1、函数模型及其应用一、选择题1如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数hf (t)的图像大致是() ABCDB函数hf (t)是关于t的减函数，故排除C，D，半缸水前，h的变化是越来越慢，半缸水后，h的变化是越来越快，故选B2某辆汽车每次加油都把油箱加满，表中记录了该车相邻两次加油时的情况加油时间加油量(升)加油时累计里程(千米)2020年10月1日1235 0002020年10月15日6035 600(注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程)在这段时间内，该车每100千米平均耗油量
2、为()A6升B8升C10升D12升C因为第二次加满油箱时加油量为60升，所以从第一次加油到第二次加油共用油60升，行驶了600千米，所以在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为10(升)故选C3高三学生在新的学期里，刚刚搬入新教室，随着楼层的升高，上下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高，当教室在第n层楼时，上下楼造成的不满意度为n，但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随着教室所在楼层的升高，环境不满意度降低设教室在第n层楼时，环境不满意度为，则同学们认为最适宜的教室应在()A2楼B3楼C4楼D8楼B由题意知同学们总的不满意度yn24，当且仅当n，即n2时等号成立，又当n2时，y6，
3、当n3时，y36，所以同学们认为最适宜的教室应在3楼故选B4某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格比较，变化的情况是()A减少7.84%B增加7.84%C减少9.5%D不增不减A设某商品原来价格为a，四年后价格为：a(10.2)2(10.2)2a1.220.820.921 6a，(0.921 61)a0.078 4a，所以四年后的价格与原来价格比较，减少7.84%5(2021辽宁五校联考)一个人以6米/秒的速度去追赶停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时交通灯由红变绿，汽车开始变速直线行驶(汽车与人前进方向相同)，汽车在时间t秒内的路程为st2米，那么，
4、此人()A可在7秒内追上汽车B可在9秒内追上汽车C不能追上汽车，但期间离汽车的最近距离为14米D不能追上汽车，但期间离汽车的最近距离为7米D已知st2，车与人的间距d(s25)6tt26t25(t6)27当t6时，d取得最小值7故选D6某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比据测算，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1，y2分别是2万和8万，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站()A5千米处B4千米处C3千米处D2千米处A设仓库建在离车站x千米处，则y1，y2k2x，根据给出的初始数据可得k120，k20.
5、8，两项费用之和为y0.8x8，当且仅当x5时，等号成立二、填空题7某购物网站在2021年11月开展“全部6折”促销活动，在11日当天购物还可以再享受“每张订单金额(6折后)满300元时可减免100元”某人在11日当天欲购入原价48元(单价)的商品共42件，为使花钱总数最少，他最少需要下的订单张数为_3为使花钱总数最少，需使每张订单满足“每张订单金额(6折后)满300元时可减免100元”，即每张订单打折前原金额不少于500元由于每件原价48元，因此每张订单至少11件，又421139，所以最少需要下的订单张数为38某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：)满足函数关系yekxb(e2
6、.718为自然对数的底数，k，b为常数)若该食品在0 的保鲜时间是192小时，在22 的保鲜时间是48小时，则该食品在33 的保鲜时间是_小时24由题意得e22k，e11k，当x33时，ye33kb(e11k)3eb192192249(2021洛阳模拟)为促进全民健身运动，公司为员工购买某健身俱乐部的健身卡，每张360元，使用规定：不记名，每卡每次仅限1人，每天仅限1次公司共90名员工，公司领导打算组织员工分批去健身，除需购买若干张健身卡外，每次去俱乐部还要包租一辆汽车，费用是每次40元，如果要使每位员工健身10次，那么公司购买_张健身卡最合算10设购买x张健身卡，这项健身活动的总支出为y，则
7、y40360x，即y36036027 200，当且仅当x，即x10时取等号，所以公司购买10张健身卡最合算三、解答题10如图，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE4米，CD6米为了合理利用这块钢板，在五边形ABCDE内截取一个矩形BNPM，使点P在边DE上(1)设MPx米，PNy米，将y表示成x的函数，并求该函数的解析式及定义域；(2)求矩形BNPM面积的最大值解(1)如图，作PQAF于Q，所以PQ8y，EQx4，在EDF中，所以，所以yx10，定义域为x|4x8(2)设矩形BNPM的面积为S，则S(x)xyx(x10)250，所以S(x)是关于x的二次函数，且其图像开口向下，对
8、称轴为直线x10，所以当x4，8时，S(x)单调递增，所以当x8时，矩形BNPM的面积取得最大值，最大值为48平方米11为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小李同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业经过调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本5万元，每年生产x万件，需另投入流动成本C(x)万元，且C(x)每件产品售价为10元，经分析，生产的产品当年能全部售完(1)写出年利润P(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式(年利润年销售收入固定成本流动成本)；(2)年产量为多少万件时，小李在这一产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？解(1)因为每件产品售价为10元，所以x万件
9、产品销售收入为10x万元依题意得，当0x8时，P(x)10x5x26x5；当x8时，P(x)10x530所以P(x)(2)当0x8时，P(x)(x6)213，当x6时，P(x)取得最大值P(6)13；当x8时，P(x)10，所以P(x)为减函数，当x8时，P(x)取得最大值P(8)由13可知当年产量为8万件时，小李在这一产品的生产中所获利润最大，最大利润为万元1物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T0，经过一定时间t(单位：min)后的温度是T，则TTa(T0Ta)，其中Ta称为环境温度，h称为半衰期现有一杯用85 热水冲的速溶咖啡，放在21 的房间中，如果咖啡降
10、到37 需要16 min，那么这杯咖啡要从37 降到29 ，还需要的时间为()A6 minB7 minC8 minD9 minC由题意知Ta21 令T085 ，T37 ，得3721(8521)，h8令T037 ，T29 ，则2921(3721)，t82(2019北京高考)李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%(1)当x10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付_元；
11、(2)在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为_(1)130(2)15(1)顾客一次购买草莓和西瓜各1盒时，总价为6080140(元)，总价达到120元，又x10，即顾客少付10元，所以需要支付130元(2)设顾客买水果的总价为a元，当0a120时，顾客支付a元，李明得到0.8a元，且0.8a0.7a，显然符合题意，此时x0；当a120时，则0.8(ax)0.7a恒成立，即xa恒成立，xmin，又a120，所以min15所以x15综上可知，0x15所以x的最大值为153某种出口产品的关税税率为t，市场价格x(单位：千元)与市场供应量p(单位：万件)之间近似满足关系式：p2，其中k，b均为常数当关税税率t75%时，若市场价格为5千元，则市场供应量约为1万件；若市场价格为7千元，则市场供应量约为2万件(1)试确定k，b的值；(2)市场需求量q(单位：万件)与市场价格x(单位：千元)近似满足关系式：q2x，当pq时，市场价格称为市场平衡价格，当市场平衡价格不超过4千元时，试确定关税税率的最大值解(1)由已知得：解得b5，k1(2)当pq时，22x，所以(1t)(x5)2xt11而f (x)x在(0，4上单调递减，所以当x4时，f (x)有最小值，故当x4时，关税税率的最大值为500%
