1、考点测试15函数的实际应用高考概览高考在本考点的常考题型多为选择题、填空题，分值为5分，中等难度考纲研读1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义2了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用一、基础小题1一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(小时)的函数关系用图象表示正确的是()答案B解析蜡烛剩下的长度随时间增长而缩短，根据实际意义选B.2某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，表格中是某公司前5天监测到的数据：第x天1
2、2345被感染的计算机数量y/台12244995190则下列函数模型中能较好地反映在第x天被感染的数量y与x之间的关系的是()Ay12x By6x26x12Cy62x Dy12log2x12答案C解析由表格中数据可知，每一天的计算机被感染台数大约是前一天的2倍，故增长速度符合指数型函数故选C.3国家相继出台多项政策控制房地产行业，现在规定房地产行业收入税如下：年收入在280万元及以下的税率为p%，超过280万元的部分按(p2)%征税，有一公司的实际缴税比例为(p0.25)%，则该公司的年收入是()A560万元 B420万元C350万元 D320万元答案D解析设该公司的年收入为a万元，则280p
3、%(a280)(p2)%a(p0.25)%，解得a320.故选D.4.某观察者站在点O观察练车场上匀速行驶的小车P的运动情况，小车P从点A出发的运动轨迹如图所示设观察者从点A开始随小车P变化的视角为AOP，练车时间为t，则函数f(t)的图象大致为()答案D解析根据小车P从点A出发的运动轨迹可得，视角AOP的值先增大，然后又减小，接着基本保持不变，然后又减小，最后又快速增大故选D.5建筑学中必须要对组合墙的平均隔声量进行设计组合墙是指带有门或窗等的隔墙，假定组合墙上有门、窗及孔洞等几种不同的部件，各种部件的面积分别为S1，S2，Sn(单位：m2)，其相应的透射系数分别为1，2，n，则组合墙的平均
4、隔声量应由各部分的透射系数的平均值确定：，于是组合墙的平均隔声量(单位：dB)为R10lg .已知某墙的透射系数为，面积为20 m2，在墙上有一门，其透射系数为，面积为2 m2，则组合墙的平均隔声量为()A10 dB B20 dB C30 dB D40 dB答案C解析由题意知组合墙的透射系数的平均值103，所以组合墙的平均隔声量R10lg 10lg 30 dB.故选C.6某企业准备投入适当的广告费对甲产品进行促销宣传，在一年内预计销售量y(万件)与广告费x(万元)之间的函数关系为y1(x0).已知生产此产品的年固定投入为4万元，每生产1万件此产品仍需再投入30万元，且能全部售完若每件甲产品售价
5、(元)定为“平均每件甲产品所占生产成本的150%”与“年平均每件甲产品所占广告费的50%”之和，则当广告费为1万元时，该企业甲产品的年利润为()A30.5万元 B31.5万元C32.5万元 D33.5万元答案B解析由题意，得甲产品的生产成本为(30y4)万元，销售单价为150%50%，故年销售收入为zy45y6x.所以年利润Wz(30y4)x15y217(万元).所以当广告费为1万元时，即x1，该企业甲产品的年利润为1731.5(万元).故选B.7某工厂产生的废气经过过滤后排放，在过滤过程中，污染物的数量p(单位：毫克/升)不断减少，已知p与时间t(单位：小时)满足p(t)p02，其中p0为t
6、0时的污染物数量又测得当t0，30时，污染物数量的平均变化率是10ln 2，则p(60)()A150毫克/升 B300毫克/升C150ln 2毫克/升 D300ln 2毫克/升答案C解析因为当t0，30时，污染物数量的平均变化率是10ln 2，所以10ln 2，所以p0600ln 2，因为p(t)p02，所以p(60)600ln 222150ln 2(毫克/升).8某公司为了实现1000万元销售利润的目标，准备制订一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按照销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x的增加而增加，但奖金不超过5万元，同时奖金不超过销售利润的25%，则下列
7、函数最符合要求的是()Ayx Bylg x1Cy Dy答案B解析由题意知，x10，1000，符合公司要求的模型需同时满足：函数为增函数；函数的最大值不超过5；yx25%.对于yx，易知满足，但当x20时，y5，不满足要求；对于y，易知满足，因为5，故当x4时，不满足要求；对于y，易知满足，但当x25时，y5，不满足要求；对于ylg x1，易知满足，当x10，1000时，2y4，满足，再证明lg x1x25%，即4lg x4x0，设F(x)4lg x4x，则F(x)10，x10，1000，所以F(x)为减函数，F(x)maxF(10)4lg 1041020，满足.故选B.9(多选)一辆赛车在一个
