1、2021年江苏省常州市新北区新桥高级中学高考数学三模试卷一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）. 1集合A与集合B满足UAUB，则集合A与集合B的关系成立的是（）AABBBACAUBADBUAB2某学校从4名男生、3名女生中选出2名担任招生宣讲员，则在这2名宣讲员中男、女生各1人的概率为（）ABCD3函数f（x）的图象大致是（）ABCD4双曲线的一个焦点到渐近线的距离为（）ABC2D45已知单位向量满足，则向量的夹角是（）ABCD6南宋数学家杨辉详解九章算法和算法通变本末中，提出垛积公式，所讨论的高阶等差数列前后两项之差不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究
2、，在杨辉之后一般称为“垛积术”现有高阶等差数列，其前6项分别1，6，13，24，41，66，则该数列的第7项为（）A91B99C101D1137已知函数f（x）是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf（x+1）（x+1）f（x），则的值是（）A0BC1D8第24届冬季奥林匹克运动会，将在2022年02月04日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京成为奥运史上第一个举办夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市同时中国也成为第一个实现奥运“全满贯”（先后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬残奥会）国家根据规划，国家体育场（鸟巢）成
3、为北京冬奥会开、闭幕式的场馆国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点B分别向内层椭圆引切线AC，BD（如图），且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（）ABCD二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分9若复数z满足（1+i）z5+3i（其中i是虚数单位），则（）Az的虚部为iBz的模为Cz的共轭复数为4iDz在复平面内对应的点位于第四象限10关于圆C：x2+y2kx+2y+k2k+10，下列说法正确的是（）Ak的取值范围是k0B
4、若k4，过M（3，4）的直线与圆C相交所得弦长为2，其方程为12x5y160C若k4，圆C与x2+y21相交D若k4，m0，n0，直线mxny10恒过圆C的圆心，则+8恒成立11已知函数f（x）2（|cosx|+cosx）sinx，给出下列四个命题（）Af（x）的最小正周期为Bf（x）的图象关于直线对称Cf（x）在区间上单调递增Df（x）的值域为2，212若0x1x21，则下列不等式成立的是（）ABCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13若，则的值为 14若函数f（x）满足f（+x）+f（x）0且最大值为2，请写出一个满足条件的函数f（x）的解析式： 15已知点A，B，C为球O的
5、球面上的三点，且BAC60，BC3，若球O的表面积为48，则点O到平面ABC的距离为 16已知数列an满足an+1，a11若从四个条件：A；2；B中，选择一个作为条件补充到题目中，将数列an的通项an表示为Asin（n+）+B（0，|）的形式，则an 四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17在cosB；b+c2；a，这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，使问题中的三角形存在，并求出ABC的面积问题：在ABC中，a，b，c是角A，B，C所对的边，已知asinCccosA，补充的条件是_和_18如图，在四棱锥ABCDE中，BCDE，BEBC，ABBCAC2DE
