1、成才之路 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索北师大版 必修4 第二章 平面向量成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 平面向量 第二章 第二章 章末归纳总结 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 第二章 章末归纳总结第二章 章末归纳总结 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 知 识 梳 理 2知 识 结 构 1专 题 探 究 3限 时 巩 固 4第二章 章末归纳总结 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 知 识 结 构第二章 章末归纳总结 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 第二章 章末归纳总结 成才之路
2、 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 第二章 章末归纳总结 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 第二章 章末归纳总结 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 知 识 梳 理第二章 章末归纳总结 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 本章从位移、速度、力引出了向量的概念，从位移的合成、速度的倍数引出了向量的加法、减法和数乘，定义了平面向量的坐标、向量的数量积及运算性质1向量的有关概念(1)向量既有大小又有方向的量叫向量，一般用a，b，c，来表示，或用有向线段的起点和终点的大写字母表示，如：AB.向量的大小，即向量的模(或称长度)，记
3、作|AB|.第二章 章末归纳总结 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 (2)零向量长度为零的向量，叫作零向量，其方向是任意的我们规定：零向量和任意向量平行(3)单位向量模为1个单位的向量(4)相等向量具有方向的线段，叫作有向线段同向且等长的有向线段表示同一向量，或相等的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为ab第二章 章末归纳总结 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 (5)相反向量与向量a方向相反且等长的向量叫作a的相反向量(6)向量共线向量共线也叫向量平行，这里的“平行”与两直线(或线段)平行的意义不同，两向量平行时，两向量可以在同一条直线上，甚至起点
4、都可以相同第二章 章末归纳总结 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 2向量的运算(1)向量加法的三角形法则是两向量首尾相接，和向量是以第一个向量的起点为起点，以第二个向量的终点为终点；向量减法的三角形法则是将两个向量的起点移到一起，差向量是连接两向量的终点，箭头指向被减向量的终点向量加法的平行四边形法则，是两向量始点重合，在这一点上与三角形法则是不同，但本质是相同的第二章 章末归纳总结 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 (2)数乘向量数乘向量的一般定义实数和向量a的乘积是一个向量，记作a，且a的长|a|a|.a(a0)的方向当0时，与a同方向；当|CD
5、|，且AB 与CD 同向，则ABCDC若ab，则abD由于零向量方向不定，故零向量不能与任一向量平行答案 C第二章 章末归纳总结 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 规范解答|a|b|，则a，b的长度相等，但方向之间无任何关系，A错，当|AB|CD|时，只是说明AB，CD 的模的关系，而向量不能比较大小，B错；零向量与任一向量平行，D错，故选C规律总结 理解并掌握向量的基本概念是研究平面向量的基础，要明确向量是有大小有方向的量，长度可比较大小，但向量不能比较大小，对零向量、单位向量、平行向量、共面向量等概念也必须掌握第二章 章末归纳总结 成才之路 高中新课程 学习指导 北师
6、大版 数学 必修4 下列命题是假命题的是()A两个向量的和仍是一个向量B当向量a与向量b不共线时，ab的方向与a，b的方向都不相同，且|ab|a|b|C当向量a与向量b同向时，ab，a，b都同向，并且|ab|a|b|D如果向量ab，那么a与b有相同的起点和终点答案 D第二章 章末归纳总结 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 解析 只要满足大小相等，方向相同，这些向量才是相等向量因为向量可以平移，所以向量的相等与向量的起始点无关，故选D第二章 章末归纳总结 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 1向量的加法、减法和数乘向量的综合运算，通常叫作向量的线性运算，
