1、江苏省常州市武进区2014-2015学年高二下学期期末数学试卷（文科）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位置上）1（5分）已知集合A=1，2，B=1，1，4，则AB=2（5分）命题“xR，x2+x+10”的否定是3（5分）已知复数Z=3+ai，若|Z|=5，则实数a=4（5分）已知关于变量x的函数f（x）=ln（x2x+m），其定义域为A，若2A，则实数m的取值范围是5（5分）将函数y=2sin（x）图象上所有的点沿x轴向左平移个单位，则平移后的图象对应的函数是6（5分）已知集合A=x|x2x20，B=x|xa|1，若“xB”是“xA”的充分不必要条
2、件，则实数a的取值范围是7（5分）已知a0，b0且a+b=1，则（a+2）2+（b+2）2的最小值是8（5分）若函数f（x）=|x+a|+b（xR）有两个零点分别为x1=0，x2=4，则a+b的值为9（5分）已知函数f（x）=sinx+cosx图象的一条对称轴方程为x=，则此函数的最大值为10（5分）在ABC中，锐角B所对的边长b=3，ABC的面积为6，外接圆半径R=，则ABC的周长为11（5分）若函数f（x）=2x+sinx，则满足不等式f（2m2m+1）2的m的取值范围为12（5分）在ABC中，=+m，向量的终点M在ABC的内部（不含边界），则实数m的取值范围是13（5分）已知函数y=f（
3、x）为R上可导函数，且对xR都有f（x）=x3f（1）8x成立，则函数y=f（x），x1，1的值域为14（5分）若方程x3x2+axa=0恰有唯一解，则实数a的取值范围为二、解答题（本大题共6道题，计90分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15（14分）在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且sinA，sinB，sinC成等差数列，（1）若c=2a，证明ABC为钝角三角形；（2）若acosBbcosA=c，且ABC的外接圆半径为5，求ABC的面积16（14分）已知命题p：函数f（x）=x2+2mx+2+m2在区间2，+）上是增函数，命题q：函数g（x）=4x2x+1+m2
4、m+3的最小值大于4，命题r：函数h（x）=（m2m2）x2+2mx+1的函数值恒大于0，（1）若“非r”为假命题，求实数m的取值范围；（2）若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数m的取值范围17（14分）已知=（sinx，1），=（1，cosx）（其中xR，0），f（x）=，且函数f（x）图象的某个最高点到其相邻的最低点之间的距离为5，（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）若f（）=（其中（，），则求f（+1）的取值18（16分）在AOB中，OA=OB=2，（1）如图：若AOOB，点P为AOB所在平面上的一个动点，且满足PO=3，求的取值范围；（2）如图：若|+|，求与所成夹角
5、的取值范围19（16分）如图：在边长为6米的等边ABC钢板内，作一个DEF，使得DEF的三边到ABC所对应的三边之间的距离均x（0x）米，过点D分别向AB，AC边作垂线，垂足依次为G，H；过点E分别向AB，BC边作垂线，垂足依次为M，N；过点F分别向BC，AC边作垂线，垂足依次为R，S接着在ABC的三个内角处，分别沿DG，DH、EM，EN、FR，FS进行切割，割去的三个全等的小四边形分别为AGDH、BMEN、CRFS然后把矩形GDEM、NEFR、SFDH分别沿DE、EF、FD向上垂直翻折，并对翻折后的钢板进行无缝焊接（注：切割和无缝焊接过程中的损耗和费用忽略不计），从而构成一个无盖的正三棱柱蓄
