1、【名师面对面】2014届数学一轮知识点讲座：考点48离散型随机变量及其概率的分布（解析版）加（*）号的知识点为了解内容，供学有余力的学生学习使用一.考纲目标随机变量分布列的意义，两点分布、二项分布、条件概率、独立重复试验等概念的理解及有关公式的运用二.知识梳理1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母、等表示2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量若是随机变量，=a+b，其中a、b是常数，则也是随机变量.3连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这
2、样的变量就叫做连续型随机变量4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出5.离散型随机变量的分布列: x1x2xiPP1P2Pi6.离散型随机变量分布列的两个性质： )；P1+P2+=1.7如果随机变量X的分布列为X10Ppq其中0p1，q1p，则称离散型随机变量X服从参数为p的两点分布8.超几何分布列在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件Xk发生的概率为：P(Xk) (k0,1,2，m)，其中mminM，n，且nN，MN
3、，n、M、NN*，则称分布列X01mP为超几何分布列9.条件概率及其性质(1)对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号 P(B|A)来表示，其公式为P(B|A)在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的个数，则P(B|A).(2)条件概率具有的性质：0P(B|A)1如果B和C是两互斥事件，则P(BC|A)P(B|A)P (C|A)10相互独立事件(1)对于事件A，B，若A的发生与B的发生互不影响，则称 A、B是相互独立事件(2)若A与B相互独立，则P(B|A) P(B)，P(AB) P(B|A)P(A)P(A)P(B)(3)若A与B相互独立，
4、则 A与，与B，与也都相互独立(4)若P(AB)P(A)P(B)，则 A与B相互独立11二项分布(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的(2)在n次独立重复试验中，事件A发生k次的概率为 Cpk(1p)nk(k0,1,2，n)(p为事件A发生的概率)，事件A发生的次数是一个随机变量X，其分布列为二项分布，记为 XB(n，p)三考点逐个突破1.离散型随机变量分布列的性质例1设离散型随机变量X的分布列为X01234P0.20.10.10.3m求：(1)2X1的分布列；
5、(2)|X1|的分布列解由分布列的性质知：020.10.10.3m1，m0.3.首先列表为：X012342X113579|X1|10123(1)2X1的分布列：2X113579P0.20.10.10.30.3(2)|X1|的分布列：|X1|0123P0.10.30.30.32. 离散型随机变量的分布列例2袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X表示取出的3个小球上的最大数字，求：(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率；(2)随机变量X的分布列；(3)一次取球所得计分介于20分到40分之间的概率解(
6、1)解法一“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，则P(A).解法二“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，“一次取出的3个小球上有两个数字相同”的事件记为B，则事件A和事件B是对立事件因为P(B)，所以P(A)1P(B)1.(2)由题意，X所有可能的取值为2,3,4,5.P(X2)；P(X3)；P(X4)；P(X5).所以随机变量X的概率分布列为：X2345P(3)“一次取球所得计分介于20分到40分之间”记为事件C，则P(C)P(X3或X4)P(X3)P(X4).3. 超几何分布例3一袋中装有10个大小相同的黑球和白球已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率
7、是.(1)求白球的个数；(2)从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，求随机变量X的数学期望E(X)解(1)记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为事件A，设袋中白球的个数为x，则P(A)1，得到x5.(2)X服从超几何分布，其中N10，M5，n3，其中P (Xk)，k0,1,2,3.于是可得其分布列为X0123PX的数学期望E(X)01234. 条件概率例4.抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”(1)求P(A)，P(B)，P(AB)；(2)当已知蓝色骰子的点数为3或6时，求两颗骰子的点数之和大于8的概率解(1)P(A).两个
8、骰子的点数共有36个等可能的结果，点数之和大于8的结果共10个P(B).当蓝色骰子的点数为3或6时，两颗骰子的点数之和大于8的结果有5个，故P(AB).(2)由(1)知P(B|A).5. 相互独立事件的概率例5.某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为、，且各轮问题能否正确回答互不影响(1)求该选手进入第四轮才被淘汰的概率；(2)求该选手至多进入第三轮考核的概率解(1)记“该选手能正确回答第i轮的问题”的事件为Ai(i1,2,3,4)，则P(A1)，P(A2)，P(A3)，P(A4)，该选手进入
9、第四轮才被淘汰的概率P4P(A1A2A3)P(A1)P(A2)P(A3)P().(2)该选手至多进入第三轮考核的概率P3P(A1A1A2)P()P(A1)P()P(A1)P(A2)P()6.独立重复试验与二项分布例6.为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类这三类工程所含项目的个数分别占总数的、，现在3名工人独立地从中任选一个项目参与建设(1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；(2)记为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求的分布列思路点拨(1)选择的项目所属类别互不相同的情况共有A种，每种之间是互斥的(2)寻找与选择民生
10、工程项目的人数的关系，根据服从二项分布，可求的分布列解记第i名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件Ai，Bi，Ci，i1,2,3.由题意知A1，A2，A3相互独立，B1，B2，B3相互独立，C1，C2，C3相互独立，Ai，Bj，Ck(i，j，k1,2,3且i，j，k互不相同)相互独立，且P(Ai)，P(Bj)，P(Ck).(1)他们选择的项目所属类别互不相同的概率P3！P (A1B2C3)6P(A1)P(B2)P(C3)6.(2)解法一设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为，由已知，B(3，)，且3，所以P(0)P(3)C()3，P(1)P(2)C()2()，P(2)P(1)C()()2，P(3)P(0)C()3.故的分布列是0123P解法二记第i名工人选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程分别为事件Di，i1,2,3.由已知：D1，D2，D3相互独立，且P(Di)P(AiCi)P(Ai)P(Ci)，所以B(3，)，即P(k)C()k()3k，k0,1,2,3.故的分布列是0123P