7、主要是运用它们的运算法则、运算律，解决三点共线、两线段平行、线段相等、求点的坐标等问题2理解向量的有关概念如平行向量(共线向量)、相等与相反向量、平面向量基本定理、单位向量等及其相应运算的几何意义；并能灵活应用基向量、平行四边形法则、三角形法则等，是求解有关向量线性运算的基础向量的线性运算第二章 章末归纳总结 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 例2 如图，在ABC中，AQ QC，AR 13 AB，BQ与CR相交于点I，AI的延长线与边BC交于点P.(1)用AB和AC分别表示BQ 和CR；(2)如果AIABBQ ACCR，求实数和的值；(3)确定点P在边BC上的位置第二章
8、章末归纳总结 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 规范解答(1)由AQ 12AC，可得BQ BAAQ AB12AC，又AR13AB，所以CRCAARAC13AB.(2)将BQ AB12AC，CRAC13AB，代入AIABBQ ACCR，第二章 章末归纳总结 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 则有AB(AB12AC)AC(AC13AB)，即(1)AB12AC13AB(1)AC.所以113，121，解得45，35.第二章 章末归纳总结 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 (3)设BPmBC，APnAI.由(2)，知AI15AB25AC，
9、所以BPAPABnAIABn(15AB25AC)AB2n5 AC(n51)ABmBCmACmAB，所以mn51，m2n5，解得m23，n53.所以BP23BC，即BPPC2.第二章 章末归纳总结 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 规律总结 结合图形，用已知向量表示未知向量，借助于相等向量对应系数相等构造方程组解决问题第二章 章末归纳总结 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 如右图所示，在平行四边形ABCD中，M是AB的中点，点N在对角线BD上，且BN13BD求证：M，N，C三点共线第二章 章末归纳总结 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必
10、修4 证明 设ABa，AD b，则MN MB BN12AB13BD 12AB13(AD AB)16AB13AD 16a13b13(12ab)，MC MB BC12ABAD 12abMN 13MC，向量MN 与MC 共线又由于MN 与MC 有公共点M，故M，N，C三点共线第二章 章末归纳总结 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 向量的数量积运算，是向量作为研究问题和解决问题工具的根本体现根据向量数量积的定义及变形形式，可非常简便地求解有关距离、角度问题，可以判断垂直及三角形形状问题，还可以证明某些平面几何问题向量的数量积运算第二章 章末归纳总结 成才之路 高中新课程 学习指导
11、 北师大版 数学 必修4 例3 已知四边形ABCD中，AB(6,1)，BC(x，y)，CD(2，3)(1)若 BCDA，求yf(x)的解析式；(2)在(1)的条件下，若 AC BD，求x，y的值以及四边形ABCD的面积第二章 章末归纳总结 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 思路分析(1)利用向量平行的坐标表示，整理可得函数的解析式；(2)根据条件先求出x，y的值，然后求出|AC|、|BD|，再利用S四边形ABCD12|AC|BD|求面积第二章 章末归纳总结 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 规范解答(1)DA(ABBCCD)(x4,2y)，BCDA，
12、x(2y)(x4)y0，整理得x2y0，y12x.第二章 章末归纳总结 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 (2)ACABBC(x6，y1)，BD BCCD(x2，y3)，且ACBD，ACBD 0，即(x6)(x2)(y1)(y3)0，由(1)知x2y，将其代入上式，整理得y22y30，解得y13，y21.第二章 章末归纳总结 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 当 y3 时，x6，于是BC(6,3)，AC(0,4)，BD(8,0)，|AC|4，|BD|8，S 四边形 ABCD12|AC|BD|124816.当 y1 时，x2，于是BC(2，1)，AC(
13、8,0)，BD(0，4)，|AC|8，|BD|4，S 四边形 ABCD12|AC|BD|128416.第二章 章末归纳总结 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 规律总结 平面向量的数量积是向量的核心内容，向量的平行、垂直是向量中最基本、最重要的位置关系，而向量的夹角、长度是向量的数量特征，利用向量的数量积可以证明两向量垂直、平行，求两向量的夹角，计算向量的长度等第二章 章末归纳总结 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 如图所示，ABC 为等腰直角三角形，且直角边 AB1，求ABBCBCCACAAB.分析 由已知得|AB|BC|1，|AC|2，并注意各乘积