6、2BE（1）证明：ADBC（2）若平面BCDE平面ABC，经过A，D的平面将四棱锥ABCDE分成左、右两部分的体积之比为1：2，求平面与平面ADC所成锐二面角的余弦值19若数列an及bn满足且a11，b16（1）证明：bn3an+3（nN*）；（2）求数列an和bn的通项公式20一个国家的数学实力往往影响着国家的科技发展，几乎所有的重大科技进展都与数学息息相关，我国第五代通讯技术（5G）的进步就是源于数学算法的优化华为公司所研发的SingleRAN算法在部署5G基站时可以把原来的4G、3G基站利用起来以节省开支，华为创始人任正非将之归功于“数学的力量”，近年来，我国加大5G基站建设力度，基站已
7、覆盖所有地级市，并逐步延伸到乡村（1）现抽样调查英市所轴的A地和B地5G基站覆盖情况，各取100个村，调查情况如表：已覆盖未覆盖A地2080B地2575视样本的频率为总体的概率，假设从A地和B地所有村中各随机抽取2个村，求这4个村中A地5G已覆盖的村比B地多的概率；（2）该市2020年已建成的5G基站数y与月份x的数据如表：x123456789101112y283340428547701905115114231721210926013381探究上表中的数据发现，因年初受新冠疫情影响，5G基站建设进度比较慢，随着疫情得到有效控制，5G基站建设进度越来越快，根据散点图分析，已建成的5G基站数呈现先
8、慢后快的非线性变化趋势，采用非线性回归模型拟合比较合理，请结合参考数据，求5G基站数y关于月份x的回归方程（的值精确到0.01）附：设ulny，则uilnyi，（i1，2，12），u6.88，对于样本（xi，yi），（i1，2，n）的线性回归方程有，21已知抛物线C：x22py（p0）的焦点为F，点（m，1）在抛物线C上，该点到原点的距离与到C的准线的距离相等（1）求抛物线C的方程；（2）过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，且与以焦点F为圆心2为半径的圆交于M，N两点，点B，N在y轴右侧证明：当直线l与x轴不平行时，|AM|BN|；过点A，B分别作抛物线C的切线l1，l2，l1与l2相交
9、于点D，求DAM与DBN的面积之积的取值范围22已知函数，g（x）aex+cosx，其中aR（1）讨论函数f（x）的单调性，并求不等式f（x）0的解集；（2）若a1，证明：当x0时，g（x）2；（3）用maxm，n表示m，n中的最大值，设函数h（x）maxf（x），g（x），若h（x）0在（0，+）上恒成立，求实数a的取值范围参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）. 1集合A与集合B满足UAUB，则集合A与集合B的关系成立的是（）AABBBACAUBADBUAB解：因为UAUB，所以U（UA）U（UB），所以AB，故选：B2某学校从4名男生、3名女生中选出2名担任招生宣讲员，则在
10、这2名宣讲员中男、女生各1人的概率为（）ABCD解：某学校从4名男生、3名女生中选出2名担任招生宣讲员，基本事件总数n21，在这2名宣讲员中男、女生各1人包含的基本事件个数m12，则在这2名宣讲员中男、女生各1人的概率为P故选：C3函数f（x）的图象大致是（）ABCD解：根据题意，f（x）1+，有f（x）+f（x）1+12，则f（x）的图像关于点（0，1）对称，排除C，f（1）0，排除AD，故选：B4双曲线的一个焦点到渐近线的距离为（）ABC2D4解：双曲线的一个焦点（c，0），一条渐近线是2xay0，由点到直线距离公式，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是：2故选：C5已知单位向量满足，则向
11、量的夹角是（）ABCD解：根据题意，设向量的夹角为，向量都是单位向量且，则有（+）22+2+21+1+2cos3，则cos，又由0，则，故选：B6南宋数学家杨辉详解九章算法和算法通变本末中，提出垛积公式，所讨论的高阶等差数列前后两项之差不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”现有高阶等差数列，其前6项分别1，6，13，24，41，66，则该数列的第7项为（）A91B99C101D113解：由题意得1，6，13，24，41，66的差组成数列：5，7，11，17，25，这些数的差组成数列：2，4，6，8，10，故该数列的第7项为10+25+
