1、考点测试43抛物线高考概览本考点是高考必考知识点，常考题型为选择题、填空题、解答题，分值为5分或12分，中、高等难度考纲研读1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)2理解数形结合的思想3了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用一、基础小题1抛物线y4ax2(a0)的焦点坐标是()A(0，a)B(a,0)C.D答案C解析将y4ax2(a0)化为标准方程得x2y(a0)，所以焦点坐标为.故选C.2顶点在坐标原点，准线为y2的抛物线的方程为()Ax28yBx24yCy28xDy24x答案A解析顶点在坐标原点，准线为y2的抛物线的方程为x28y.故选A.3设抛
2、物线y28x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线准线的距离为()A4B6C.8D12答案B解析因为抛物线y28x的准线方程是x2，所以点P到该抛物线准线的距离为426.故选B.4到定点A(2,0)与定直线l：x2的距离相等的点的轨迹方程为()Ay28xBy28xCx28yDx28y答案A解析由抛物线的定义可知该轨迹为抛物线且p4，焦点在x轴正半轴上故选A.5若抛物线y22px(p0)上的点A(x0，)到其焦点的距离是A到y轴距离的3倍，则p等于()A.B1C.D2答案D解析由题意，得3x0x0，x0，则2，p0，p2.故选D.6过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(
3、x2，y2)两点，若x1x26，则|AB|等于()A4B6C.8D10答案C解析由抛物线y24x得p2，由抛物线定义可得|AB|x11x21x1x22，又因为x1x26，所以|AB|8.故选C.7若抛物线y4x2上一点到直线y4x5的距离最短，则该点为()A(1,2)B(0,0)C.D(1,4)答案C解析解法一：根据题意，直线y4x5必然与抛物线y4x2相离，抛物线上到直线的距离最短的点就是与直线y4x5平行的抛物线的切线的切点由y8x4得x，故抛物线的斜率为4的切线的切点坐标是，该点到直线y4x5的距离最短故选C.解法二：抛物线上的点(x，y)到直线y4x5的距离是d，显然当x时，d取得最小
4、值，此时y1.故选C.8(多选)设抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点若ABD90，且ABF的面积为9，则下列说法正确的是()AABF是等边三角形B|BF|3C点F到准线的距离为3D抛物线C的方程为y26x答案ACD解析以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点，ABD90，由抛物线的定义可得|AB|AF|BF|，ABF是等边三角形，FBD30.ABF的面积为|BF|29，|BF|6.又点F到准线的距离为|BF|sin303p，则该抛物线C的方程为y26x.故选ACD.9(多选)已知抛物线C：y22px(p0)的焦点
5、F到准线的距离为2，过点F的直线与抛物线交于P，Q两点，M为线段PQ的中点，O为坐标原点，则()AC的准线方程为y1B线段PQ长度的最小值为4CM的坐标可能为(3,2)D.3答案BCD解析对于A，因为焦点F到准线的距离为2，即p2，所以抛物线C的焦点为F(1,0)，准线方程为x1，故A错误；对于B，C，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线PQ的方程为xmy1，则由消去x，得y24my40，16m2160，所以y1y24m，x1x2m(y1y2)24m22，|PQ|x1x224m244，当m1时，可得M(3,2)，故B，C正确；对于D，因为y1y24，x1x2(my11)(my21)m(y
