1、第三节等比数列1.理解等比数列的概念2掌握等比数列的通项公式与前n项和公式3能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题4了解等比数列与指数函数的关系.1等比数列的有关概念(1)等比数列的定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列叫做等比数列符号表示为 anan1q(nN*，n2)(2)等比中项：若 a，G，b 成等比数列，则称 G 为 a、b 的等比中项，且 G2ab 或 G ab.注：两个非零同号的实数的等比中项有两个，它们互为相反数，所以 G2ab 是 a，G，b 三数成等比数列的必要不充分条件2等比数列的有关公式(1)通项公式：
2、若an是等比数列，则 ana1qn1.(2)前 n 项和公式：Snna1，q1，a11qn1qa1anq1q，q1.3等比数列的性质(1)若 mnpq(m，n，p，qN*)，则 amanapaq.(2)当公比 q1 时，Sm，S2mSm，S3mS2m 成等比数列(3)单 调 性：a10，q1，或a10，0q0，0q1，或a11，an是递减数列；q1an是常数列；q0)，它的前 n 项和为 40，前2n 项和为 3280，且前 n 项中数值最大项为 27，求数列的第 2n 项思路探究(1)利用已知条件，建立 a1 和 q 的两个方程解之可得 an.(2)利用前 n 项和公式列出方程组求出 a1
3、和 q，使问题得到解决，需注意的是 Sn应分 q1 和 q1 两种情况讨论课堂记录(1)设等比数列an的公比为 q，则 q0，a2a3q2q，a4a3q2q，2q2q203，解得 q113，q23.当 q13时，a118，an233n.当 q3 时，a129，an23n3.(2)当 q1 时，Snna140，S2n2na13280，无解当 q1 时，Sna11qn1q40，S2na11q2n1q3280.S2nSn 1qn82，qn81.a11q12.q0 且 qn811.q1.a10.数列an为递增数列an27a1qn1a1q 81.解方程组a1q 13，a11q12，得a11，q3，a2n
4、a1q2n1132n132n1.思维拓展(1)等比数列an的通项公式 ana1qn1 中有四个量 an，a1，q，n.已知其中三个可求得第四个，即从等式中导出那个量另外，解答本题时还要注意分类讨论的应用(2)等比数列前 n 项和公式 Snna1，q1，a11qn1q，q1，分 q1与 q1 两种情况讨论，特别是公比 q 为参变量时，一定要注意讨论另外，要注意整体思想的运用，把 qn，a11q看成整体求解会更简单即时训练(2009辽宁)等比数列an的前 n 项和为 Sn，已知S1，S3，S2 成等差数列(1)求an的公比 q；(2)若 a1a33，求 Sn.解：(1)依题意有 a1(a1a1q)
5、2(a1a1qa1q2)由于 a10，故 2q2q0.又 q0，从而 q12.(2)由已知可得 a1a11223，故 a14.从而 Sn4112n11283112n.热点之三 等比数列性质的应用在等比数列中常用的性质主要有：(1)对于任意的正整数 m，n，p，q，若 mnpq，则 amanapaq，特别地，若 mn2p，则 amanap2.(2)对于任意正整数 m，n，有 anamqnm.(3)若数列an是等比数列，则can(c0)，|an|，an2，1an也是等比数列，若bn是等比数列，则anbn也是等比数列(4)数列 am，amk，am2k，am3k，仍成等比数列(5)数列 Sm，S2mS
6、m，S3mS2m 是等比数列(q1)例 3(1)在等比数列 an 中，a7a116，a4a145，则a20a10等于()A.32 B.23C.23或32D23或32(2)已知数列an是等比数列，且 Sm10，S2m30，则 S3m_(mN*)(3)在等比数列an中，公比 q2，前 99 项的和 S9956，则a3a6a9a99_.课堂记录(1)a7a11a4a14，a4，a14 是方程 t25t60的两根，t2 或 t3，即 a42，a143 或 a43，a142，又a20a10a14a423或32.故选 C.(2)利用等比数列性质(S2mSm)2Sm(S3mS2m)an是等比数列，(S2mS
7、m)2Sm(S3mS2m)，即 20210(S3m30)得 S3m70.故填 70.(3)a3a6a9a99 是数列an的前 99 项中的一组，还有另外两组，它们之间存在着必然的联系设 b1a1a4a7a97，b2a2a5a8a98，b3a3a6a9a99，则 b1qb2，b2qb3 且 b1b2b356，b1(1qq2)56，即 b1561248，b3b1q232.故填 32.即时训练设等比数列an的前n项和为Sn，若S3S62S9，求公比q的值解法一：若 q1，则 S3S63a16a19a12S9.q1.由已知可得a11q31qa11q61q2a11q91q.q3(2q6q31)0.q0，
8、2q6q310.(q31)(2q31)0.q1，q312.q3 42.解法二：S3S62S9，2(a1a2a3)a4a5a62(a1a2a9)(a4a5a6)2(a7a8a9)，(a4a5a6)2q3(a4a5a6)q312.q3 42.从近两年的高考试题来看，等比数列的定义，通项公式、性质、前n项和公式是高考的热点，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度中等偏高客观题主要考查学生对基本运算、基本概念的掌握程度；主观题考查较为全面，在考查基本运算、基本概念的基础上，又注重考查函数与方程、等价转化、分类讨论等思想方法例4(2010陕西高考)已知an是公差不为零的等差数列，a11，且a1，a3，
9、a9成等比数列(1)求数列an的通项；(2)求数列2an的前n项和Sn.解(1)由题设知公差 d0，由 a11，a1，a3，a9成等比数列得12d118d12d，解得 d1，d0(舍去)，故an的通项 an1(n1)1n.(2)由(1)知 2an2n，由等比数列前 n 项和公式得Sn222232n212n12 2n12.1(2010天津高考)已知an是首项为 1 的等比数列，Sn 是an的前 n 项和，且 9S3S6，则数列1an 的前 5 项和为()A.158 或 5 B.3116或 5C.3116D.158解析：易知公比 q1.由 9S3S6，得 9a11q31qa11q61q，解得 q2
10、.1an 是首项为 1，公比为12的等比数列其前 5 项和为111251123116.答案：C2(2010全国)已知各项均为正数的等比数列an中，a1a2a35，a7a8a910，则 a4a5a6 等于()A5 2B7C6 D4 2解析：数列an为等比数列，由 a1a2a35 得 a235，由 a7a8a910 得 a8310，所以 a23a8350，即(a2a8)350，即 a5650，所以 a535 2(an0)所以 a4a5a6a535 2.答案：A3(2010安徽高考)设an是任意等比数列，它的前n项和，前2n项和与前3n项和分别为X，Y，Z，则下列等式中恒成立的是()AXZ2YBY(YX)Z(ZX)CY2XZDY(YX)X(ZX)解析：根据等比数列的性质：若an是等比数列，则Sn，S2nSn，S3nS2n也成等比数列，据此，X，YX，ZY成等比数列，故(YX)2X(ZY)，整理得Y(YX)X(ZX)，故选D.答案：D