1、第四节数系的扩充与复数的引入1.理解复数的基本概念2理解复数相等的充要条件3了解复数的代数表示法及其几何意义4会进行复数代数形式的四则运算5了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.1数系的扩充数系扩充的脉络是：，用集合符号表示为NQR，实际上前者是后者的真子集2复数的有关概念(1)复数的概念形如abi(a，bR)的数叫复数，其中a，b分别是它的和若，则abi为实数，若，则abi为虚数，若，则abi为纯虚数自然数系有理数系实数系实部虚部b0b0a0且b0(2)复数相等：abicdi(a，b，c，dR)(3)共轭复数：abi与cdi共轭(a，b，c，dR)(4)复平面建立直角坐标系来表示复数的平面
2、，叫做复平面叫 做 实 轴，叫做虚轴实轴上的点表示；除原点外，虚轴上的点都表示；各象限内的点都表示ac，bdac，bdx轴y轴实数纯虚数非纯虚数复数集C和复平面内组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以为起点的向量组成的集合也是一一对应的(5)复数的模向量的模r叫做复数zabi的模，记作或，即|z|abi|.OZa2b2所有的点原点O|z|abi|3复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则加法：z1z2(abi)(cdi)；减法：z1z2(abi)(cdi)；乘法：z1z2(abi)(cdi)；(ac)(bd)i(ac)(bd)i(a
3、cbd)(adbc)i复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1、z2、z3C，有z1z2，(z1z2)z3除法：z1z2abicdiabicdicdicdiacbdbcadic2d2(cdi0)(2)复数加法的运算定律z2z1z1(z2z3)1已知 aR，若(1ai)(32i)为纯虚数，则 a 的值为()A32 B.32C23D.23解析：(1ai)(32i)(32a)(23a)i 为纯虚数，故32a0，23a0，得 a32.答案：A2已知复数 z1i，则z22zz1 等于()A2i B2iC2 D2解析：z22zz1 1i221i1i12i22ii2i.答案：A3设 i 是虚数单位，复数
4、ztan45isin60，则 z2 等于()A.74 3i B.14 3iC.74 3i D.14 3i答案：B4已知 z12i，z213i，则复数iz2z1 的虚部为_解析：iz2z1 i13i2i12i2i5i，故虚部为1.答案：15设 x，yR 且 x1iy12i513i，则 xy_.解析：化简上式得x1i2y12i5513i10，即 5x(1i)2y(12i)5(13i)，于是5x2y5，5x4y15，解之得x1y5，故 xy6.答案：6 热点之一 复数的概念1复数的分类(abi)实数b0虚数b0纯虚数a0非纯虚数a02处理有关复数概念的问题，首先要找准复数的实部与虚部(若复数为非标准
5、的代数形式，则应通过代数运算化为代数形式)，然后根据定义解题例1 当实数m为何值时，zlg(m22m2)(m23m2)i，(1)z为纯虚数；(2)zR；(3)z对应的点在复平面内的第二象限内思路探究 复数z 分清实部、虚部 依据条件 m的值课堂记录(1)若 z 为纯虚数，则lgm22m20，m23m20，解得 m3.(2)若 z 为实数，则m22m20，m23m20，解得 m1 或 m2.(3)若 z 的对应点在第二象限内，则lgm22m20，解得1m1 3，或 1 3m3.即m3 时，z 为纯虚数；m1 或 m2 时，z 为实数；1m1 3或 1 3m3 时，z 的对应点在第二象限内思维拓展
6、 处理有关复数基本概念的问题，关键是掌握复数的相关概念，找准复数的实部与虚部(即实部和虚部必须是实数)，从定义出发解决问题本例考查复数集的分类及复数的几何意义，由于本题所给的复数已经采用标准的代数形式，因此容易确定其实部与虚部若不然，则应先化为代数形式后再依据概念求解即时训练已知 mR，复数(2m23m2)(m23m2)i表示纯虚数的条件是()Am2 Bm12Cm2 或 m1 Dm2 或 m12解析：zabi(a，bR)为纯虚数的条件为 a0 且 b0，所以原题等价于2m23m20，m23m20.即m2或m12，m1且m2，所以 m12.故选 B.答案：B 热点之二 复数的运算1在进行复数的代