12、66101故选：C7已知函数f（x）是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf（x+1）（x+1）f（x），则的值是（）A0BC1D解：当x1且x0时，由xf（x+1）（x+1）f（x），得，令，则g（x+1）g（x），所以g（x）是周期为1的函数，所以，当时，由xf（x+1）（x+1）f（x）得，又f（x）是偶函数，所以，所以，所以，所以故选：A8第24届冬季奥林匹克运动会，将在2022年02月04日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京成为奥运史上第一个举办夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市同时中国也成为第一个实现奥运“
13、全满贯”（先后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬残奥会）国家根据规划，国家体育场（鸟巢）成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点B分别向内层椭圆引切线AC，BD（如图），且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（）ABCD解：设内层椭圆方程为（ab0），因为内外椭圆离心率相同，所以外层椭圆，可设成，（m1），设切线的方程为yk1（x+a），与联立得，由0，则，同理，所以，因此故选：B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对得5分，部
14、分选对得2分，有选错得0分9若复数z满足（1+i）z5+3i（其中i是虚数单位），则（）Az的虚部为iBz的模为Cz的共轭复数为4iDz在复平面内对应的点位于第四象限解：由（1+i）z5+3i，得z4i，所以z的虚部为1，选项A错误；|z|，选项B正确；z的共轭复数为4+i，选项C错误；z在复平面内对应的点为（4，1）位于第四象限，选项D正确故选：BD10关于圆C：x2+y2kx+2y+k2k+10，下列说法正确的是（）Ak的取值范围是k0B若k4，过M（3，4）的直线与圆C相交所得弦长为2，其方程为12x5y160C若k4，圆C与x2+y21相交D若k4，m0，n0，直线mxny10恒过圆C
15、的圆心，则+8恒成立解：圆C的标准方程为：，故A正确；当k4时，圆C的圆心（2，1），半径为2，对于选项B，当直线为x3时，该直线过点M，此时截得弦长为2，故选项B不正确；对于选项C，两圆的圆心距为，大于两圆半径之差的绝对值且小于两圆半径之和，故正确；对于选项D，易得2m+n10，即2m+n1，m0，n0，4+8，当且仅当，即n2m时取等号，故正确故选：ACD11已知函数f（x）2（|cosx|+cosx）sinx，给出下列四个命题（）Af（x）的最小正周期为Bf（x）的图象关于直线对称Cf（x）在区间上单调递增Df（x）的值域为2，2解：函数f（x）2（|cosx|+cosx）sinx，故f
16、（x）的周期为2，故排除A；f（x）2|cos（x）|+cos（x）sin（x ）2（|sinx|+sinx）cosxf（x），故f（x）的图象不关于直线对称，故排除B；当x，2x，f（x）2sin2x，故f（x）在区间上单调递增，故C正确；根据函数的解析式，当x2k，kZ时，f（x）取得最小值为2；当x2k+，kZ时，f（x）取得最大值为2，故f（x）的值域为2，2，故D正确，故选：CD12若0x1x21，则下列不等式成立的是（）ABCD解：（1）令f（x），x（0，1），f（x）0，则函数f（x）在x（0，1）上单调递减，0x1x21，f（x1）f（x2），因此A正确，B不正确（2）令g（
17、x）ex+lnx，x（0，1），则函数f（x）在x（0，1）上单调递增，0x1x21，f（x1）f（x2），因此D正确，C不正确故选：AD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13若，则的值为 220211解：令x0，则a01，因为a0+a1+a2+a2021a0+x+x2+x2021，所以令x1，则22021a0+，所以22021a0220211故答案为：22021114若函数f（x）满足f（+x）+f（x）0且最大值为2，请写出一个满足条件的函数f（x）的解析式：f（x）2sinx解：当函数f（x）2sinx时，满足f（+x）+f（x）0且最大值为2，故答案为：f（x）2sinx1
