1、2.2 直接证明与间接证明2.2.1 综合法与分析法1.了解直接证明的两种基本方法:综合法和分析法.2.了解综合法、分析法的思考过程和特点.3.能综合使用分析法、综合法解决问题.4.正确认识和理解综合法和分析法的相似之处和内在联系,培养辩证地认识问题、分析问题的意识.1 2 1.综合法 综合法是从已知条件出发,经过逐步的推理,最后达到待证结论.综合法用符号表示就是P0(已知)P1P2Pn(结论).归纳总结综合法的特点:(1)综合法是从原因推导到结果的思维方法.(2)用综合法证明命题的思路是:“由因导果”,即从“已知”看“可知”,逐步推向未知.【做一做1-1】综合法是()A.执果索因的逆推法 B
2、.由因导果的顺推法 C.因果分别互推的两头凑法D.原命题的证明方法 解析:由综合法的定义可知选项B正确.答案:B 1 2【做一做1-2】若a0,b0,且满足ab1+a+b,则a+b的最小值应为 .解析:因为 a0,b0,且 1+a+bab+2 2,即(a+b)24(a+b)+4,所以(a+b)-228.所以 a+b2 2+2.答案:2 2+21 2 2.分析法 分析法是从待证结论出发,一步一步地寻求结论成立的充分条件,最后达到题设的已知条件或已被证明的事实.分析法用符号表示就是B(结论)B1B2BnA(已知).名师点拨用分析法证明命题要注意以下三点:(1)用分析法证明命题,从结论出发,执果索因
3、,即从“未知”看“需知”,逐步靠拢“已知”.(2)分析法属逻辑方法范畴,它的严谨性体现在其步骤的步步可逆.(3)分析法的优点是利于思考,因为它方向明确,思路自然,易于掌握,而综合法的优点是易于表述,条理清晰,形式简捷.因而证明不等式时,常用分析法寻找解题思路,再用综合法有条理地表达证明过程.1 2【做一做2-1】分析法是()A.执果索因的逆推法 B.由因导果的顺推法 C.因果分别互推的两头凑法 D.逆命题的证明方法 答案:A 1 2【做一做2-2】已知abc0,则下列不等式成立的是()A.1-+1-4-B.1-+1-bc0,所以a-b0,a-c0,b-c0.而a-c=(a-b)+(b-c),所
4、以-+-=(-)+(-)-+(-)+(-)-=1+-+-+12+2-=4.所以-+-4,即1-+1-4-,当且仅当b-c=a-b,即 2b=a+c 时,等号成立,故选 C.答案:C 证明与推理之间的联系和区别有哪些?剖析:(1)联系:证明过程其实就是推理的过程,就是把论据作为推理的前提,应用正确的推理形式,推出论题的过程.一个论证可以只含一个推理,也可以包含一系列的推理.所以证明就是推理,是一种特殊形式的推理.(2)区别:从结论上看,推理包含前提和结论两部分,前提是已知的,结论是根据前提推出来的;而证明是由论题、论据、论证三部分组成的.论题相当于推理的结论,是已知的,论据相当于推理的前提.从作
5、用上看,推理只解决形式问题,对于前提和结论的真实性是保证不了的.而证明却要求论据必须是真实的,论题经过证明后其真实性是确信无疑的.题型一 题型二 题型三 题型四 应用综合法证明命题【例题1】已知:a,b,c0,求证:a3+b3+c3 (a2+b2+c2)(a+b+c).分析:从基本的不等式定理入手,再根据不等式的性质推导出要证明的结论.证明:a2+b22ab,a0,b0,(a2+b2)(a+b)2ab(a+b).a3+b3+a2b+ab22ab(a+b)=2a2b+2ab2.a3+b3a2b+ab2.同理:b3+c3b2c+bc2,a3+c3a2c+ac2.将三式相加,得2(a3+b3+c3)
6、a2b+ab2+b2c+bc2+a2c+ac2.3(a3+b3+c3)(a3+a2b+a2c)+(b3+b2a+b2c)+(c3+c2a+c2b)=(a+b+c)(a2+b2+c2).a3+b3+c3 (a2+b2+c2)(a+b+c).1313题型一 题型二 题型三 题型四 反思在用综合法证明不等式时,常利用不等式的基本性质,如同向不等式相加、同向不等式相乘等,但在运用这些性质时,一定要注意这些性质成立的前提条件.题型一 题型二 题型四 题型三 用分析法证明命题【例题2】如图所示,SA平面ABC,ABBC,过点A作SB的垂线,垂足为E,过点E作SC的垂线,垂足为F.求证:AFSC.分析:本题
