1、高考大题专项练四高考中的立体几何1.(2020全国,文19)如图,D为圆锥的顶点,O是圆锥底面的圆心,ABC是底面的内接正三角形,P为DO上一点,APC=90.(1)证明:平面PAB平面PAC;(2)设DO=2,圆锥的侧面积为3,求三棱锥P-ABC的体积.答案：(1)证明由题设可知,PA=PB=PC.由于ABC是正三角形,故可得PACPAB,PACPBC.又APC=90,故APB=90,BPC=90.从而PBPA,PBPC,故PB平面PAC,所以平面PAB平面PAC.(2)解设圆锥的底面半径为r,母线长为l.由题设可得rl=3,l2-r2=2.解得r=1,l=3.从而AB=3.由(1)可得PA
2、2+PB2=AB2,故PA=PB=PC=62.所以三棱锥P-ABC的体积为1312PAPBPC=1312623=68.2.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,平面PAD平面ABCD,PAPD,PA=PD,E,F分别为AD,PB的中点.求证:(1)PEBC;(2)平面PAB平面PCD;(3)EF平面PCD.答案：证明(1)因为PA=PD,E为AD的中点,所以PEAD.因为底面ABCD为矩形,所以BCAD,所以PEBC.(2)因为底面ABCD为矩形,所以ABAD.又因为平面PAD平面ABCD,所以AB平面PAD,所以ABPD.又因为PAPD,所以PD平面PAB.所以平面PAB平面PC
3、D.(3)如图,取PC的中点G,连接FG,DG.因为F,G分别为PB,PC的中点,所以FGBC,FG=12BC.因为四边形ABCD为矩形,且E为AD的中点,所以DEBC,DE=12BC.所以DEFG,DE=FG.所以四边形DEFG为平行四边形.所以EFDG.又因为EF平面PCD,DG平面PCD,所以EF平面PCD.3.由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1-B1CD1后得到的几何体如图所示.四边形ABCD为正方形,O为AC与BD的交点,E为AD的中点,A1E平面ABCD.(1)证明:A1O平面B1CD1;(2)设M是OD的中点,证明:平面A1EM平面B1CD1.答案：证明(1)取B1
4、D1的中点O1,连接CO1,A1O1,因为ABCD-A1B1C1D1是四棱柱,四边形ABCD为正方形,所以A1O1OC,A1O1=OC,因此四边形A1OCO1为平行四边形,所以A1OO1C.又O1C平面B1CD1,A1O平面B1CD1,所以A1O平面B1CD1.(2)因为ACBD,E,M分别为AD和OD的中点,所以EMBD,又A1E平面ABCD,BD平面ABCD,所以A1EBD,因为B1D1BD,所以EMB1D1,A1EB1D1.又A1E,EM平面A1EM,A1EEM=E,所以B1D1平面A1EM,又B1D1平面B1CD1,所以平面A1EM平面B1CD1.4.如图,在底面是菱形的四棱柱ABCD
5、-A1B1C1D1中,ABC=60,AA1=AC=2,A1B=A1D=22,点E在A1D上.(1)证明:AA1平面ABCD;(2)当A1EED为何值时,A1B平面EAC,并求出此时三棱锥D-AEC的体积.答案：(1)证明因为底面ABCD是菱形,ABC=60,所以AB=AD=AC=2.在AA1B中,由AA12+AB2=A1B2,知AA1AB.同理,AA1AD.又因为ABAD于点A,所以AA1平面ABCD.(2)解当A1EED=1时,A1B平面EAC.证明如下:连接BD交AC于O,当A1EED=1,即点E为A1D的中点时,连接OE,则OEA1B,所以A1B平面EAC.设AD的中点为F,连接EF.则
6、EFAA1,所以EF平面ACD,且EF=1,可求得SACD=3.所以VE-ACD=1313=33,即VD-AEC=VE-ACD=33.5.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD,底面ABCD为菱形,E为CD的中点.(1)求证:BD平面PAC;(2)若ABC=60,求证:平面PAB平面PAE;(3)棱PB上是否存在点F,使得CF平面PAE?说明理由.答案：(1)证明因为PA平面ABCD,所以PABD.又因为底面ABCD为菱形,所以BDAC.所以BD平面PAC.(2)证明因为PA平面ABCD,AE平面ABCD,所以PAAE.因为底面ABCD为菱形,ABC=60,且E为CD的中点,所以AEC