18、5已知点A，B，C为球O的球面上的三点，且BAC60，BC3，若球O的表面积为48，则点O到平面ABC的距离为3解：球O的表面积S4R248，解得R2，在ABC中，点A，B，C为球O的球面上的三点，且BAC60，BC3，外接圆的半径为：r，2r2，r，球心到平面ABC的距离d3，故答案为：316已知数列an满足an+1，a11若从四个条件：A；2；B中，选择一个作为条件补充到题目中，将数列an的通项an表示为Asin（n+）+B（0，|）的形式，则an或解：数列an满足an+1，a11当n1时，解得，当n2时，解得a31，当n3时，解得，故数列的周期为2，故，解得，故不能作为条件，设anAsi
19、n（n+）+B，所以a1Asin（+）+B1，a2Asin（2+）+B，+得B，故不能作为条件当A时，）+，由于a11，所以故当作为条件时，由于a11，所以A，故故答案为：或四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17在cosB；b+c2；a，这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，使问题中的三角形存在，并求出ABC的面积问题：在ABC中，a，b，c是角A，B，C所对的边，已知asinCccosA，补充的条件是_和_解：asinCccosA，由正弦定理可得：sinAsinCsinCcosA，sinC0，sinAcosA，tanA，A（0，），解得A若选择cosB
20、，则cosB，B（，），与三角形内角和定理矛盾，因此不能选择，只能选择由余弦定理可得：6b2+c22bccos，与b+c2联立，解得：bc2ABC的面积S2sin18如图，在四棱锥ABCDE中，BCDE，BEBC，ABBCAC2DE2BE（1）证明：ADBC（2）若平面BCDE平面ABC，经过A，D的平面将四棱锥ABCDE分成左、右两部分的体积之比为1：2，求平面与平面ADC所成锐二面角的余弦值【解答】（1）证明：取BC的中点O，连接AO，DO因为BODE，BODE，所以BODE为平行四边形，又EBBC，所以DOBC因为ABBCAC，所以AOBC，又AODOO，所以BC平面ADO因为AD平面A
21、DO，所以ADBC（2）解：因为平面BCDE平面ABC，平面BCDE平面ABCBC，所以DO平面ABC因为SCDO：SDOBE1：2，所以平面ADO即为平面以O为坐标原点，以OA，OB，OD所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，不妨设AB2，则O（0，0，0），B（0，1，0），C（0，1，0），D（0，0，1），所以，设平面ADC的法向量为，则，令x1，则，所以又平面的一个法向量为设平面与平面ADC所成的角（锐角）为，则，所以平面与平面ADC所成锐二面角的余弦值为19若数列an及bn满足且a11，b16（1）证明：bn3an+3（nN*）；（2）求数列an和bn
22、的通项公式【解答】（1）证明：，bn+13an+bn+3，bn+13an+1+3，当n2且nN*时，有bn3an+3，又a11，b16，满足b13a1+3，对任意nN*，有bn3an+3；（2）解：将bn+13an+1+3，bn3an+3代入bn+13an+bn+3，得an+12an+1，即an+1+12（an+1），又a1+120，数列an+1是以2为首项，以2为公比的等比数列，即20一个国家的数学实力往往影响着国家的科技发展，几乎所有的重大科技进展都与数学息息相关，我国第五代通讯技术（5G）的进步就是源于数学算法的优化华为公司所研发的SingleRAN算法在部署5G基站时可以把原来的4G、
23、3G基站利用起来以节省开支，华为创始人任正非将之归功于“数学的力量”，近年来，我国加大5G基站建设力度，基站已覆盖所有地级市，并逐步延伸到乡村（1）现抽样调查英市所轴的A地和B地5G基站覆盖情况，各取100个村，调查情况如表：已覆盖未覆盖A地2080B地2575视样本的频率为总体的概率，假设从A地和B地所有村中各随机抽取2个村，求这4个村中A地5G已覆盖的村比B地多的概率；（2）该市2020年已建成的5G基站数y与月份x的数据如表：x123456789101112y283340428547701905115114231721210926013381探究上表中的数据发现，因年初受新冠疫情影响，5