7、所给的已知条件中,垂直关系较多,但不容易确定如何在证明中使用它们,因而用综合法比较困难.这时,可以从结论出发,逐步反推,寻求使当前命题成立的充分条件,即用分析法证明.证明:要证AFSC,只需证SC平面AEF,只需证AESC(因为EFSC),只需证AE平面SBC,只需证AEBC(因为AESB),只需证BC平面SAB,只需证BCSA(因为ABBC).而由SA平面ABC,可知上式成立.所以AFSC.题型一 题型二 题型四 题型三 反思在用分析法证明命题的过程中,从结论出发的每一个步骤所得到的判断都是结论成立的充分条件,最后一步归结到已被证明了的事实.因此,从最后一步可以倒推回去,一直到推出结论.题型
8、一 题型二 题型三 题型四 分析法与综合法的综合应用【例题3】在ABC中,若ABC=421,a,b,c分别为A,B,C的对边.求证:分析:已知条件是角的关系,求证的结论是边的关系,很难直接建立二者的关系,可结合正(余)弦定理进行证明.证明:设C=,则B=2,A=4,且+2+4=7=.1+1=1.欲证:1+1=1.可证:bc+ac=ab,即ab-bc=ac.因而只需证:a-c=.下面我们考虑找出线段a-c,可在BC上取一点D,使AD=AB(如图).由角的关系并注意到7=,可有DC=AD=AB=c,故BD=a-c.题型一 题型二 题型三 题型四 因而只需证 BD=即可.在ABD 中,由正弦定理,得
9、sin3 =sin2,从而 BD=sin3 sin2 .又 7=,所以 sin 3=sin 4,BD=sin4 sin2 =2ccos 2.故只需证 cos 2=2 即可.由于要证的结论中含有 a,b,需考虑ABC,由正弦定理,有sin4 =sin2 ,由于sin 4=2sin 2cos 2,故有 cos 2=2,所以有1+1=1.反思本题将分析法与综合法交错使用,我们也可以只用综合法将证明过程叙述出来,那样会更简洁,但必须在分析之后.题型一 题型二 题型三 题型四 易错辨析 易错点:分析法是一种重要的证明方法,但不容易书写,因为它叙述起来较烦琐,易造成错误,所以在利用分析法证明问题时应注意逻
10、辑性与规范性.另外,要注意前后是必要性关系,即应是“”,而不是“”.【例题 4】求证:2 5 3 6.错解证明:要证 2 5 3 6,需证(2 5)2(3 6)2,需证 7-2 10 9-2 18,需证-2 10 2-2 18,需证 18 10 1,需证28-2 180 1,需证272 180,需证729720,这与事实不相符,故原不等式不成立.错因分析:aba2b2的前提是:a,b都是大于0的实数.由于没注意到这一点,从而造成逻辑上的错误.题型一 题型二 题型三 题型四 正解证明:要证 2 5 3 6,需证 2+6 3+5,需证8+2 12 8+2 15,需证 12 15,即证120,那么a
11、和b中至少有一个大于0 B.如果ab=0,那么a2+b2一定也是0 C.如果ab=a,那么b=1 D.如果a2=b2,那么a=b 答案:A 1 2 3 4 52已知集合M=(x,y)|x+y=2,N=(x,y)|x-y=4,则集合MN为()A.x=3,y=-1 B.(3,-1)C.3,-1 D.(3,-1)解析:由已知得 +=2,-=4,解得 =3,=-1.所以可知 MN=(3,-1).答案:D 1 2 3 4 53已知a0,b0,则下列不等式中不恒成立的是()A.a+b+1 2 2B.(a+b)1+1 4C.2+2 a+bD.2+解析:选项 D 中因为 a+b2,所以1+12 ,故2+.答案:D 1 2 3 4 54若aR,则P=(4+a2)(9+a2)与Q=24a2的大小关系是 .解析:P-Q=(4+a2)(9+a2)-24a2=a4-11a2+36,令a2=t,则f(t)=t2-11t+36.因为=112-4360恒成立,所以PQ.答案:PQ 1 2 3 4 55 若平面内有1 +2 +3 =0,且|1|=|2|=|3|,则P1P2P3 一定是 三角形.解析:可结合下面的图形,利用向量的几何意义加以解决.答案:等边