1、南宁三中20192020学年度下学期高二期考理科数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设i为虚数单位，复数z满足，则在复平面内，对应的点位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝.甲：“我没有偷”；乙：“丙是小偷”；丙：“丁是小偷”；丁：“我没有偷”，根据以上条件，可以判断偷珠宝的人是（ ）A.甲B.乙C.丙D.丁3.用数学归纳法证明（），则从k到时左边添加的项是（ ）A.B.C.D.4.已知函数，则下列说法不正确的是（ ）A.最
2、大值为9B.最小值为C.函数在区间上单调递增D.是它的极大值点5.抛掷两枚质地均匀的骰子，观察向上的点数，记事件A为“两个点数不同”，事件B为“两个点数中最大点数为4”，则（ ）A.B.C.D.6.有8件产品，其中4件是次品，从中有放回地取3次（每次1件），若X表示取得次品的次数，则（ ）A.B.C.D.7.2020年3月31日，某地援鄂医护人员A，B，C，D，E，F，6人（其中A是队长）圆满完成抗击新冠肺炎疫情任务返回本地，他们受到当地群众与领导的热烈欢迎.当地媒体为了宣传他们的优秀事迹，让这6名医护人员和接见他们的一位领导共7人站一排进行拍照，则领导和队长分别站在两端且相邻，而不相邻的排法
3、种数为（ ）A.36种B.48种C.56种D.72种8.甲、乙两队进行篮球决赛，采取五场三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束）.根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队不超过4场即获胜的概率是（ ）A.0.18B.0.21C.0.39D.0.429.电路从A到B上共连接着6个灯泡（如图），每个灯泡断路的概率是，整个电路的连通与否取决于灯泡是否断路，则从A到B连通的概率是（ ）A.B.C.D.10.已知（），若对任意两个不等的正实数，都有恒成立，则a的取值范围是（ ）A.B.C.D.1
4、1.已知随机变量，且，则的展开式中的系数为（ ）A.680B.640C.180D.4012.在R上可导的函数，当时取得极大值，当时取得极小值，则的取值范围是（ ）A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13.从10名大学毕业生中选3个人担任村长助理，甲、乙至少有1人入选的不同选法的种数为_.14.定积分的值_.15.已知，则_.16.已知函数，其中e为自然对数的底数，若存在实数使成立，则实数a的值为_.三、解答题（解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤，第17-21题每题12分，选做题10分，共70分）17.从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口
5、遇到红灯的概率分别为，.（1）设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和均值.（2）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率.18.如图，四棱锥，为等边三角形，平面平面，Q为中点.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.19.近年来，国资委党委高度重视扶贫开发工作，坚决贯彻落实中央扶贫工作重大决策部署，在各个贫困县全力推进定点扶贫各项工作，取得了积极成效，某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积以及相应的管理时间的关系如下表所示：土地使用面积x（单位：亩）12345管理时间y（单位：月）810132524并调查了某村
6、300名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示：愿意参与管理不愿意参与管理男性村民15050女性村民50（1）求出相关系数r的大小，并判断管理时间y与土地使用面积x是否线性相关？（2）是否有的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性？参考公式：，其中.临界值表：P（）0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828参考数据：20.已知椭圆C：（）的右焦点为F，上顶点为M，直线的斜率为，且原点到直线的距离为（1）求椭圆C的标准方程；（2）若不经过点F的直线l：（，）与椭圆C交于A，B两点，且与圆相切.试探究的周长是否为定值，若是，求
7、出定值；若不是，请说明理由.21.已知函数，.（）若在上单调递减，求实数a的取值范围；（）若函数有两个极值点分别为，证明：.选做题：考生需从第22题和第23题中选一道作答22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，点A为曲线上的动点，点B在线段的延长线上且满足，点B的轨迹为（1）求曲线，的极坐标方程；.（2）设点M的极坐标为，求面积的最小值.23.设函数，.（1）当时，求不等式的解集；（2）对任意，恒有，求实数a的取值范围.高二期考理科数学试题参考答案1.B【解析】因，所以，由共轭复数的定义知，由复数的几何意义可知，在复平面对应的点