8、周长为3 km的封闭跑道上行驶，跑道由几段直道和弯道组成，图1反映了赛车在“计时赛”整个第二圈的行驶速度与行驶路程之间的关系以下四个说法中正确的是()A在这第二圈的2.6 km到2.8 km之间，赛车速度逐渐增加B在整个跑道上，最长的直线路程不超过0.6 kmC大约在这第二圈的0.4 km到0.6 km之间，赛车开始了那段最长直线路程的行驶D在图2的四条曲线(注：s为初始记录数据位置)中，曲线B最能符合赛车的运动轨迹答案AD解析由图1知，在2.6 km到2.8 km之间，曲线上升，故在这第二圈的2.6 km到2.8 km之间，赛车速度逐渐增加，故A正确；在整个跑道上，高速行驶时最长为(1.8，
9、2.4)km之间，但直道加减速也有过程，故最长的直线路程有可能超过0.6 km，故B不正确；最长直线路程应在1.4 km到1.8 km之间开始，故C不正确；由图1可知，跑道应有三个弯道，且两长一短，故D正确故选AD.10.(多选)某医药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该药物，注射后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间的关系近似满足如图所示的曲线据进一步测定，当每毫升血液中含药量不少于0.125微克时，治疗该病有效，则()Aa3B注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时C注射该药物小时后每毫升血液中的含药量为0.4微克D注射一次治疗该病的有效时间长度为5小
10、时答案AD解析把点M的坐标代入y，得4，解得a3，A正确；易知当0t1时，y4t，40.5，C错误；由于y令y0.125，得或解得t6，65，所以注射一次该药物治疗该病的有效时间长度为5小时，B错误，D正确11.小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯遗忘曲线，为了解自己记忆一组单词的情况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制图象，拟合了记忆保持量f(x)与时间x(天)之间的函数关系：f(x)某同学根据小菲拟合后的信息得到以下结论：随着时间的增加，小菲的单词记忆保持量降低；9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%；26天后，小菲的单词记忆保持量不足20%.其中正确结论的序号有_(请写出所有正确结论的序号)
11、答案解析由函数的图象可知f(x)随着x的增加而减少，故正确；当1，故错误12已知投资x万元经销甲商品所获得的利润为P，投资x万元经销乙商品所获得的利润为Q(a0).若投资20万元同时经销这两种商品或只经销其中一种商品，使所获得的利润不少于5万元，则a的最小值为_答案解析设投资乙商品x万元(0x20)，则投资甲商品(20x)万元则利润分别为Q(a0)，P，由题意得PQ5，0x20时恒成立，则化简得a，在0x20时恒成立x0时，a为一切实数；0x20时，分离参数得a，0x20时恒成立，所以a，a的最小值为.二、高考小题13(2021新高考卷)北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果在卫星导
12、航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000 km(轨道高度是指卫星到地球表面的距离).将地球看作是一个球心为O，半径r为6400 km的球，其上点A的纬度是指OA与赤道平面所成角的度数地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为S2r2(1cos )(单位：km2)，则S占地球表面积的百分比约为()A26% B34% C42% D50%答案C解析由题意可得，S占地球表面积的百分比约为0.4242%.故选C.14(2020新高考卷)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数基本再生数指一个感染者传染的
13、平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R01rT.有学者基于已有数据估计出R03.28，T6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 20.69)()A1.2天 B1.8天C2.5天 D3.5天答案B解析因为R03.28，T6，R01rT，所以r0.38，所以I(t)erte0.38t.设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为t1天，则e0.38(tt1)2e0.38t，所以e0.38t12
14、，所以0.38t1ln 2，所以t11.8天故选B.15(2020北京高考)为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改设企业的污水排放量W与时间t的关系为Wf(t)，用的大小评价在a，b这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示给出下列四个结论：在t1，t2这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；甲企业在0，t1，t1，t2，t2，t3这三段时间中，在0，t1的污水治理能力最强其中所有正确结论的序号是_答案解