7、数运算时，记住以下结论，可提高计算速度(1)(1i)22i；(2)(1i)22i；(3)1i1ii；(4)1i1ii；(5)baii(abi)；(6)i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i，nN*.2复数的四则运算类似于多项式的四则运算，此时含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可，但要注意把i的幂写成最简单的形式，在运算过程中，要熟悉i的特点及熟练应用运算技巧例 2 计算：(1)22i41 3i5；(2)2 3i12 3i 21i2010.思路探究(1)可用复数的运算性质计算；(2)可用2 3ii(12 3i)计算课堂记录(1)原式161i41 3i41
8、3i162i222 3i21 3i6441 3i21 3i161 3i4 41 3i1 3i.(2)原式i12 3i12 3i 21i2 1005i22i1005ii1005ii42511ii2i.即时训练计算：(1)1i2ii3；(2)12i231i2i；(3)1i1i2 1i1i2；(4)1i220111i22011.解：(1)1i2ii33ii 13i.(2)12i231i2i34i33i2i i2ii2i51525i.(3)1i1i2 1i1i21i2i 1i2i1i21i21.(4)1i220111i220111 22011(1i)2010(1i)(1i)2010(1i)1 2201
9、1(2i)1005(1i)(2i)1005(1i)12i(1i)(i)(1i)2.热点之三 复数的几何意义因为复平面内的点与平面向量是一一对应的，所以复数加减法及其几何意义与向量的加减法及其几何意义类似，可以利用三角形法则与平行四边形法则解决例 3 已知平行四边形 OABC 的三个顶点 O、A、C 对应的复数分别为 0,32i，24i，试求：(1)AO 表示的复数；(2)CA 表示的复数；(3)B 点对应的复数思路探究 本题给出了几何图形及一些点对应的复数求另一些点或向量表示的复数因此用复数加、减法的几何意义求解课堂记录(1)AO OA，AO 表示的复数为(32i)，即32i.(2)CA OA
10、 OC，CA表示的复数为(32i)(24i)52i.(3)OB OA ABOA OC.OB 表示的复数为(32i)(24i)16i.即 B 点对应的复数为 16i.即时训练已知复数(x2)yi(x，yR)的模为 3，则yx的最大值是_解析：|(x2)yi|3，(x2)2y23.故(x，y)在以(2,0)为圆心，3为半径的圆上，yx表示圆上的点(x，y)与原点连线的斜率，由数形结合可知yx的最大值为 3.答案：3从近几年的高考试题看，复数的概念及其代数形式的运算成为命题的热点，通常分两种题型，即选择题和填空题一是考查复数的概念，如纯虚数，两个复数相等；二是复数代数形式的加、减、乘、除四则运算等基
11、础知识例 4(1)(2010辽宁高考)设 a，b 为实数，若复数12iabi1i，则()Aa32，b12 Ba3，b1Ca12，b32Da1，b3(2)(2010课标全国)已知复数 z3i1 3i2，z 是 z 的共轭复数，则 z z()A.14B.12C1 D2解析(1)由12iabi1i，可得 12i(ab)(ab)i，由对应项相等可以得到ab1ab2 a32，b12.(2)z3i1 3i23i12 3i3i23i22 3i 3i22 3i22 3i22 3i 34 i4，z 34 i4.z z(34 i4)(34 i4)316 11614.答案(1)A(2)A1(2010江西高考)已知(xi)(1i)y，则实数x，y分别为()Ax1，y1Bx1，y2Cx1，y1Dx1，y2解析：由(xi)(1i)y，得 x1(1x)iy，yx1，1x0.x1，y2.答案：D2(2010湖北高考)若 i 为虚数单位，图中复平面内点 Z 表示复数 z，则表示复数 z1i的点是()AEBFCGDH解析：z1i3i1i3i1i242i22i，表示的点为H.答案：D3(2010江苏高考)设复数 z 满足 z(23i)64i(i 为虚数单位)，则 z 的模为_解析：由 z(23i)64i 得 z64i23i64i23i23i23i2i，即 z2i，|z|2.答案：2