24、G基站建设进度比较慢，随着疫情得到有效控制，5G基站建设进度越来越快，根据散点图分析，已建成的5G基站数呈现先慢后快的非线性变化趋势，采用非线性回归模型拟合比较合理，请结合参考数据，求5G基站数y关于月份x的回归方程（的值精确到0.01）附：设ulny，则uilnyi，（i1，2，12），u6.88，对于样本（xi，yi），（i1，2，n）的线性回归方程有，解：（1）用样本估计总体，抽到A地5G覆盖的村概率为，抽到B地5G覆盖的村概率为，A地抽到的2个村中5G基站覆盖的村个数为X，则X满足二项分布，i0，1，2；B地抽到的2个村中5G基站覆盖的村个数为Y，则Y满足二项分布，i0，1，2从A地和
25、B地各随机抽取2个村，这4个村中A地5G覆盖的村比B地5G覆盖的村多的概率为：PP（X1）P（Y0）+P（X2）P（Y0）+P（X2）P（Y1）（2）由指数模型，设ulny，则ulna+bx，则u与x是线性相关关系，6.88，32.42，0.23，lna6.880.236.55.39，u5.39+0.23x，即ye5.39+0.23x21已知抛物线C：x22py（p0）的焦点为F，点（m，1）在抛物线C上，该点到原点的距离与到C的准线的距离相等（1）求抛物线C的方程；（2）过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，且与以焦点F为圆心2为半径的圆交于M，N两点，点B，N在y轴右侧证明：当直线l与
26、x轴不平行时，|AM|BN|；过点A，B分别作抛物线C的切线l1，l2，l1与l2相交于点D，求DAM与DBN的面积之积的取值范围解：（1）由题意可得，解得p4，所以抛物线C的方程为x28y（2）由（1）知，圆F方程为：x2+（y2）21，由已知可设l：ykx+2，且A（x1，y1），B（x2，y2），由得x28kx160，设Q（x0，y0）是抛物线C上任一点，则，故抛物线与圆相离证明：当直线l与x轴不平行时，有k0，方法一：由抛物线定义知，|AF|y1+2，|BF|y2+2所以|AM|BN|（|AF|2）（|BF|2）|AF|BF|y1y2|（kx1+2）（kx2+2）|，所以|AM|BN|
27、方法二：因为A、M、N、B四点共线，M、N中点为F（0，2），若|AM|BN|，则必有AB中点与M、N中点重合，即x1+x20，因为x1+x28k0，所以|AM|BN|由（1）知抛物线方程为所以所以过点A的切线，即同理可得，过点B的切线l2为由l1，l2方程联立，得，解之，得，又得，所以D（4k，2）到l：ykx+2的距离，|AM|BN|（|AF|2）（|BF|2）（y1+2）2（y2+2）2，从而22已知函数，g（x）aex+cosx，其中aR（1）讨论函数f（x）的单调性，并求不等式f（x）0的解集；（2）若a1，证明：当x0时，g（x）2；（3）用maxm，n表示m，n中的最大值，设函数
28、h（x）maxf（x），g（x），若h（x）0在（0，+）上恒成立，求实数a的取值范围解：（1）f（x）（x3）ex3x+3（x3）（ex31），（1分）当x3时，x30，ex310，f（x）0，当x3时，x30，ex310，f（x）0，当x3时，f（x）0，所以当xR时，f（x）0，即f（x）在R上是增函数； 又f（3）0，所以f（x）0的解集为（3，+） （2）g（x）exsinx 由x0，得ex1，sinx1，1，则g（x）exsinx0，即g（x）在（0，+）上为增函数 故g（x）g（0）2，即g（x）2 （3）由（1）知，当x3时，f（x）0恒成立，故h（x）0恒成立；当x3时，f（x）0，因为h（x）maxf（x），g（x），要使得h（x）0恒成立，只要g（x）0在（0，3）上恒成立即可 由g（x）aex+cosx0，得设函数，x0，3，则 令r（x）0，得随着x变化，r（x）与r（x）的变化情况如下表所示：x（0，）r（x）+0r（x）单调递增极大值单调递减所以r（x）在（0，）上单调递增，在（，3）上单调递减 r（x）在（0，3）上唯一的一个极大值，即极大值r（），故a综上所述，所求实数a的取值范围为，+）