15、析表示区间端点连线的斜率的相反数，在t1，t2这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强，正确；在t2时刻，甲对应图象的切线的斜率比乙的小，所以切线的斜率的相反数比乙的大，所以甲企业的污水治理能力比乙企业强，正确；在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水达标排放量以下，所以都已达标，正确；甲企业在0，t1，t1，t2，t2，t3这三段时间中，在t1，t2这段时间内的斜率最小，其相反数最大，即在t1，t2的污水治理能力最强，错误三、模拟小题16(2022北京交通大学附属中学高三开学考试)在交通工程学中，常作如下定义：交通流量Q(辆/小时)：
16、单位时间内通过道路上某一横断面的车辆数；车流速度V(千米/小时)：单位时间内车流平均行驶过的距离；车流密度K(辆/千米)：单位长度道路上某一瞬间所存在的车辆数一般的，V和K满足一个线性关系，即Vv0(其中v0，k0是正数)，则以下说法正确的是()A随着车流密度增大，车流速度增大B随着车流密度增大，交通流量增大C随着车流密度增大，交通流量先减小，后增大D随着车流密度增大，交通流量先增大，后减小答案D解析由Vv0，得V随K的增大而减小，Kk0V，由单位关系，得QVKVV2k0V，可以看成是Q关于V的二次函数，图象开口向下，所以随着车流速度V的增大，交通流量Q先增大后减小故选D.17(2021河北秦
17、皇岛第二次模拟)为了保证信息安全传输，有一种秘密密钥密码系统，其加密、解密原理如图：明文x密文t密文t明文y.现在加密密钥为t2ax1(a0且a1)，解密密钥为y3t5，如下所示：发送方发送明文“1”，通过加密后得到密文“18”，再发送密文“18”，接收方通过解密密钥解密得明文“49”，问若接收方接到明文“4”，则发送方发送的明文为()Alog32 Blog31C162 Dlog31答案A解析由加密密钥为t2ax1(a0且a1)，解密密钥为y3t5，且x1时，t2a1118，解得a3，所以y318549；当y3t54时，t3，令23x13，解得xlog31log32，所以发送方发送的明文是lo
18、g32.故选A.18(2021辽宁沈阳高三年级质量监测)5G技术的数学原理之一是著名的香农公式：CWlog2.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比当信噪比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计假设目前信噪比为1600，若不改变带宽W，而将最大信息传播速度C提升50%，那么信噪比要扩大到原来的约()A10倍 B20倍 C30倍 D40倍答案D解析由已知条件可知CWlog21600，设将最大信息传播速度C提升50%，那么信噪比要扩大到原来的t倍，则CWlog2(1600t)，可解得t40.故选D.19
19、(多选)(2021山东省德州市高三检测)如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的P点的距离是2 km，从P点沿海岸正东12 km处有一个城镇假设一个人驾驶的小船的平均速度为3 km/h，步行的速度为5 km/h，时间t(单位：h)表示他从小岛到城镇的时间，x(单位：km)表示此人将船停在海岸处距P点的距离设ux，vx，则()A函数vf(u)为减函数B15tu4v32C当x1.5时，此人从小岛到城镇花费的时间最少D当x4时，此人从小岛到城镇花费的时间不超过3 h答案AC解析ux，vx，uv4，v是减函数，故A正确；由题意可知t，0x12，15t53(12x)53x3636u4v36，15tu4v36
20、，故B错误；t，0x12，t，令t0，得x，当x时，t0，t(x)单调递减；当x时，t0，t(x)单调递增，当x时，t(x)最小，且最短时间为 h，故C正确；当x4时，t3，故D错误故选AC.20(2021石家庄二模)某工厂常年生产红木家具，根据预测可知，该产品近10年的产量平稳增长记2018年为第1年，且前4年中，第x年与年产量f(x)(单位：万件)之间的关系如下表所示：x1234f(x)4.005.617.008.87若f(x)近似符合以下三种函数模型之一：f(x)axb，f(x)2xa，f(x)logxa.则你认为最适合的函数模型的序号为_答案解析若模型为f(x)2xa，则由f(1)21
21、a4，得a2，即f(x)2x2，此时f(2)6，f(3)10，f(4)18，与表格数据相差太大，不符合；若模型为f(x)logxa，则f(x)是减函数，与表格数据相差太大，不符合；若模型为f(x)axb，由已知得解得所以f(x)x，xN*，将x2，x4代入验证可得f(x)的值与表中数据较为接近，所以最适合的函数模型的序号为.21(2022广东广州荔湾区高三上调研考试)把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是1 ，空气的温度是0 ，则t min后物体的温度(单位：)可由公式0(10)ekt求得，其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数，现有52 的物体，放在12 的空气中冷却，2 min以后物体的温度是32 ，则再经过6 min该物体的温度可冷却到_答案14.5 解析依题意得，3212(5212)e2k，整理得到e2k，解得k；那么6 min后，即t8时，12(5212) 124014.5.本考点在近三年高考中未涉及此题型