7、D.所以ABAE.所以AE平面PAB.所以平面PAB平面PAE.(3)解棱PB上存在点F,使得CF平面PAE.取PB的中点F,取PA的中点G,连接CF,FG,EG.则FGAB,且FG=12AB.因为底面ABCD为菱形,且E为CD的中点,所以CEAB,且CE=12AB.所以FGCE,且FG=CE.所以四边形CEGF为平行四边形.所以CFEG.因为CF平面PAE,EG平面PAE,所以CF平面PAE.6.如图,已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形,PA=6.顶点P在平面ABC内的正投影为点D,D在平面PAB内的正投影为点E,连接PE并延长交AB于点G.(1)证明:G是AB的中点;(2)在图中作出
8、点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由),并求四面体PDEF的体积.答案：(1)证明因为P在平面ABC内的正投影为D,所以ABPD.因为D在平面PAB内的正投影为E,所以ABDE.所以AB平面PED,故ABPG.又由已知可得,PA=PB,从而G是AB的中点.(2)解在平面PAB内,过点E作PB的平行线交PA于点F,F即为E在平面PAC内的正投影.理由如下:由已知可得PBPA,PBPC,又EFPB,所以EFPA,EFPC.因此EF平面PAC,即点F为E在平面PAC内的正投影.连接CG,因为P在平面ABC内的正投影为D,所以D是正三角形ABC的中心.由(1)知,G是AB的中点,所以D在CG上
9、,故CD=23CG.由题设可得PC平面PAB,DE平面PAB,所以DEPC,因此PE=23PG,DE=13PC.由已知,正三棱锥的侧面是直角三角形且PA=6,可得DE=2,PE=22.在等腰直角三角形EFP中,可得EF=PF=2.所以四面体PDEF的体积V=1312222=43.7.如图,在平行四边形ABCM中,AB=AC=3,ACM=90.以AC为折痕将ACM折起,使点M到达点D的位置,且ABDA.(1)证明:平面ACD平面ABC;(2)Q为线段AD上一点,P为线段BC上一点,且BP=DQ=23DA,求三棱锥Q-ABP的体积.答案：(1)证明由已知可得,BAC=90,BAAC.又BAAD,所
10、以AB平面ACD.又AB平面ABC,所以平面ACD平面ABC.(2)解由已知可得,DC=CM=AB=3,DA=32.又BP=DQ=23DA,所以BP=22.作QEAC,垂足为E,则QE13DC.由已知及(1)可得DC平面ABC,所以QE平面ABC,QE=1.因此,三棱锥Q-APB的体积为VQ-ABP=13QESABP=13112322sin45=1.8.(2020全国,文20)如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形,侧面BB1C1C是矩形,M,N分别为BC,B1C1的中点,P为AM上一点.过B1C1和P的平面交AB于E,交AC于F.(1)证明:AA1MN,且平
11、面A1AMN平面EB1C1F;(2)设O为A1B1C1的中心,若AO=AB=6,AO平面EB1C1F,且MPN=3,求四棱锥B-EB1C1F的体积.答案：(1)证明因为M,N分别为BC,B1C1的中点,所以MNCC1.又由已知得AA1CC1,故AA1MN.因为A1B1C1是正三角形,所以B1C1A1N.又B1C1MN,故B1C1平面A1AMN.所以平面A1AMN平面EB1C1F.(2)解AO平面EB1C1F,AO平面A1AMN,平面A1AMN平面EB1C1F=PN,故AOPN.又APON,故四边形APNO是平行四边形,所以PN=AO=6,AP=ON=13AM=3,PM=23AM=23,EF=13BC=2.因为BC平面EB1C1F,所以四棱锥B-EB1C1F的顶点B到底面EB1C1F的距离等于点M到底面EB1C1F的距离.作MTPN,垂足为T,则由(1)知,MT平面EB1C1F,故MT=PMsinMPN=3.底面EB1C1F的面积为12(B1C1+EF)PN=12(6+2)6=24.所以四棱锥B-EB1C1F的体积为13243=24.