6、1y2)m2y1y211，所以x1x2y1y23，故D正确故选BCD.10. 如图，点F是抛物线C：x24y的焦点，点A，B分别在抛物线C和圆x2(y1)24的实线部分上运动，且AB总是平行于y轴，则AFB周长的取值范围是_答案(4,6)解析抛物线C：x24y的焦点为F(0,1)，准线方程为y1，圆x2(y1)24的圆心F(0,1)，半径R2，|FB|2，|AF|yA1，|AB|yByA，AFB的周长为|FB|AF|AB|2yA1yByA3yB，1yB0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p()A2B3C.6D9答案C解析设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知|AF|xA1
7、2，即912，解得p6.故选C.12(2020全国卷)设O为坐标原点，直线x2与抛物线C：y22px(p0)交于D，E两点，若ODOE，则C的焦点坐标为()A.BC(1,0)D(2,0)答案B解析因为直线x2与抛物线y22px(p0)交于D，E两点，且ODOE，不妨设点D在第一象限，根据抛物线的对称性可得DOxEOx，所以D(2,2)，代入y22px，得44p，解得p1，所以其焦点坐标为.故选B.13(2018全国卷)设抛物线C：y24x的焦点为F，过点(2,0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，则()A5B6C.7D8答案D解析根据题意，过点(2,0)且斜率为的直线方程为y(x2)，与抛物线
8、方程联立消去x并整理，得y26y80，解得y2或y4，所以或不妨设M(1,2)，N(4,4)，又F(1,0)，所以(0,2)，(3,4)从而可以求得03248.故选D.14(2021新高考卷)已知O为坐标原点，抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQOP.若|FQ|6，则C的准线方程为_答案x解析解法一：不妨设点P在第一象限，如图，由已知可得P，所以kOP2，又PQOP，所以kPQ.所以直线PQ的方程为yp.令y0，得xp.所以|FQ|p2p6，所以p3，所以C的准线方程为x.解法二：由题易得|OF|，|PF|p，OPFPQF，|PF|2|O
9、F|FQ|，即p26，解得p3或p0(舍去)，所以C的准线方程为x.15(2021北京高考)已知抛物线C：y24x，焦点为F，点M为抛物线C上的点，且|FM|6，则M的横坐标是_；作MNx轴于N，则SFMN_.答案54解析因为抛物线的方程为y24x，故p2且F(1,0)因为|MF|6，所以xM6，解得xM5，故yM2，所以SFMN(51)24.16(2020新高考卷)斜率为的直线过抛物线C：y24x的焦点，且与C交于A，B两点，则|AB|_.答案解析抛物线的方程为y24x，抛物线的焦点为F(1,0)，又直线AB过焦点F且斜率为，直线AB的方程为y(x1)，代入抛物线方程消去y并化简得3x210
10、x30，解法一：解得x1，x23，|AB|x1x2|.解法二：10036640，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，过A，B分别作准线x1的垂线，设垂足分别为C，D，如图所示，|AB|AF|BF|AC|BD|x11x21x1x22.三、模拟小题17(2022湖北襄阳五中高三开学考试)过抛物线yx2的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若l的倾斜角为45，则线段AB的中点到x轴的距离是()A.B2C.4D3答案D解析由题意，抛物线为x24y，则F(0,1)，即直线l为yx1，将直线方程代入抛物线整理得：x24x40，令A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x24，故线段AB的中
11、点的横坐标为2代入直线l，得y3.线段AB的中点到x轴的距离是3.故选D.18(2022河北正定中学高三开学考试)过点P作抛物线C：x22y的切线l1，l2，切点分别为M，N，若PMN的重心坐标为(1,1)，且P在抛物线D：y2mx上，则D的焦点坐标为()A.BC.D答案A解析设切点坐标为M，N，由x22y，得y，所以yx，故直线l1的方程为yx1(xx1)，即yx1x，同理直线l2的方程为yx2x，联立l1，l2的方程可得x，y，设PMN的重心坐标为(x0，y0)，则x01，y01，即所以则P的坐标为(1，1)，将P点坐标代入抛物线D：y2mx，得到(1)2m1，解得m1，故D的焦点坐标为.