8、为，位于第二象限.选：B2.A【解析】试题分析：若甲说的是真话，则乙、丙、丁都是说假话，所以丁偷了珠宝，所以，丙说的也是真话，与只有一个人说真话相矛盾，所以甲说的假话，偷珠宝的人是甲.3.D【解析】根据式子的结构特征，求出当时，等式的左边，再求出时，等式的左边，当时，等式的左边为，当时，等式的左边为，故从“到”，左边所要添加的项是.故选：D.4.C【解析】，令，解得或，所以当，时，函数单调递增，当时，函数单调递减，C错误；所以是它的极大值点，D正确；因为，所以函数的最大值为9，A正确；因为，所以函数的最小值为，B正确.故选：C5.C【解析】由题意，抛掷两枚均匀骰子，构成的基本事件的总数共有36
9、种，其中记事件A为“两个点数不同”的基本事件共有种，又由事件“两个点数不同且最大点数为4”的基本事件为：，共有6种，所以，故选C.6.D因为是有放回地取产品，所以每次取产品取到次品的概率为.从中取3次，X为取得次品的次数，则，7.D【解析】让这6名医护人员和接见他们的一位领导共7人站一排进行拍照，则领导和队长站在两端且相邻分2步进行分析：领导和队长站在两端，有种情况，中间5人分2种情况讨论：若相邻且与D相邻，有种安排方法，若相邻且不与D相邻，有种安排方法，则中间5人有种安排方法，则有种不同的安排方法；故选：D.8.C【解析】甲、乙两队进行排球决赛，采取五场三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜
10、，决赛结束）.根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以获胜的概率是：.甲队以获胜的概率是：甲队不超过4场即获胜的概率故选：C9.B【解析】如图，可知之间未连通的概率是，连通的概率是.之间连通的概率是，未连通的概率是，故之间未连通的概率是，故之间连通的概率是，故之间连通的概率是.故选B10.D【解析】根据可知，令（）为增函数，所以（，）恒成立，分离参数得，而当时，最大值为1，故.11.A【解析】因为随机变量，所以，代入可得，故展开式中包含项为：，系数为680，故选：A.12.C【解析】，在由，所
11、构成的三角形的内部，可看作点与点的连线的斜率，结合图形可知13.14.115.1【解析】由，令可得：；令可得：.相减可得：，则.故答案为：1.16.【解析】构造函数：，存在实数使成立，即有解，考虑函数，所以在递减，在递增，所以，当且仅当时，取得等号，所以要使有零点，必须零点为，且，即.故答案为：.17.（）解：随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3.，.所以，随机变量X的分布列为X0123P随机变量X的数学期望（）解：设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为.所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为.18.（1）证明：因为，所以，又平面平面，且平面平面，所
12、以平面.又平面，所以，因为Q为中点，且为等边三角形，所以.又，所以平面.（2）取中点为O，连接，因为为等边三角形，所以，因为平面平面，所以平面，所以，由，可知，所以.以中点O为坐标原点，分别以，所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.所以，所以，由（1）知，为平面的法向量，因为Q为的中点，所以，所以，设平面的法向量为，由，得，取，则.所以.因为二面角为钝角，所以，二面角的余弦值为.19.解：依题意：，故，则故管理时间y与土地使用面积x线性相关.（2）依题意，完善表格如下：愿意参与管理不愿意参与管理总计男性村民15050200女性村民5050100总计200100300计算得的观测
13、值为故有的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关20.（1）由题可知，则，直线的方程为，即，所，解得，又，所以椭圆C的标准方程为.（2）因为直线（，）与圆相切，所以，即.设，联立得，所以，所以.又，所以.因为，同理.所以，所以的周长是，则的周长为定值.21.（）.在内单调递减，在内恒成立，即在内恒成立.令，则，当时，即在内为增函数；当时，即在内为减函数.的最大值为，（）若函数有两个极值点分别为，则在内有两根，由（），知.由，两式相减，得.不妨设,要证明，只需证明.即证明，亦即证明.令函数，.，即函数在内单调递减.时，有，.即不等式成立.综上，得.22.（1）由曲线的参数方程为（为参数），消去参数，可得普通方程为，即，又由，代入可得曲线的极坐标方程为，设点B的极坐标为，点A点的极坐标为，则，因为，所以，即，即，所以曲线的极坐标方程为.（2）由题意，可得，则，即，当，可得的最小值为2.23.解：（1）当时，则等价于或或，解得或，所以的解集为.（2）由绝对值不等式的性质有：，由恒成立，有恒成立，当时不等式显然恒成立，当时，由得，综上，a的取值范围是.