核心必记(1)抛
2、物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线(2)抛物线的标准方程图形标准方程焦点坐标准线方程y22px(p0)xy22px(p0)x续表图形标准方程焦点坐标准线方程x22py(p0)yx22py(p0)y问题思考(1)在抛物线定义中，若去掉条件“l不经过点F”，点的轨迹还是抛物线吗？提示：不一定是抛物线，当直线l经过点F时，点的轨迹是过点F且垂直于定直线的一条直线，l不过定点F时，点的轨迹是抛物线(2)到定点A(3，0)和定直线l：x3距离相等的点的轨迹是什么？轨迹方程又是什么？提示：轨迹是抛物线，轨迹方程
3、为：y212x(3)若抛物线的焦点坐标为(2，0)，则它的标准方程是什么？提示：由焦点在x轴正半轴上，设抛物线的标准方程为y22px(p0)，其焦点坐标为，则2，故p4.所以抛物线的标准方程是y28x课前反思通过以上预习，必须掌握的几个知识点(1)抛物线的定义是：；(2)抛物线的焦点和准线的定义是：；(3)抛物线的标准方程是什么？其对应的抛物线的开口方向有什么特点？焦点坐标和准线方程又是什么？思考1抛物线的标准方程有哪几种类型？名师指津：y22px(p0)；y22px(p0)；x22py(p0)；x22py(p0)思考2抛物线方程中p的几何意义是什么？名师指津：p的几何意义是：焦点到准线的距离
4、思考3如何根据抛物线标准方程求焦点坐标和准线方程？名师指津：先确定抛物线的对称轴和开口方向，然后求p，利用焦点坐标及准线的定义求解讲一讲1求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：(1)y214x；(2)5x22y0; (3)y2ax(a0)尝试解答(1)因为p7，所以焦点坐标是，准线方程是x.(2)抛物线方程化为标准形式为x2y，因为p，所以焦点坐标是，准线方程是y.(3)由a0知p，所以焦点坐标是，准线方程是x.根据抛物线方程求其焦点坐标和准线方程时，首先要看抛物线方程是否为标准形式，如果不是，要先化为标准形式；然后判断抛物线的对称轴和开口方向，再利用p的几何意义，求出焦点坐标和准线方程练一练1求
5、抛物线yax2(a0)的焦点坐标和准线方程解：把抛物线方程yax2化成标准方程x2y.当a0时，焦点坐标是，准线方程是y； 当a0)，将点M(6，6)代入，可得362p(6)，p3.抛物线的方程为y26x.若抛物线开口向上，焦点在y轴上，设其方程为x22py(p0)，将点M(6，6)代入可得，362p6，p3，抛物线的方程为x26y.综上所述，抛物线的标准方程为y26x或x26y.(2)直线l与x轴的交点为(2，0)，抛物线的焦点是F(2，0)，2，p4，抛物线的标准方程是y28x.直线l与y轴的交点为(0，3)，即抛物线的焦点是F(0，3)，3，p6，抛物线的标准方程是x212y.综上所述，
6、所求抛物线的标准方程是y28x或x212y.求抛物线标准方程的两种方法(1)当焦点位置确定时，可利用待定系数法，设出抛物线的标准方程，由已知条件建立关于参数p的方程，求出p的值，进而写出抛物线的标准方程(2)当焦点位置不确定时，可设抛物线的方程为y2mx或x2ny，利用已知条件求出m，n的值练一练2根据下列条件写出抛物线的标准方程：(1)准线方程为y1; (2)焦点在x轴的正半轴上，焦点到准线的距离是3.解：(1)由准线方程为y1知抛物线焦点在y轴正半轴上，且1，则p2.故抛物线的标准方程为x24y.(2)设焦点在x轴的正半轴上的抛物线的标准方程为y22px(p0)，则焦点坐标为，准线为x，则
7、焦点到准线的距离是p3，因此所求的抛物线的标准方程是y26x.讲一讲3已知抛物线y22x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3，2)，求|PA|PF|的最小值，并求出取最小值时的P点坐标尝试解答如图，作PNl于N(l为准线)，作ABl于B，则|PA|PF|PA|PN|AB|，当且仅当P为AB与抛物线的交点时，取等号|AB|3.此时yP2，代入抛物线得xP2，P点坐标为(2，2) (1)抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等，故二者可相互转化，这也是利用抛物线定义解题的实质 (2)解决与抛物线焦点、准线距离有关的最值、定值问题时，首先要注意应用抛物线的定义进行转化