6、水池（1）若此无盖的正三棱柱蓄水池的侧面和底面造价均为a（a0）万元/米2，求此无盖的正三棱柱蓄水池总造价的最小值；（2）若此无盖的正三棱柱蓄水池的体积为V米3，求体积V的最大值20（16分）已知函数f（x）=lnx，g（x）=（x1）ex，其中e是自然对数的底数（1）若函数f（x）在点P（m，f（m）处的切线在y轴上的截距为2，求实数m的取值；（2）求函数h（x）=g（x）+g（x）的极值；（3）求函数r（x）=g（x）+e|f（x）a|（a为常数）的单调区间江苏省常州市武进区2014-2015学年高二下学期期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共7
7、0分，请将答案填写在答题卡相应的位置上）1（5分）已知集合A=1，2，B=1，1，4，则AB=1考点：交集及其运算 专题：集合分析：根据A与B，求出两集合的交集即可解答：解：A=1，2，B=1，1，4，AB=1，故答案为：1点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2（5分）命题“xR，x2+x+10”的否定是xR，x2+x+10考点：命题的否定 专题：简易逻辑分析：直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可解答：解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“xR，x2+x+10”的否定是：xR，x2+x+10；故答案为：xR，x2+x+10点评：本题考查命题的否定特称命题
8、与全称命题的关系，基本知识的考查3（5分）已知复数Z=3+ai，若|Z|=5，则实数a=4考点：复数求模 专题：数系的扩充和复数分析：根据复数的模的运算得到关于a的等式解之解答：解：因为Z=3+ai，若|Z|=5，所以32+a2=52，解得a=4；故答案为：4点评：本题考查了复数的模的计算；复数a+bi，a，b是实数，它的模为4（5分）已知关于变量x的函数f（x）=ln（x2x+m），其定义域为A，若2A，则实数m的取值范围是2m2考点：函数的定义域及其求法 专题：分类讨论；函数的性质及应用分析：讨论m的取值，求出f（x）的定义域A，由2A，求出m的取值范围解答：解：关于变量x的函数f（x）=
9、ln（x2x+m），其定义域为A，对于，令=14m=0，解得m=；当m时，0，的解集为R，A=x|xm；又2A，m2；当m时，0，的解集为x|x，或x；A=x|x，2，解得m2，2m；综上，实数m的取值范围是2m2故答案为：2m2点评：本题考查了求函数的定义域的应用问题，也考查了分类讨论思想的应用问题，是综合性题目5（5分）将函数y=2sin（x）图象上所有的点沿x轴向左平移个单位，则平移后的图象对应的函数是y=2sinx考点：函数y=Asin（x+）的图象变换 专题：三角函数的图像与性质分析：祝玲钰三角函数的图象的平移方法，求解即可解答：解：将函数y=2sin（x）图象上所有的点沿x轴向左平
10、移个单位，可得函数y=2sin（x+）=2sinx的图象，平移后的图象对应的函数是：y=2sinx，故答案为：y=2sinx点评：本题考查三角函数的图象的平移，基本知识的考查6（5分）已知集合A=x|x2x20，B=x|xa|1，若“xB”是“xA”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是0，1考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：简易逻辑分析：根据充分条件和必要条件的定义，结合不等式之间的关系即可得到结论解答：解：集合A=x|x2x20=1，2，B=x|xa|1=a1，a+1，若“xB”是“xA”的充分不必要条件，则BA，则，解得0a1，故答案为：0，1点评：本题主要考查充分条件和必
11、要条件的应用，根据不等式的关系是解决本题的关键7（5分）已知a0，b0且a+b=1，则（a+2）2+（b+2）2的最小值是考点：直线和圆的方程的应用 专题：直线与圆分析：利用几何意义，转化求解即可解答：解：a0，b0且a+b=1，则（a+2）2+（b+2）2的最小值就是（2，2）到直线a+b=1的距离的平方，依题意可得：=故答案为：点评：本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，转化思想的应用考查计算能力8（5分）若函数f（x）=|x+a|+b（xR）有两个零点分别为x1=0，x2=4，则a+b的值为3考点：函数的零点与方程根的关系 专题：函数的性质及应用分析：根据方程根与函数零点之间的关系进行求
