1、利用导数解决函数的极值、最值一、选择题1已知函数f(x)x2x1，则f(x)的极大值为()A0 BCe D1D因为f(x)x1，所以f(x)在(，0)，(1，)上单调递增，在0,1上单调递减，所以f(x)的极大值为f(0)12下列四个函数中，在x0处取得极值的函数是()yx3；yx21；yx33x2；y2xA B C DD对于，y3x20，故不是；对于，y2x，当x0时，y0，当x0时，y0，当x0时，y0，故是；对于，y3x26x3x(x2)，当x0时，y0，当0x2时，y0，当x0时，y0，故是；对于，由y2x的图象知，不是故选D3如图是函数yf(x)的导函数yf(x)的图象，给出下列命题
2、：3是函数yf(x)的极小值点；1是函数yf(x)的极小值点；yf(x)在x0处的切线的斜率小于零；yf(x)在区间(3,1)上单调递增则正确命题的序号是()A B C DA由图可知x3时，f(x)0，x(3,1)时f(x)0，3是f(x)的极小值点，正确；又x(3,1)时f(x)0，f(x)在区间(3,1)上单调递增，故不正确，正确函数yf(x)在x0处的导数大于0，yf(x)在x0处的切线的斜率大于0不正确故选A4已知f(x)，下列说法正确的是()Af(x)在x1处的切线方程为yx1B单调递增区间为(，e)Cf(x)的极大值为Df(x)的极小值点为xeCf(x)，所以f(1)1，f(1)0
3、，f(x)的图象在点(1,0)处的切线方程为y0f(1)(x1)，即y1(x1)x1，故选项A不正确；在(0，e)上，f(x)0，f(x)单调递增，在(e，)上，f(x)0，f(x)单调递减，故选项B错误；f(x)的极大值也是最大值为f(e)，故选项C正确；因为在(0，e)上，f(x)单调递增，在(e，)上，f(x)单调递减，所以函数没有极小值点，故选项D错误5已知f(x)是函数f(x)在R上的导函数，且函数f(x)在x2处取得极小值，则函数yxf(x)的图象可能是()ABCDA函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数f(x)在x2处取得极小值，当x2时，f(x)2时，f(x)0所以
4、，当x0；当x2时，xf(x)0；当2x0时，xf(x)0时，xf(x)0故选A6函数f(x)a(xln x)在(0,1)内有极值，则实数a的取值范围是()A(，e) B(0，e)C(e，) De，)C由f(x)a(xln x)得，f(x)exa，因函数f(x)a(xln x)在(0,1)内有极值，则x(0,1)时，f(x)0a有解，即在x(0,1)时，函数g(x)与直线ya有公共点，而g(x)g(1)e，则ae，显然在a零点左右两侧f(x)异号，所以实数a的取值范围是(e，)二、填空题7设aR，若函数yexax有大于零的极值点，则实数a的取值范围是_(，1)yexax，yexa函数yexax
5、有大于零的极值点，则方程yexa0有大于零的解，x0时，ex1，aex18已知函数f(x)ln xax存在最大值0，则a_f(x)a，x0当a0时，f(x)a0恒成立，函数f(x)单调递增，不存在最大值；当a0时，令f(x)a0，解得x当0x时，f(x)0，函数f(x)单调递增；当x时，f(x)0，函数f(x)单调递减f(x)maxfln 10，解得a9做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27，且用料最省，则圆柱的底面半径为_3设圆柱的底面半径为R，母线长为l，则VR2l27，l，要使用料最省，只需使圆柱的侧面积与下底面面积之和S最小由题意，SR22RlR22S2R，令S0，得R3，根据单调
6、性得当R3时，S最小三、解答题10已知函数f(x)axln x，其中a为常数(1)当a1时，求f(x)的最大值；(2)若f(x)在区间(0，e上的最大值为3，求a的值解(1)易知f(x)的定义域为(0，)，当a1时，f(x)xln x，f(x)1，令f(x)0，得x1当0x1时，f(x)0；当x1时，f(x)0f(x)在(0,1)上是增函数，在(1，)上是减函数f(x)maxf(1)1当a1时，函数f(x)在(0，)上的最大值为1(2)f(x)a，x(0，e，若a，则f(x)0，从而f(x)在(0，e上是增函数，f(x)maxf(e)ae10，不合题意若a，令f(x)0得a0，结合x(0，e，
7、解得0x；令f(x)0得a0，结合x(0，e，解得xe从而f(x)在上为增函数，在上为减函数，f(x)maxf1ln令1ln3，得ln2，即ae2e2，ae2为所求故实数a的值为e211在某次水下科研考察活动中，需要潜水员潜入水深为60米的水底进行作业，根据以往经验，潜水员下潜的平均速度为v(米/单位时间)，每单位时间的用氧量为1(升)，在水底作业10个单位时间，每单位时间用氧量为0.9(升)，返回水面的平均速度为(米/单位时间)，每单位时间用氧量为1.5(升)，记该潜水员在此次考察活动中的总用氧量为y(升)(1)求y关于v的函数关系式；(2)若cv15(c0)，求当下潜速度v取什么值时，总用