12、故选A.19(2021新高考八省联考)已知抛物线y22px上三点A(2,2)，B，C，直线AB，AC是圆(x2)2y21的两条切线，则直线BC的方程为()Ax2y10B3x6y40C2x6y30Dx3y20答案B解析因为点A(2,2)在抛物线y22px上，故222p2，即p1，所以抛物线的方程为y22x.易知直线AB，AC的斜率都存在，设过点A(2，2)与圆(x2)2y21相切的直线的方程为y2k(x2)，即kxy22k0，则圆心(2,0)到切线的距离d1，解得k.如图，直线AB：y2(x2)，直线AC：y2(x2)联立得3x2(414)x1680，故xAxB，由xA2得xB，故yB.联立得3
13、x2(414)x1680，故xAxC，由xA2得xC，故yC，故yByC4，又由B，C在抛物线上可知，直线BC的斜率kBC，故直线BC的方程为y，即3x6y40.故选B.20(多选)(2022湖南娄底双峰县第一中学高三上学期入学摸底)抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，准线l交x轴于点Q(2,0)，过焦点的直线m与抛物线C交于A，B两点，则()Ap2B|AB|8C直线AQ与BQ的斜率之和为0D准线l上存在点M，若MAB为等边三角形，可得直线AB的斜率为答案BCD解析对A，由准线l交x轴于点Q(2,0)，所以2，p4，故A错误，对B，抛物线过焦点的弦中通径最短，即垂直于x轴时，令x2，可得y
14、4，故|AB|8，故B正确；对C，设直线m的方程为xny2，代入抛物线方程可得y28ny160，设A(x1，y2)，B(x2，y2)，则有y1y28n，y1y216，所以kAQkBQ0，故C正确；对D，若MAB为等边三角形，设A，B中点为N(a，b)，则a4n22，b4n，设M(2，t)，所以n，所以t4n38n，则M(2,4n38n)，则点M(2,4n38n)到直线m的距离d，而|AB|x1x2pn(y1y2)448n28，由d|AB|可得(8n28)，解得，所以n，此时AB的斜率为，故D正确故选BCD.21. (多选)(2021湖南师大附中高三第二次月考)如图，过点P(2，0)作两条直线x
15、2和l：xmy2(m0)分别交抛物线y22x于A，B和C，D(其中A，C位于x轴上方)，直线AC，BD交于点Q，则下列说法正确的是()AC，D两点的纵坐标之积为4B点Q在定直线x2上C点P与抛物线上各点的连线中，PA最短D无论CD旋转到什么位置，始终有CQPBQP答案AB解析设点C(x1，y1)，D(x2，y2)，将直线l的方程xmy2代入抛物线方程y22x，得y22my40，则y1y24，故A正确；由题得A(2,2)，B(2，2)，直线AC的方程为y2(x2)，直线BD的方程为y2(x2)，消去y得x，将y1y24代入上式得x2，故点Q在直线x2上，故B正确；对于抛物线上的点(1，)，到点P
16、的距离为|PA|，故C错误；因为|PA|PB|，但|QA|QB|，所以D错误故选AB.22(2021昆明模拟)已知点A是抛物线y22px(p0)上一点，F为其焦点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交准线于B，C两点，FBC为正三角形，且ABC的面积是，则抛物线的标准方程为_答案y216x解析如图，设抛物线的准线交x轴于点D，依题意得|DF|p，cos30，因此|BF|，|AF|BF|.由抛物线的定义知，点A到准线的距离也为，又ABC的面积为，因此有，p8，所以该抛物线的标准方程为y216x.23(2022河北唐山高三上开学摸底)设抛物线C：y24x的焦点为F，直线l：xmy1与C交于A，B两点，
17、若AFBF，则m_，|AF|BF|_.答案8解析由题意，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程组整理得y24my40，可得y1y24m，y1y24，因为AFBF，可得1，即y1y2x1x2(x1x2)10，得y1y2(my11)(my21)m(y1y2)210，即(m21)y1y22m(y1y2)40，代入可得4(m21)2m4m40，整理得m22，解得m，又x1x2m(y1y2)24m226，由抛物线的定义，可得|AF|x1x11，|BF|x2x21，所以|AF|BF|x1x228.一、高考大题1(2021全国乙卷)已知抛物线C：x22py(p0)的焦点为F，且F与圆M：x2(y4)
18、21上点的距离的最小值为4.(1)求p；(2)若点P在M上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求PAB面积的最大值解(1)因为焦点F到圆M：x2(y4)21上点的距离的最小值为|FM|1413，所以34，所以p2.(2)解法一：由(1)知抛物线C：x24y，即y.所以y.设切点A(x1，y1)，切点B(x2，y2)，则lPA：yx，lPB：yx.从而可得P.由题意可知直线AB的斜率存在，设lAB：ykxb，与抛物线C：x24y联立，得消去y，得x24kx4b0，则16k216b0，即k2b0，且x1x24k，x1x24b，所以P(2k，b)因为|AB|，点P到直线AB的距离d，所以SPA