12、解解答：解：若函数f（x）=|x+a|+b（xR）有两个零点分别为x1=0，x2=4，即0，4是方程|x+a|+b=0的两个根，即|a|+b=0，|4+a|+b=0，即2b=|a|，且2b=|4+a|，即|a|=|4+a|，解得a=2，b=1，则a+b=3，故答案为：3，点评：本题主要考查函数和方程之间的关系，将函数零点转化为方程关系是解决本题的关键9（5分）已知函数f（x）=sinx+cosx图象的一条对称轴方程为x=，则此函数的最大值为考点：三角函数的最值 专题：三角函数的图像与性质分析：由于函数f（x）=sinx+cosx=sin（x+）图象的一条对称轴方程为x=，可得+=，解出即可解答
13、：解：函数f（x）=sinx+cosx=sin（x+）图象的一条对称轴方程为x=，+=，解得=此函数的最大值为=故答案为：点评：本题考查了三角函数的图象与性质、两角和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题10（5分）在ABC中，锐角B所对的边长b=3，ABC的面积为6，外接圆半径R=，则ABC的周长为12考点：正弦定理 专题：解三角形分析：根据正弦定理，由b和外接圆半径R的值即可求出sinB的值，根据三角形的面积公式得到a与c的关系式，根据大边对大角判断B是锐角，利用同角三角函数间的基本关系求出cosB的值，利用余弦定理表示出cosB，也得到关于a与c的关系式，利用完全平方公式化简后即可
14、求出a+c的值，进而求出三角形ABC的周长解答：解：由正弦定理得，sinB=又ABC的面积为6，S=acsinB=6ac=20b2a，c有一个比b大，即B是锐角，cosB=，由余弦定理得，cosB=，a2+c2=41，（a+c）2=81，a+c=9，ABC的周长为a+b+c=9+3=12故答案为：12点评：本题考查正弦定理和余弦定理的应用，三角形面积公式和大边对大角的应用，属于难题11（5分）若函数f（x）=2x+sinx，则满足不等式f（2m2m+1）2的m的取值范围为考点：利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质 专题：函数的性质及应用分析：f（x）=2xsinx=f（x），所以f（x）
15、为奇函数，f（x）=2+cosx0，所以f（x）在定义域R为减函数，根据函数的单调性将函数转化为不等式求解解答：解：f（x）=2xsinx=f（x），所以f（x）为奇函数，f（x）=2+cosx0，所以f（x）在定义域R为减函数又f（）=2+sin=2，所以f（2m2m+1）2可转化为f（2m2m+1）f（）根据函数的单调性可知，2m2m+1即2m2m+10解得故答案为：点评：本题主要考查函数的单调性和奇偶性的性质应用，属于中档题型12（5分）在ABC中，=+m，向量的终点M在ABC的内部（不含边界），则实数m的取值范围是0m考点：平面向量的基本定理及其意义 专题：平面向量及应用分析：如图所示
16、，设，过点D作DEAC交BC于点E由=+m，可知点M在线段DE上（不含点D，E），借助于点D，E即可得出解答：解：如图所示，设，过点D作DEAC交BC于点E=+m，可知点M在线段DE上（不含点D，E）当点M取点D时，可得m=0，而M在ABC的内部（不含边界），因此m0当点M取点E时，此时可得m=，而M在ABC的内部（不含边界），因此m故答案为：点评：本题考查了向量的平行四边形法则、共面向量的基本定理，考查了推理能力和计算能力，属于中档题13（5分）已知函数y=f（x）为R上可导函数，且对xR都有f（x）=x3f（1）8x成立，则函数y=f（x），x1，1的值域为6，6考点：导数的运算 专题：导