8、，其次是注意平面几何知识的应用，例如两点之间线段最短；三角形中三边间的不等关系；点与直线上点的连线中，垂线段最短等练一练3已知点P是抛物线y22x上的一个动点，求点P到点(0，2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值解：由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离由图可知， 当点P，A(0，2)，和抛物线的焦点F三点共线时距离之和最小所以最小距离d.讲一讲4一辆卡车高3 m，宽1.6 m，欲通过截面为抛物线型的隧道，已知拱口宽AB恰好是拱高的4倍，若拱口宽为a m，求能使卡车通过的a的最小整数值尝试解答以拱顶为原点，拱高所在直线为y轴，建立直角坐标系，如图所示，设抛物线方
9、程为x22py(p0)，则点B的坐标为，由点B在抛物线上，得2p，所以p，所以抛物线方程为x2ay.将点(0.8，y)代入抛物线方程，得y.欲使卡车通过隧道，应有|y|3.解得a12.21，或a0)，因为点C(5，5)在抛物线上，所以252p(5)，因此2p5，所以抛物线的方程为x25y，点A(4，y0)在抛物线上，所以165y0，即y0，所以OA的长为51.8(m)所以管柱OA的长为1.8 m.课堂归纳感悟提升1本节课的重点是抛物线标准方程的求法和焦点坐标、准线的求法难点是抛物线定义的应用和抛物线方程的实际应用2本节课要重点掌握的规律方法(1)由抛物线方程求焦点坐标和准线方程，如讲1；(2)
10、求抛物线的标准方程，如讲2；(3)利用抛物线的定义解决最值问题，如讲3.3由抛物线方程求焦点坐标和准线方程时，如果不是标准方程应先转化为标准方程，这是本节课的易错点课时达标训练（十二） 即时达标对点练题组1由抛物线方程求焦点坐标和准线方程1对抛物线y4x2，下列描述正确的是()A开口向上，焦点为(0，1)B开口向上，焦点为C开口向右，焦点为(1，0)D开口向右，焦点为解析：选B由y4x2，得x2y，故抛物线开口向上，且焦点坐标为.2抛物线y的准线方程是()Ax By2 Cx Dy4解析：选B由y，得x28y，故抛物线开口向下，其准线方程为y2.3抛物线y2ax(a0)的焦点到其准线的距离是()
11、A. B. C|a| D解析：选B2p|a|，p.焦点到准线的距离是.题组2求抛物线的标准方程4焦点是F(0，5)的抛物线的标准方程是()Ay220x Bx220yCy2x Dx2y解析：选B由5得p10，且焦点在y轴正半轴上，故方程形式为x22py，所以x220y.5顶点在原点，且过点(4，4)的抛物线的标准方程是()Ay24x Bx24yCy24x或x24y Dy24x或x24y解析：选C设抛物线方程为y22p1x或x22p2y，把(4，4)代入得168p1或168p2，即p12或p22.故抛物线的标准方程为y24x或x24y.题组3抛物线定义的应用6设圆C与圆x2(y3)21外切，与直线
12、y0相切，则C的圆心轨迹为()A抛物线 B双曲线 C椭圆 D圆解析：选A由题意知，圆C的圆心到点(0，3)的距离比到直线 y0的距离大1，即圆C的圆心到点(0，3)的距离与到直线y1的距离相等，根据抛物线的定义可知，所求轨迹是一条抛物线7若抛物线y28x上一点P到其焦点F的距离为9，则点P的坐标为()A(7，) B(14，)C(7，2) D(7，2)解析：选C由y28x，得抛物线的准线方程为x2，因P点到焦点的距离为9，故P点的横坐标为7.由y287，得y2，即P(7，2)8若点P是抛物线y22x上的一个动点，求点P到直线3x4y0的距离与P到该抛物线的准线的距离之和的最小值解：如图|PA|P