19、B|AB|d |2k22b|4(k2b) .(*)又点P(2k，b)在圆M：x2(y4)21上，所以k2.将该式代入(*)式，得SPAB4.而yPb5，3，所以b3,5所以当b5时，PAB的面积最大，最大值为20.解法二：由(1)知抛物线C：x24y，即y.所以y.设切点A(x1，y1)，切点B(x2，y2)，圆M上任意一点P(x0，y0)，则易得lPA：yxy1，lPB：yxy2，联立得P.所以x0，y0，又线段AB的中点Q的坐标为.所以SPAB|PQ|x1x2|x1x2|x1x2|x1x2|33333.(*)又点P(x0，y0)在圆M：x2(y4)21上，所以x1(y04)2，代入(*)式
20、，得SPAB(y12y015).而y05，3，所以y05时，PAB的面积最大，最大值为20.2. (2021浙江高考)如图，已知F是抛物线y22px(p0)的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且|MF|2.(1)求抛物线的方程；(2)设过点F的直线交抛物线于A，B两点，若斜率为2的直线l与直线MA，MB，AB，x轴依次交于点P，Q，R，N，且满足|RN|2|PN|QN|，求直线l在x轴上截距的取值范围解(1)因为M是抛物线的准线与x轴的交点，且|MF|2，所以p2.所以抛物线的方程为y24x.(2)由(1)知，F(1,0)，M(1,0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为
21、xmy1，直线l的方程为y2xn(n2)由可得y24my40，显然0，所以y1y24m，y1y24，所以yy(y1y2)22y1y216m28.易知直线AM的方程为y(x1)，则由可得P.同理可得Q，所以|yPyQ|.由可得yR.因为|RN|2|PN|QN|，所以y|yPyQ|，所以2，所以142，所以n2或21或47b0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|AB|.(1)求C1的离心率；(2)设M是C1与C2的公共点，若|MF|5，求C1与C2的标准方程解(1)F(c,0)，ABx轴且与椭圆C1相
22、交于A，B两点，直线AB的方程为xc，联立解得则|AB|.抛物线C2的方程为y24cx，把xc代入y24cx，得y2c，|CD|4c.|CD|AB|，即4c，2b23ac.又b2a2c2，2c23ac2a20，即2e23e20，解得e或e2，0e1，e，椭圆C1的离心率为.(2)由(1)知a2c，bc，椭圆C1的方程为1，联立消去y并整理得3x216cx12c20，解得xc或x6c(舍去)，由抛物线的定义可得|MF|cc5，解得c3.曲线C1的标准方程为1，曲线C2的标准方程为y212x.4(2020浙江高考) 如图，已知椭圆C1：y21，抛物线C2：y22px(p0)，点A是椭圆C1与抛物线
23、C2的交点，过点A的直线l交椭圆C1于点B，交抛物线C2于点M(B，M不同于A)(1)若p，求抛物线C2的焦点坐标；(2)若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值解(1)当p时，C2的方程为y2x，故抛物线C2的焦点坐标为.(2)解法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，直线l的方程为xym，由得(22)y22mym220，所以y1y2，y0，x0y0m，因为M在抛物线上，所以m.由得y22p(ym)，即y22py2pm0，所以y1y02p，所以x1x0y1my0m2p22m，所以x12p22m.由得x24px20，所以x12p，则2p2p22m2p28p
24、16p，所以18p，解得p2，p ，所以p的最大值为，此时A.解法二：设直线l的方程为xmyt(m0，t0)，A(x0，y0)将xmyt代入y21，得(m22)y22mtyt220，所以点M的纵坐标为yM.将xmyt代入y22px，得y22pmy2pt0，所以y0yM2pt，解得y0，因此x0，由y1，解得4224160，所以当m，t时，p取到最大值为.5(2019浙江高考) 如图，已知点F(1,0)为抛物线y22px(p0)的焦点过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线上，使得ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F的右侧记AFG，CQG的面积分别为S1，S2.(1)求