17、数的概念及应用分析：设t=2x则x=t，代入f（2x）=x3f（1）10x化简，把t换成x求出f（x）的解析式，由求导公式求出f（x），令x=1代入列出方程求出f（1），代入f（x）并判断符号，从而得到函数f（x）在1，1上的单调性，求出函数的最值，即可求出函数的值域解答：解：设t=2x，则x=t，代入f（2x）=x3f（1）10x得，y=t3f（1）5t，则f（x）=t3f（1）5x，所以f（x）=x2f（1）5，令x=1代入上式可得，f（1）=f（1）5，解得f（1）=8，所以f（x）=x35x，则f（x）=3x250，则函数f（x）在1，1上是减函数，当x=1时，函数f（x）取到最大值f
18、（1）=6，当x=1时，函数f（x）取到最小值f（1）=6，所以所求的函数值域是6，6点评：本题考查求导公式，导数与函数的单调性的关系，以及换元法求函数的解析式，属于中档题14（5分）若方程x3x2+axa=0恰有唯一解，则实数a的取值范围为（0，+）考点：利用导数研究函数的极值 专题：导数的综合应用分析：由题意设f（x）=x3x2+axa并求出f（x），求出的式子并根据的符号进行分类讨论，由导数的符号判断出函数的单调性，求出函数的极值，列出f（x）存在唯一的零点的等价条件，求出a的范围即可解答：解：由题意设f（x）=x3x2+axa，f（x）=x22x+a，=44a=4（1a），当a1时，0
19、，f（x）0，f（x）在R上是增函数，且f（0）=a0，f（x）存在唯一的零点，则方程x3x2+axa=0恰有唯一解；当a1时，0，由x22x+a=0得，、，当x或x时，f（x）0；当x时，f（x）0，函数f（x）在（，）、（，+）上单调递增，在（，）上单调递减，当x=时，f（x）取极大值f（）=a=，当x=时，f（x）取极小值f（）=a=，f（x）存在唯一的零点，或，解得0a1，综上所述，实数a的取值范围是（0，+），点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、极值，利用函数的导数研究函数的零点问题，考查分类讨论思想，转化思想，以及化简计算能力，属于中档题二、解答题（本大题共6道题，计90分解答
20、应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15（14分）在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且sinA，sinB，sinC成等差数列，（1）若c=2a，证明ABC为钝角三角形；（2）若acosBbcosA=c，且ABC的外接圆半径为5，求ABC的面积考点：余弦定理；正弦定理 专题：等差数列与等比数列；解三角形分析：（1）由等差数列的性质及正弦定理可得2b=a+c，又c=2a，可解得ABC中的最大边为c，最大角为C，由余弦定理可得cosC0，即可求得ABC为钝角三角形（2）由正弦定理化简可得2cosAsinB=0，结合A，B的范围可求，由题意可得斜边a=10，由勾股定理及已知可求b，
21、c，从而可求三角形面积解答：（本小题满分14分）解：（1）sinA，sinB，sinC成等差数列，2sinB=sinA+sinC，即2b=a+c（2分）又c=2a，则由解得：，（4分）即ABC中的最大边为c，最大角为C又cosC=，（6分）且C（0，），C为钝角，即ABC为钝角三角形 （7分）（2）acosBbcosA=c，sinAcosBcosAsinB=sinC，即sinAcosBcosAsinB=sin（A+B），（9分）也即sinAcosBcosAsinB=sinAcosB+cosAsinB，则2cosAsinB=0，又在ABC中，sinB0所以cosA=0，又A（0，），则，（11分
22、）在RTABC中，ABC的外接圆半径为5，斜边a=10又，解之得，即（14分）点评：本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用，属于基本知识的考查16（14分）已知命题p：函数f（x）=x2+2mx+2+m2在区间2，+）上是增函数，命题q：函数g（x）=4x2x+1+m2m+3的最小值大于4，命题r：函数h（x）=（m2m2）x2+2mx+1的函数值恒大于0，（1）若“非r”为假命题，求实数m的取值范围；（2）若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数m的取值范围考点：命题的真假判断与应用；复合命题的真假 专题：简易逻辑分析：（1）由“非r”为假命题，得出命题r为真命题，