13、Q|PA|PF|AF|min.AF的最小值为F到直线3x4y0的距离d1.题组4抛物线方程的实际应用9某抛物线拱桥跨度是20米，拱桥高度是4米，在建桥时，每4米需用一根支柱支撑，求其中最长支柱的长解：如图，建立直角坐标系，设抛物线方程为x22py(p0)依题意知，点P(10，4)在抛物线上，所以1002p(4)，2p25.即抛物线方程为x225y.因为每4米需用一根支柱支撑，所以支柱横坐标分别为6，2，2，6.由图知，AB是最长的支柱之一，设点B的坐标为(2，yB)，代入x225y，得yB.所以|AB|43.84(米)，即最长支柱的长为3.84米10如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方
14、形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少有0.5米(1)以抛物线的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图)，求该抛物线的方程；(2)若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米(精确到0.1米)?解：如图所示，(1)依题意，设该抛物线的方程为x22py(p0)，因为点C(5，5)在抛物线上，所以该抛物线的方程为x25y.(2)设车辆高h，则|DB|h0.5，故D(3.5，h6.5)，代入方程x25y，解得h4.05，所以车辆通过隧道的限制高度为4.0米能力提升综合练1已知抛物线y22px
15、(p0)的准线与圆(x3)2y216相切，则p的值为()A. B1C2 D4解析：选C抛物线y22px的准线x与圆(x3)2y216相切，1，即p2.2抛物线y12x2上的点到焦点的距离的最小值为()A3 B6 C. D.解析：选C将方程化为标准形式是x2y，因为2p，所以p.故到焦点的距离最小值为.3动点到点(3，0)的距离比它到直线 x2的距离大1，则动点的轨迹是()A椭圆 B双曲线C双曲线的一支 D抛物线解析：选D已知条件可等价于“动点到点(3，0)的距离等于它到直线x3的距离”，由抛物线的定义可判断，动点的轨迹为抛物线，故选D.4已知F是抛物线y2x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|
16、AF|BF|3，则线段AB的中点到y轴的距离为()A. B1 C. D.解析：选C|AF|BF|xAxB3，xAxB.线段AB的中点到y轴的距离为.5已知抛物线y22px(p0)上一点M(1，m)到其焦点的距离为5，双曲线x21的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM垂直，则实数a_解析：根据抛物线的定义得15，解得p8.不妨取M(1，4)，则AM的斜率为2，由已知得21，故a.答案：6设抛物线y28x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PAl，A为垂足，如果直线AF的斜率为，那么|PF|_解析：如图所示，直线AF的方程为y(x2)，与准线方程x2联立得A(2，4)设P(x0，4)，代
17、入抛物线y28x，得8x048，x06，|PF|x028.答案：87已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程解：法一：如图所示，设抛物线的方程为x22py(p0)，则焦点F，准线l：y，作MNl，垂足为N，则|MN|MF|5，而|MN|35，即p4.所以抛物线方程为x28y，准线方程为y2.由m28(3)24，得m2.法二：设所求抛物线方程为x22py(p0)，则焦点为F.M(m，3)在抛物线上，且|MF|5，故解得抛物线方程为x28y，m2，准线方程为y2.8已知圆C的方程x2y210x0，求与y轴相切且与圆C外切的动圆圆心P的轨迹方程解：设P点坐标为(x，y)，动圆的半径为R，动圆P与y轴相切，R|x|.动圆与定圆C：(x5)2y225外切，|PC|R5.即|PC|x|5.当点P在y轴右侧时，即x0，则|PC|x5，故点P的轨迹是以(5，0)为焦点的抛物线，则圆心P的轨迹方程为y220x(x0)；当点P在y轴左侧时，即x0，则|PC|x5，此时点P的轨迹是x轴的负半轴，即方程y0(x0)或y0(x0)