14、中两向量的夹角第二章 章末归纳总结 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 解析 由已知得|AB|BC|1，|AC|2，又AB与BC 的夹角为 90，AB与CA，BC 与CA 的夹角均为135，ABBCBCCACAAB0|BC|CA|cos135|CA|AB|cos1351 2(22)1 2(22)2.第二章 章末归纳总结 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 点评 在数量积ab|a|b|cos中，是a与b的夹角，而两向量的夹角指的是以一个向量的正方向出发逆时针旋转到另一个向量的正方向时所转过的0，180范围内的角，因此，本题中BC与CA，CA与AB的夹角都应
15、为135，而不是45.第二章 章末归纳总结 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 例4 如右图所示，在AOB中，若A，B两点坐标分别为(2,0)，(3，4)，点C在AB上，且OC平分BOA，求点C的坐标向量的坐标运算规范解答 设点C坐标为(x，y)，由于cosAOCcosBOC，且cosAOC OA OC|OA|OC|，cosBOC OB OC|OB|OC|，第二章 章末归纳总结 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 OA OC|OA|OB OC|OB|，2，0 x，y23，4x，y5，y2x.又BC 与AC 共线，BC(x3，y4)，AC(x2，y)，(x
16、3)y(x2)(y4)0，第二章 章末归纳总结 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 4x5y80.由，联立解之得x47，y87.C点的坐标为47，87.规律总结 进行向量的线性运算时，对运算律及公式应熟练掌握，灵活运用第二章 章末归纳总结 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 已知两个向量a(3,4)，b(2，1)，当axb与ab垂直时，x的值为_答案 233第二章 章末归纳总结 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 解析 解法一：(axb)(ab)，(axb)(ab)0，即a2xababxb20，|a|2(x1)abx|b|20.|a|
17、2324225，|b|222(1)25，ab324(1)2.25(x1)25x0，x233.第二章 章末归纳总结 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 解法二：a(3,4)，b(2，1)，axb(3,4)x(2，1)(2x3,4x)，ab(3,4)(2，1)(1,5)又(axb)(ab)，(axb)(ab)0，(2x3)1(4x)50，即2x3205x0，x233.第二章 章末归纳总结 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 向量的综合应用例5 设坐标平面上全部向量集合为A，已知由A到A的映射f由f(x)x2(xa)a确定，其中xA，a(cos，sin)，R.
18、(1)当的取值范围变化时，ff(x)的结果是否变化？试证明你的结论(2)|m|5，|n|52，ff(m2n)与ff(2mn)垂直，求m，n的夹角第二章 章末归纳总结 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 思路分析(1)依条件式代入后判定；(2)代入求得mn可知结论规范解答(1)由于a(cos，sin)，则a21.ff(x)fx2(xa)ax2(xa)a2x2(xa)aaax2(xa)a2(xa)ax.所以ff(x)的结果不会随着的取值范围的变化而变化第二章 章末归纳总结 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 (2)由(1)知ff(m2n)m2n，ff(2mn
19、)2mn，由ff(m2n)与ff(2mn)垂直，得(m2n)(2mn)0，即3mn152 0，故mn52.设m，n的夹角为，则cos mn|m|n|525 521，故m，n的夹角.第二章 章末归纳总结 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 规律总结 对于新情境题，一定要在充分理解题意的基础上将其转化为我们熟知的情境对于本题而言，是将一个向量集合映射为它自身，这与我们熟悉的函数情境是不一致的，但若能将函数的有关知识迁移到本题中来，问题则转化成向量之间的数量积及线性运算第二章 章末归纳总结 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 有两个向量 e1(1,0)，e2(