23、即函数h（x）=（m2m2）x2+2mx+1的函数值恒大于0，讨论得到m的范围（2）求出命题p和命题q的真假，命题“p或q”为真；命题“p且q”为假，求出m的取值范围解答：解：（1）“非r”为假命题，命题r为真命题，即函数h（x）=（m2m2）x2+2mx+1的函数值恒大于0，（1分）当m2m2=0时，即m=1或m=2m=1时，h（x）=2x+1不满足函数值恒大于0，m=2时，h（x）=4x+1也不满足函数值恒大于0，即m=1或m=2不合题意，（2分）当m2m20时，则，（4分）解之得：m2综上所述可知所求实数m的取值范围为（，2）（6分）（2）f（x）=x2+2mx+2+m2=（x+m）2+
24、2若命题p是真命题，则m2，即m2若命题p是假命题，则m2，即m2（8分）又g（x）=4x2x+1+m2m+3=（2x1）2+（m2m+2），即当x=0时，若命题q是真命题，则m2m+24，即m2或m1，若命题q是假命题，则m2m+24，即1m2，（10分）命题“p或q”为真；命题“p且q”为假，命题p和命题q必为一真一假即或（12分）即或，解之得：1m2或m2则所求实数m的取值范围是1，2（，2）（14分）点评：本题主要考查命题真假在大题中的应用，要注意真假命题的判断，属于中档题型17（14分）已知=（sinx，1），=（1，cosx）（其中xR，0），f（x）=，且函数f（x）图象的某个最
25、高点到其相邻的最低点之间的距离为5，（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）若f（）=（其中（，），则求f（+1）的取值考点：两角和与差的正弦函数；平面向量数量积的运算；正弦函数的单调性 专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质分析：（1）利用，结合两角和与差的三角函数化简函数的解析式，求解函数的周期，得到函数的解析式，利用子线盒的单调性求解单调增区间（2）利用条件求出，得到，通过二倍角公式求解即可解答：（本小题满分14分）解：（1），（其中xR，0），（2分）又函数f（x）图象的某个最高点到其相邻的最低点之间的距离为5，解之得：T=6，（4分）又，则，即，（6分）则，即，即所求函数f（x
26、）的单调递增区间为（8分）（2）由（1）可知，则，即（10分），则即，（12分）也即=（14分）点评：本题考查三角函数的化简求值，斜率的数量积的应用，两角和与差的三角函数，考查计算能力18（16分）在AOB中，OA=OB=2，（1）如图：若AOOB，点P为AOB所在平面上的一个动点，且满足PO=3，求的取值范围；（2）如图：若|+|，求与所成夹角的取值范围考点：三角形中的几何计算；平面向量数量积的运算 专题：平面向量及应用分析：（1），再根据条件知，即，而，很容易算出的取值范围；（2）过点O作直线AB的垂线，垂足为C，则垂足C必为线段AB的中点，再根据条件|+|，得，而在RTOCB中，cos，
27、又AOB=2BOC，则，即与所成夹角的取值范围为解答：（本小题满分16分）解：（1），（2分）又在AOB中，OA=OB=2，PO=3，AOOB，且，（4分）即，当点P在AOB所在平面上运动时，则，（6分）即，也即所求的取值范围为6，6（8分）（2）过点O作直线AB的垂线，垂足为C，则垂足C必为线段AB的中点，且，（10分）又在RTOCB中，又，即，（12分）在RTOCB中，cos，（14分）又AOB=2BOC，则，即与所成夹角的取值范围为（16分）点评：本题考查了平面向量在三角形中的应用，对学生综合应用知识的能力有较高要求，属于中档题19（16分）如图：在边长为6米的等边ABC钢板内，作一个D