25、p的值及抛物线的准线方程；(2)求的最小值及此时点G的坐标解(1)由题意得1，即p2.所以抛物线的准线方程为x1.(2)设A(xA，yA)，B(xB，yB)，C(xC，yC)，重心G(xG，yG)令yA2t，t0，则xAt2.由于直线AB过F，故直线AB的方程为xy1，代入y24x，得y2y40，故2tyB4，即yB，所以B.又xG(xAxBxC)，yG(yAyByC)及重心G在x轴上，得2tyC0，得C，G.所以直线AC的方程为y2t2t(xt2)，得Q(t21,0)由于Q在焦点F的右侧，故t22.从而2.令mt22，则m0，2221.当m时，取得最小值1，此时G(2,0)二、模拟大题6(2
26、022湖北恩施州高三上第一次教学质量监测)已知抛物线C：y22px(p0)的顶点为A，直线yx与拋物线C的交点(异于点A)到点A的距离为4，(1)求抛物线C的标准方程；(2)过点A作斜率为k(k0)的直线l与C交于点M(异于点A)，直线l关于直线yx对称的直线l1与C交于点N(异于点A)，求证：直线MN恒过定点解(1)联立得即交点坐标为(2p,2p)，所以4，p2，抛物线C的标准方程为y24x.(2)证明：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，将l：ykx代入抛物线方程得k2x24x0，所以x1，y1，即M.设直线l1：yk1x，同理x2，y2，因为直线l与直线l1关于直线yx对称，由图形对称
27、性，计算可得k1k1.所以x24k2，y24k，即N(4k2,4k)，又kMN，所以直线MN的方程为y，化简得y(x4)，所以直线MN恒过定点(4,0)7(2022山东青岛高三开学考试)已知O为坐标原点，抛物线C：y22px(p0)的准线与圆O：x2y25交于M，N两点，抛物线C与圆O交于M，N两点，且|MN|MN|.(1)求抛物线C的标准方程；(2)动点G在抛物线C的准线上，直线AB与抛物线C交于A，B两点，直线AB与抛物线C交于A，B两点，AB与AB的交点为G，且|GA|GB|2|GA|GB|.设直线AB，AB的斜率分别为k1，k2，证明：为定值解(1)因为所以xp或xp(舍去)，又因为|
28、MN|MN|，所以p，所以p2，所以抛物线C的标准方程为y24x.(2)证明：设G(1，m)，直线AB：yk1(x1)m，直线AB：yk2(x1)m，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，A(x3，y3)，B(x4，y4)，联立得k1y24y4m4k10，所以y1y2，y1y2，所以|GA|y1m|，|GB|y2m|，所以|GA|GB|y1y2m(y1y2)m2|，所以|GA|GB|(4m2)，同理可得|GA|GB|(4m2)，因为|GA|GB|2|GA|GB|，所以(4m2)2(4m2)，所以2，所以1，所以为定值1.8. (2021江苏七市第三次调研)如图，已知圆M：x224与抛物线E：x
29、2my(m0)相交于点A，B，C，D，且在四边形ABCD中，ABCD.(1)若，求实数m的值；(2)设AC与BD相交于点G，GAD与GBC组成的蝶形面积为S，求点G的坐标及S的最大值解(1)依据圆与抛物线的对称性，知四边形ABCD是以y轴为对称轴的等腰梯形，设A(x1，y1)，D(x2，y2)，则B(x1，y1)，C(x2，y2)，联立消去x，得y2(m5)y0.(*)因为方程(*)有互异的两个正根，所以解得0m2.由，得x1x2y1y2，即my1y2，由y1y2，得m1.(2)依据对称性，点G在y轴上，可设G(0，a)由kAGkAC，得.所以.所以a，即G.解法一：SS梯形ABCD(SGAB
30、SGCD)(x1x2)(y2y1)x1(ay1)x2(y2a)x1y2x2y1a(x2x1)()a()()(a)3333.当且仅当m2m，即m1时，S取最大值3.解法二：SABDSABGx1()，所以S3.当且仅当m1时，S取最大值3.9(2021广西南宁高三检测)已知直线x2上有一动点Q，过点Q作直线l1垂直于y轴，动点P在l1上，且满足0(O为坐标原点)，记点P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)已知定点M，N，A为曲线C上一点，直线AM交曲线C于另一点B，且点A在线段MB上，直线AN交曲线C于另一点D，求MBD的内切圆半径r的取值范围解(1)设点P(x，y)，则Q(2，y)，(x，y)，(2，y)0，2xy20，即y22x.曲线C的方程为y22x.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x3，y3)，直线BD与x轴的交点为E，直线AB与MBD内切圆的切点为T.设直线AM的方程为yk，则联立方程组得k2x2(k22)x0，x1x2且0x1x2，x11，r在区间(1，)上单调递增，则r1，即r的取值范围为(1，).