8、氧量最少解(1)由题意，下潜用时(单位时间)，用氧量为(升)，水底作业时的用氧量为100.99(升)，返回水面用时(单位时间)，用氧量为1.5(升)，因此总用氧量y9(v0)(2)y，令y0得v10，当0v10时，y0，函数单调递减；当v10时，y0，函数单调递增若c10，函数在(c,10)上单调递减，在(10，15)上单调递增，当v10时，总用氧量最少若c10，则y在c,15上单调递增，当vc时，这时总用氧量最少1函数f(x)x33x1，若对于区间3,2上的任意x1，x2，都有|f(x1)f(x2)|t，则实数t的最小值是()A20 B18 C3 D0A原命题等价于对于区间3,2上的任意x，
9、都有f(x)maxf(x)mint，f(x)3x23，当x3，1时，f(x)0，当x1,1时，f(x)0，当x1,2时，f(x)0f(x)maxf(2)f(1)1，f(x)minf(3)19f(x)maxf(x)min20，t20即t的最小值为20故选A2若x2是函数f(x)(x2ax1)ex1的极值点，则f(x)的极小值为()A1 B2e3 C5e3 D1Af(x)(2xa)ex1(x2ax1)ex1x2(a2)xa1ex1x2是f(x)的极值点，f(2)0，即(42a4a1)e30，得a1f(x)(x2x1)ex1，f(x)(x2x2)ex1由f(x)0，得x2或x1；由f(x)0，得2x
10、1f(x)在(，2)上单调递增，在(2,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，f(x)的极小值点为1，f(x)的极小值为f(1)13已知函数f(x)aln x(a0)(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)是否存在实数a，使得函数f(x)在1，e上的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由解由题意，知函数的定义域为x|x0，f(x)(a0)(1)由f(x)0解得x，所以函数f(x)的单调递增区间是；由f(x)0解得x，所以函数f(x)的单调递减区间是所以当x时，函数f(x)有极小值faln aaaln a，无极大值(2)不存在理由如下：由(1)可知，当x时，函数f(x)单调递减
11、；当x时，函数f(x)单调递增若01，即a1时，函数f(x)在1，e上为增函数，故函数f(x)的最小值为f(1)aln 111，显然10，故不满足条件若1e，即a1时，函数f(x)在上为减函数，在上为增函数，故函数f(x)的最小值为f(x)的极小值faln aaaln aa(1ln a)0，即ln a1，解得ae，而a1，故不满足条件若e，即0a时，函数f(x)在1，e上为减函数，故函数f(x)的最小值为f(e)a0，解得a，而0a，故不满足条件综上所述，这样的a不存在1(2021安徽安庆高三二模)若函数f(x)x33ax212x1(a0)存在两个极值点x1，x2，则f(x1)f(x2)的取值
12、范围是()A(，18) B(，18C(，16 D(，16)A函数f(x)x33ax212x1(a0)，f(x)3x26ax123(x22ax4)，由函数f(x)存在两个极值点x1，x2，f(x)0有两个不等实数根，4a2160，a0，解得a2且x1x22a，x1x24xx(x1x2)22x1x24a28，则f(x1)f(x2)x3ax12x11x3ax12x21(x1x2)(xx1x2x)3a(xx)12(x1x2)22a(4a284)3a(4a28)24a24a324a2，令g(a)4a324a2，a(2，)g(a)12a2240，g(a)在a(2，)上单调递减g(a)g(2)4824221
13、8f(x1)f(x2)的取值范围是(，18)2(2021新高考卷)函数f(x)|2x1|2ln x的最小值为_1函数f(x)|2x1|2ln x的定义域为(0，)当x时，f(x)2x12ln x，所以f(x)2，当x1时，f(x)0，当x1时，f(x)0，所以f(x)minf(1)212ln 11；当0x时，f(x)12x2ln x在单调递减，所以f(x)minf2ln 2ln 2ln 4ln e1综上，f(x)min13(2019全国卷)已知函数f(x)2x3ax2b(1)讨论f(x)的单调性；(2)是否存在a，b，使得f(x)在区间0,1的最小值为1且最大值为1？若存在，求出a，b的所有值
14、；若不存在，说明理由解(1)f(x)6x22ax2x(3xa)令f(x)0，得x0或x若a0，则当x(，0)时，f(x)0；当x时，f(x)0故f(x)在(，0)，单调递增，在单调递减若a0，f(x)在(，)单调递增若a0，则当x(0，)时，f(x)0；当x时，f(x)0故f(x)在，(0，)单调递增，在单调递减(2)满足题设条件的a，b存在当a0时，由(1)知，f(x)在0,1单调递增，所以f(x)在区间0,1的最小值为f(0)b，最大值为f(1)2ab此时a，b满足题设条件当且仅当b1，2ab1，即a0，b1当a3时，由(1)知，f(x)在0,1单调递减，所以f(x)在区间0,1的最大值为f(0)b，最小值为f(1)2ab此时a，b满足题设条件当且仅当2ab1，b1，即a4，b1当0a3时，由(1)知，f(x)在0,1的最小值为fb，最大值为b或2ab若b1，b1，则a3，与0a3矛盾若b1,2ab1，则a3或a3或a0，与0a3矛盾综上，当且仅当a0，b1或a4，b1时，f(x)在0,1的最小值为1，最大值为1