1、古典概型与几何概型一、选择题1(2020全国卷)设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为()A B C DA根据题意作出图形，如图所示，在O，A，B，C，D中任取3点，有10种可能情况，分别为(OAB)，(OAC)，(OAD)，(OBC)，(OBD)，(OCD)，(ABC)，(ABD)，(ACD)，(BCD)，其中取到的3点共线有(OAC)和(OBD)2种可能情况，所以在O，A，B，C，D中任取3点，取到的3点共线的概率为，故选A2“上医医国”出自国语晋语八，比喻高贤能治理好国家现把这四个字分别写在四张卡片上，其中“上”字已经排好，某幼童把剩余的三张
2、卡片进行排列，则该幼童能将这句话排列正确的概率是()A B C DA幼童把这三张卡片进行随机排列，基本事件总数n3，该幼童能将这句话排列正确的概率P故选A3(2021湖南雅礼中学高三月考)“总把新桃换旧符”(王安石)、“灯前小草写桃符”(陆游)，春节是中华民族的传统节日，在宋代人们用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现代人们通过贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿某商家在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满50元，则可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，若有3名顾客都领取一件礼品，则他们三人领取的礼品种类都不相同的概率是()A B C DA根据题意，3名顾客
3、都领取一件礼品，基本事件总数共有：33327种，他们三人领取的礼品种类都不相同的基本事件有A6种，故根据古典概型公式得他们三人领取的礼品种类都不相同的概率是P4金字塔(如图1)作为古埃及劳动人民的智慧结晶，是历史留给当下的宝贵遗产，著名的胡夫金字塔的俯视图如图2所示，该金字塔高146.5米，底面正方形边长230米若小明在距离金字塔底面中心230米的圆周上任取一点(圆周上所有点被选取的概率相等)，从该点处观察金字塔，则小明可以同时看到金字塔两个侧面的概率为()图1 图2A B C DA如图所示，中间正方形的边长为230米，可得ABCD230米，其中在处的任意一点，只能看到金字塔的一个侧面，又由圆
4、的半径为230米，其中OAOB230米，所以ABO为等边三角形，即AOB60，其中有四个这样的区域，只能看到金字塔的一个侧面，所以只能看到一个侧面的概率为，所以小明可以同时看到金字塔两个侧面的概率为5七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它由五块等腰直角三角形板、一块正方形板和一块平行四边形板组成如图，是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为()A B C DD设图中最小正方形的边长为a，则此点取自阴影部分的概率P故选D二、填空题6(2019江苏高考)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学
5、的概率是 从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，基本事件总数n10，选出的2名同学中没有女同学包含的基本事件个数：m3，选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是p117有一个底面半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为 由题意得该圆柱的体积V1222圆柱内满足点P到点O的距离小于等于1的几何体为以圆柱底面圆心为球心的半球，且此半球的体积V1 13，所以所求概率P8角谷猜想，是由日本数学家角谷静夫发现的，是指对于每一个正整数，若它是奇数，则对它乘3再加1；若它是偶数，则对它除以2，如此循环最终都能够得到1例：取
6、n6，根据上述过程，得出6,3,10,5,16,8,4,2,1，共9个数若n13，根据上述过程得出的整数中，随机选取两个不同的数，则这两个数都是奇数的概率为 若n13，根据题中所述过程得出的整数分别为13,40,20,10,5,16,8,4,2,1，共10个数，其中奇数共有3个，所以随机选取两个不同的数，则这两个数都是奇数的概率为三、解答题9已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？(2)设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随
7、机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率解(1)由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为322，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人(2)从抽取的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为A，B，A，C，A，D，A，E，A，F，A，G，B，C，B，D，B，E，B，F，B，G，C，D，C，E，C，F，C，G，D，E，D，F，D，G，E，F，E，G，F，G，共21种由，不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是