28、EF，使得DEF的三边到ABC所对应的三边之间的距离均x（0x）米，过点D分别向AB，AC边作垂线，垂足依次为G，H；过点E分别向AB，BC边作垂线，垂足依次为M，N；过点F分别向BC，AC边作垂线，垂足依次为R，S接着在ABC的三个内角处，分别沿DG，DH、EM，EN、FR，FS进行切割，割去的三个全等的小四边形分别为AGDH、BMEN、CRFS然后把矩形GDEM、NEFR、SFDH分别沿DE、EF、FD向上垂直翻折，并对翻折后的钢板进行无缝焊接（注：切割和无缝焊接过程中的损耗和费用忽略不计），从而构成一个无盖的正三棱柱蓄水池（1）若此无盖的正三棱柱蓄水池的侧面和底面造价均为a（a0）万元/
29、米2，求此无盖的正三棱柱蓄水池总造价的最小值；（2）若此无盖的正三棱柱蓄水池的体积为V米3，求体积V的最大值考点：导数在最大值、最小值问题中的应用 专题：函数的性质及应用分析：（1）连接BE，求出EN，设此无盖长方体蓄水池的总造价为y（万元），写出y的表达式，然后求解最小值（2）写出无盖长方体蓄水池的体积，利用公式的导数，判断函数的单调性求解最值即可解答：（本小题满分16分）解：（1）连接BE，由题意可知，在RTBEN中，EN=x（米），EBN=30，即，（2分）即正DEF的边长为，（3分）若设此无盖长方体蓄水池的总造价为y（万元），则（）（5分）=a当时，（万元）即此无盖长方体蓄水池总造价的
30、最小值为（万元）（8分）（2）由题意可知，此无盖长方体蓄水池的体积为：（），（10分）则V=，令V=0，并解之得，（12分）当时，V0，即函数V（x）在为单调递增函数，当时，V0，即函数V（x）在为单调递减函数，则当时，（15分）即此无盖长方体蓄水池的体积V的最大值为4（m3） （16分）点评：本题考查函数与方程的应用，函数的最值，函数的导数与函数的单调性的应用，考查分析问题解决问题的能力20（16分）已知函数f（x）=lnx，g（x）=（x1）ex，其中e是自然对数的底数（1）若函数f（x）在点P（m，f（m）处的切线在y轴上的截距为2，求实数m的取值；（2）求函数h（x）=g（x）+g（x
31、）的极值；（3）求函数r（x）=g（x）+e|f（x）a|（a为常数）的单调区间考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：导数的综合应用分析：（1）f（x）=lnx，切点P的坐标为（m，lnm），求出函数f（x）在点P（m，f（m）处的切线方程即可（2）对h（x）求导h（x）=2ex+（2x1）ex=（2x+1）ex，利用导数函数的性质得到极值（3）函数r（x）=g（x）+e|f（x）a|=（x）ex+e|lnxa|（a为常数），求导，利用导数的性质求得单调区间解答：解：（1）f（x）=lnx，切点P的坐标为（m，lnm），又，过切点P的切线
32、的斜率为，则函数f（x）在点P（m，f（m）处的切线方程为（2分）即，又切线在y轴上的截距为2，则lnm1=2，即m=e3，（4分）（2）h（x）=g（x）+g（x）=（x1）ex+（x1）ex=（2x1）ex，h（x）=2ex+（2x1）ex=（2x+1）ex（6分）令h（x）=（2x+1）ex0，解得，令h（x）=（2x+1）ex0，解得，则函数h（x）=g（x）+g（x）在上为单调递增函数，在上为单调递减函数，当时，函数h（x）的极小值为，无极大值存在 （8分）（3）函数r（x）=g（x）+e|f（x）a|=（x）ex+e|lnxa|（a为常数），函数，（9分）当xea时，恒成立，则函数
33、r（x）在ea，+）上为单调递增函数，（10分）当0xea时，又恒成立，函数在（0，ea）上为单调递增函数，又r（1）=0，函数r（x）在（0，1）上恒小于0，在（1，ea）上恒大于0（12分）10、当a0时，ea1，则此时r（x）在（0，ea）上恒小于0即函数r（x）在（0，ea）上为单调递减函数，（13分）20、当a0时，ea1，则此时r（x）在（0，1）上恒小于0，在（1，ea）上恒大于0，即函数r（x）在（0，1）上为单调递减函数，在（1，ea）上为单调递增函数，（15分）综上可知：当a0时，函数r（x）递减区间为（0，ea），递增区间为ea，+），当a0时，函数r（x）递减区间为（0，1），递增区间为1，+），（16分）点评：本题主要考查函数导数在求函数切线方程、极值、单调区间中的应用，属于中档题型