1、河北省实验中学2021届高三数学上学期期中试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，其中1-8题为单选题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；9-12题为多选题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分1集合, ，则=( )ABCD2设，则在复平面内对应的点位于( )A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3已知学校宿舍与办公室相距m，某同学有重要材料要送给老师，从宿舍出发，先匀速跑步3分钟来到办公室，停留2分钟，然后匀速步行10分钟返回宿舍，在这个过程中，这位同学行走的路程是时间的函数，则这个函数图像是( )
2、4直线与曲线有且仅有一个公共点，则的取值范围是( )AB或CD以上都不对5阿基米德(Archimedes，公元前287年公元前212年)是古希腊伟大的数学家、物理学家和天文学家他推导出的结论“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”是其毕生最满意的数学发现，后人按照他生前的要求，在他的墓碑上刻了一个内部放有一个球的圆柱容器，如图，该球顶天立地，四周碰边，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，若球的体积为，则圆柱的表面积为( )ABCD6已知双曲线的左、右焦点分别为，点P是C的右支上一点，连接与y轴交于点M，若（O为坐标原点），,则双曲线C的渐近线方程为( )
3、ABCD7中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式： 它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从1000提升至4000，则大约增加了( ) 附：A10% B20% C50% D100%8设椭圆的一个焦点，点为椭圆内一点，若椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围是( )ABCD9下列说法正确的有( )A若，则B若，则C若，则D若，则10已知函数，则下列结论正确的是( )A的最小正周期为B的图象
4、关于点成中心对称C的图象关于直线对称D的单调递增区间是11若为数列的前项和，且，则下列说法正确的是( )ABC数列是等比数列 D数列是等比数列12已知三棱锥中，底面为边长为2的等边三角形，在底面上的投影为的中点，则( )AB的最大值为CD若，则三棱锥的外接球的表面积为二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13若满足约束条件，则的最小值为 .14向量满足，且，则向量的夹角为 15如图，在平面四边形中，,，则四边形的面积为_16已知函数，则满足的实数的取值范围为 . 三、解答题：本题共6小题，17题10分，18-22题每题12分，共60分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17在中，且，
5、再从条件、条件这两个条件中选择一个作为己知，条件：,；条件：求：(1)求的值；(2)求注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分18数列中，, (1)求证为等差数列，并求数列的通项公式；(2)求满足的的最大值19如图四棱锥中，底面为菱形，且,(1)求证：;(2)若，求二面角的余弦值20过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点，为其左焦点，已知的周长为8，椭圆的离心率为(1)求椭圆的方程；(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点且？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由21已知函数有两个极值点(1)求的取值范围；(2)求证：且22已知左、右焦点分别为的椭圆与直线相
6、交于两点，使得四边形为面积等于的矩形(1)求椭圆的方程；(2)过椭圆上一动点（不在轴上）作圆的两条切线切点分别为，直线与椭圆交于两点，为坐标原点，求的面积的取值范围.数学参考答案一、选择题：1、C；2、A；3、A；4、B；5、C；6、C；7、B；8、A；9、BC；10、AC；11、CD；12、CD；二、填空题：13、1；14、；15、；16、.三、解答题：17【解析】选择条件(I), ，1分, ，2分，4分又，且，解得： 6分(II),，8分. 10分选择条件(I)，2分将, ，带入化简可得：，4分又，且，解得：. 6分(II), ，8分. 10分18【详解】 (1), ， 2分又数列是以3为
7、首项，2为公差的等差数列， 4分, ; 6分(2)由(1)知， 8分， 10分, , , , , 的最大值为9 12分19解：(I)证明：取的中点，连接，四边形为菱形，且,和为两个全等的等边三角形，2分则, , 平面，4分又平面, ； 5分(II)解：在中，由已知得，,，则,，即，又, 平面;以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，则,则, ，6分由题意可设平面的一个法向量为；8分设平面的一个法向量为,由 得：令，则, , ；10分则, ，11分由题意知二面角的平面角为钝角，所以，二面角的余弦值为 12分20试题解析：(1)由已知得，解得 （2分），故椭圆的方程为 （4分）22试题解析：(1)四边形为面积等于的矩形，故， 2分椭圆方程化为，且点点A在椭圆上，,整理得，解得。 4分椭圆的方程为； 5分(2)设，则以线段为直径的圆的方程为，又圆的方程为，两式相减得直线的方程为 6分由消去y整理得直线与椭圆交于两点，设，则 7分又原点到直线CD的距离为， 9分设，从而 10分函数在上单调递增，所以取值范围为 12分