20、0,1)，今有动点 P 从 P0(1,2)开始沿着与向量 e1e2 相同的方向做匀速直线运动，速度为|e1e2|；另一动点 Q 从 Q0(2，1)开始沿着与向量 3e12e2 相同的方向做匀速直线运动，速度为|3e12e2|.设 P，Q 在时刻 t0 秒时分别在 P0，Q0 处，则当PQ P0Q0 时，t_秒答案 2第二章 章末归纳总结 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 解析 如图所示，向量 e1e2(1,1)，3e12e2(3,2)，依题意设，t 秒后点 P，Q 的坐标分别为 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则由P0P t(e1e2)，Q0Q t(3e12e2)，即
21、(x11，y12)(t，t)，(x22，y21)(3t,2t)，从而 t 秒后点 P，Q 的坐标分别为 P(t1，t2)，Q(3t2,2t1)，故PQ(2t1，t3)，P0Q0(1，3)，由PQ P0Q0 可得(2t1)(3t9)0，解得 t2.第二章 章末归纳总结 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 限 时 巩 固第二章 章末归纳总结 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 一、选择题1若平面向量b与向量a(1，2)的夹角是180，且|b|3，则b等于()A(3,6)B(3，6)C(6，3)D(6,3)答案 A解析 设b(1，2)(0，则ABC为锐角三角形
22、上述命题中，正确的是()ABCD答案 C第二章 章末归纳总结 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 解析 ABACCB，故假；ABBCCAACCA0，为真；(ABAC)(ABAC)(AB)2(AC)20，故ABAC，为真；ACAB|AC|AB|cosA0，则A必为锐角，但形状不定，为假第二章 章末归纳总结 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 3设平面上有四个互异的点A、B、C、D，已知(DBDC 2DA)(ABAC)0，则ABC的形状为()A直角三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D等边三角形答案 B第二章 章末归纳总结 成才之路 高中新课程 学习指导 北师
23、大版 数学 必修4 解析 由(DB DC 2DA)(ABAC)0得(DB DC 2AD)(ABAC)0，即(ABAC)(ABAC)0.AB2 AC2 0，|AB|AC|，故选B第二章 章末归纳总结 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 4(2014全国大纲文，6)已知a、b为单位向量，其夹角为60，则(2ab)b()A1B0C1D2答案 B解析 考查向量数量积的定义及性质(2ab)b2ab|b|22|a|b|cos60|b|20，正确运用数量积的定义是解决本题的关键第二章 章末归纳总结 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 5平面上O，A，B三点不共线，设
24、OA a，OB b，则OAB的面积等于()A|a|2|b|2ab2 B|a|2|b|2ab2C12|a|2|b|2ab2 D12|a|2|b|2ab2答案 C解析 设OA 与OB 的夹角为，则SOAB12|a|b|sin12|a|b|1cos212|a|b|1ab2|a|2|b|212|a|2|b|2ab2.故选C第二章 章末归纳总结 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 二、填空题6已知向量a(2,4)，b(1,1)，若向量b(ab)，则实数的值是_答案 3解析 ab(2,4)(1,1)(2，4)b(ab)，b(ab)0，即(1,1)(2，4)24620，3.第二章 章末归
25、纳总结 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 7 已 知 三 点 A(1,0)，B(0,1)，C(2,5)，求 cosBAC _.答案 2 1313解析 由条件，得AB(1,1)，AC(1,5)，则cosBAC ABAC|AB|AC|2 1313.第二章 章末归纳总结 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 8把函数yx24x7的图像按向量a经过一次平移以后得到yx2的图像，则平移向量a等于_(用坐标表示)答案(2，3)解析 由y(x2)23，得yx2，所以a(2，3)第二章 章末归纳总结 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 三、解答题9已知 a(3，1)，b12，32，且存在实数 k 和 t，使 ma(t23)b，nkatb，且 mn，试求kt2t的最大值解析 因为 a(3，1)，b12，32，所以|a|312，|b|14341.ab 3121 32 0.由 mn，知 mn0，第二章 章末归纳总结 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 即a(t23)b(katb)0，所以 ka2tabk(t23)abt(t23)b20.即 4kt(t23)0，所以 kt3t24.所以kt2t3t24t14(t24t3)14(t2)274，所以当 t2 时，kt2t有最大值74.