1、函数的单调性与最值一、选择题1(2021全国甲卷)下列函数中是增函数的为()Af(x)x Bf(x)Cf(x)x2 Df(x)D法一：(排除法)取x11，x20，对于A项有f(x1)1，f(x2)0，所以A项不符合题意；对于B项有f(x1)，f(x2)1，所以B项不符合题意；对于C项有f(x1)1，f(x2)0，所以C项不符合题意故选D法二：(图象法)如图，在坐标系中分别画出A，B，C，D四个选项中函数的大致图象，即可快速直观判断D项符合题意故选D2函数y的单调递减区间为()A BC0，) D(，3D由题意，x23x0，可得x3或x0，函数y的定义域为(，30，)，令tx23x，则外层函数y在
2、0，)上单调递增，内层函数tx23x在(，3上单调递减，在0，)上单调递增，所以，函数y的单调递减区间为(，33(2021北京昌平高三模拟)下列函数中，在区间(0，)上不是单调函数的是()Ayx Byx2Cyx DyD由一次函数的性质可知，yx在区间(0，)上单调递增； 由二次函数的性质可知，yx2在区间(0，)上单调递增； 由幂函数的性质可知，yx在区间(0，)上单调递增； 结合一次函数的性质可知，y|x1|在(0,1)上单调递减，在(1，) 上单调递增4已知函数f(x)|xa|在(，1)上是单调函数，则a的取值范围是()A(，1 B(，1C1，) D1，)Af(x)由题意知a1，即a1，故
3、选A5已知函数f(x)是定义在区间0，)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x1)f的x的取值范围是()A BC DD因为函数f(x)是定义在区间0，)上的增函数，满足f(2x1)f所以02x1，解得x6函数y，x(m，n的最小值为0，则m的取值范围是()A(1,2) B(1,2) C1,2) D1,2)D函数y1，当x(1，)时，函数是减函数，又当x2时，y0，1m2，故选D二、填空题7已知函数f(x)ln xx，若f(a2a)f(a3)，则正实数a的取值范围是_(3，)因为f(x)ln xx在(0，)上是增函数，所以解得3a1或a3又a0，所以a38能说明“若f(x)f(0)对任意
4、的x(0,3都成立，则f(x)在0,3上不一定是增函数”为真命题的一个函数是_f(x)sin x(答案不唯一)例如f(x)sin x，尽管f(x)f(0)对任意的x(0,3都成立，但f(x)在上为增函数，在上为减函数，故答案可以为f(x)sin x9如果函数f(x)ax22x3在区间(，4)上单调递增，则实数a的取值范围是_当a0时，f(x)2x3在定义域R上是单调递增的，故在(，4)上单调递增；当a0时，二次函数f(x)的对称轴为x，因为f(x)在(，4)上单调递增，所以a0，且4，解得a0且方程ax2bx10中b24a(a1)24a(a1)20，a1从而f(x)x22x1F(x)(2)由(
5、1)可知f(x)x22x1，g(x)f(x)kxx2(2k)x1，由g(x)在2,2上是单调函数，知2或2，得k2或k6即实数k的取值范围为(，26，)1已知函数f(x)logax(a0且a1)满足f(a1)f(a2)，则f(2x3)0的解集是()A(，2) B C D(2，)C因为函数f(x)logax(a0且a1)满足f(a1)f(a2)，所以0a1，则函数f(x)logax(0a1)是减函数，所以f(2x3)0可化为02x31，求解可得x2，故选C2已知函数f(x)，则不等式f(3a1)f2(a2)的解集为()A1，)BCDA因为a20，所以f2(a2)(e)2ef(2a2)，所以f(3
6、a1)f2(a2)，即f(3a1)f(2a2)，易知函数f(x)在R上单调递减，所以3a12a2，即2a23a10，解得a1或a故选A3已知f(x)，x1，)(1)当a时，用定义证明函数的单调性并求函数f(x)的最小值；(2)若对任意x1，)，f(x)0恒成立，试求实数a的取值范围解(1)当a时，f(x)x2，任取1x1x2，则f(x1)f(x2)(x1x2)因为1x1x2，所以x1x21，所以2x1x210又x1x20，所以f(x1)f(x2)，所以f(x)在1，)上是增函数，所以f(x)在1，)上的最小值为f(1)(2)因为在区间1，)上，f(x)0恒成立，则等价于a大于函数(x)(x22
7、x)在1，)上的最大值因为(x)(x1)21在1，)上单调递减，所以当x1时，(x)取最大值为(1)3，所以a3，故实数a的取值范围是(3，)1如果函数yf(x)在区间I上是增函数，且函数y在区间I上是减函数，那么称函数yf(x)是区间I上的“缓增函数”，区间I叫作“缓增区间”若函数f(x)x2x是区间I上的“缓增函数”，则“缓增区间”I为()A1，) B0， C0,1 D1，D因为函数f(x)x2x的图象的对称轴为直线x1，所以函数yf(x)在区间1，)上是增函数又当x1时，1，令g(x)1(x1)，则g(x)，由g(x)0得1x，即函数1在区间1，上单调递减故“缓增区间”I为1，2已知定义
8、在R上的函数f(x)满足f(xy)f(x)f(y)1；当x0时，f(x)1(1)求f(0)的值，并证明f(x)在R上是单调递增函数(2)若f(1)1，解关于x的不等式f(x22x)f(1x)4解(1)令xy0，得f(0)1在R上任取x1x2，则x1x20，f(x1x2)1又f(x1)f(x1x2)x2f(x1x2)f(x2)1f(x2)，所以函数f(x)在R上是单调递增函数(2)由f(1)1，得f(2)3，f(3)5由f(x22x)f(1x)4，得f(x22x)f(1x)15，即f(x2x1)f(3)，又函数f(x)在R上是增函数，故x2x13，解得x2或x1，故原不等式的解集为x|x2或x1