8、D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为A，B，A，C，B，C，D，E，F，G，共5种所以，事件M发生的概率P(M)10某学校为担任班主任的教师办理手机语音月卡套餐，为了解通话时长，采用随机抽样的方法，得到该校100位班主任每人的月平均通话时长T(单位：分钟)的数据，其频率分布直方图如图所示，将频率视为概率(1)求图中m的值；(2)估计该校担任班主任的教师月平均通话时长的中位数；(3)在450,500)，500,550这两组中采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求抽取的2人恰在同一组的概率解(1)依题意，根据频率分布直方
9、图的性质，可得：50(m0.004 00.005 00.006 60.001 60.000 8)1，解得m0.002 0(2)设该校担任班主任的教师月平均通话时长的中位数为t因为前2组的频率之和为(0.002 00.004 0)500.30.5，所以350t400，由0.30.0050(t350)0.5，得t390所以该校担任班主任的教师月平均通话时长的中位数为390分钟(3)由题意，可得在450,500)内抽取64人，分别记为a，b，c，d，在500,550内抽取2人，记为e，f，则6人中抽取2人的取法有：a，b，a，c，a，d，a，e，a，f，b，c，b，d，b，e，b，f，c，d，c，e
10、，c，f，d，e，d，f，e，f，共15种等可能的取法其中抽取的2人恰在同一组的有a，b，a，c，a，d，b，c，b，d，c，d，e，f，共7种取法，所以从这6人中随机抽取的2人恰在同一组的概率P1在区间0，上随机地取一个数x，则事件“sin x”发生的概率为()A B C DD在0，上，当x时，sin x，故概率为2(2021奉新县第一中学高三三模)2021年是中国共产党成立100周年，3月24日，中宣部发布中国共产党成立100周年庆祝活动标识(图1)，标识由党徽、数字“100”“1921”“2021”和56根光芒线组成，生动展现中国共产党团结带领中国人民不忘初心、牢记使命、艰苦奋斗的百年光
11、辉历程其中“100”的两个“0”设计为两个半径为R的相交大圆，分别内含一个半径为1的同心小圆，且同心小圆均与另一个大圆外切(图2)已知R1，在两大圆的区域内随机取一点，则该点取自两大圆公共部分的概率为()图1 图2A BC DB如图，A，B是两圆心，C，D是两圆交点，四边形ACBD边长均为1，又AB2，所以AC2BC2AB2，所以ACB90，四边形ACBD是正方形，R1，弓形面积为SR2R2，两个弓形面积为2SR2R2，两圆涉及部分面积为S2R2R2R2，所以所求概率为P3甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加“论语知识大赛”，决出第1名到第5名的名次甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说“虽然你的
12、成绩比乙好，但是你俩都没得到第一名”；对乙说“你当然不会是最差的”从上述回答分析，丙是第一名的概率是 因为甲和乙都不可能是第一名，所以第一名只可能是丙、丁或戊，又考虑到所有的限制条件对丙、丁、戊都没有影响，所以这三个人获得第一名是等概率事件，所以丙是第一名的概率是4已知向量a(2,1)，b(x，y)(1)若x，y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足ab1的概率；(2)若x，y在连续区间1,6上取值，求满足ab0的概率解(1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6636，由ab1，得
13、2xy1，所以满足ab1的基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3个故满足ab1的概率为(2)若x，y在连续区间1,6上取值，则全部基本事件的结果为(x，y)|1x6,1y6满足ab0的基本事件的结果为A(x，y)|1x6,1y6且2xy0画出图象如图所示，矩形的面积为S矩形25，阴影部分的面积为S阴影252421，故满足ab0的概率为1某展会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车，等可能的随机顺序前往酒店接嘉宾某嘉宾突发奇想，设计了两种乘车方案方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为P1，P2，则下列说法错误的是()AP1P2 BP1P2CP1P2 DP1P2B三辆车的出车顺序可能为123,132,213,231,312,321，共6种方案一坐到“3号”车可能为132,213,231，共3种，所以P1；方案二坐到“3号”车可能为312,321，共2种，所以P2所以P1P2，P1P2，P1P2，故选B2某人有4把钥匙，其中2把能打开门现随机地取1把钥匙试着开门，不能开门的就扔掉，问第二次才能打开门的概率是 如果试过的钥匙不扔掉，这个概率又是 第二次打开门，说明第一次没有打开门，故第二次打开的概率为；如果试过的钥匙不扔掉，这个概率为