1、第二节等差数列及其前n项和 考点一等差数列的判定与证明 例1已知数列an中，a1，an2(n2，nN*)，数列bn满足bn(nN*)(1)求证：数列bn是等差数列；(2)求数列an中的最大项和最小项，并说明理由自主解答(1)证明：an2(n2，nN*)，bn，bn1bn1.又b1，数列bn是以为首项，以1为公差的等差数列(2)由(1)知bnn，则an11.设f(x)1，则f(x)在区间和上为减函数，当n3时，an取得最小值1，当n4时，an取得最大值3.【方法规律】等差数列的判定方法(1)定义法：对于n2的任意自然数，验证anan1为同一常数；(2)等差中项法：验证2an1anan2(n3，n
2、N*)成立；(3)通项公式法：验证anpnq；(4)前n项和公式法：验证SnAn2Bn.注意：在解答题中常应用定义法和等差中项法，而通项公式法和前n项和公式法主要适用于选择题、填空题中的简单判断若数列an满足an2an12n1(nN*，n2)，a327.(1)求a1，a2的值；(2)记bn(ant)(nN*)，是否存在一个实数t，使数列bn为等差数列？若存在，求出实数t；若不存在，请说明理由解：(1)由a327,272a2231，得a29，由92a1221，得a12.(2)假设存在实数t，使得bn为等差数列则2b2b1b3，即2(9t)(2t)(27t)，t1.bn(an1)bnbn1(an1
3、)(an11)(2an12n11)(an11)an11an11.存在一个实数t1，使数列bn为等差数列高频考点考点二 等差数列基本量的计算1等差数列基本量的计算是高考的常考内容，多出现在选择题、填空题或解答题的第(1)问中，属容易题2高考对等差数列基本量计算的考查常有以下几个命题角度：(1)化基本量求公差d或项数n；(2)化基本量求通项；(3)化基本量求特定项；(4)化基本量求前n项和例2(1)(2012福建高考)等差数列an中，a1a510，a47，则数列an的公差为()A1B2C3D4(2)(2013安徽高考)设Sn为等差数列an的前n项和，S84a3，a72，则a9()A6 B4 C2
4、D2(3)(2013新课标全国卷)设等差数列an的前n项和为Sn，若Sm12，Sm0，Sm13，则m()A3 B4 C5 D6(4)(2012广东高考)已知递增的等差数列an满足a11，a3a4，则an_.自主解答(1)法一：设等差数列an的公差为d，则即解得d2.法二：由等差中项的性质知，a35，又a47，公差da4a3752.(2)由等差数列前n项和公式知S84(a1a8)4(a7a2)，又S84a3，4(a7a2)4a3，2a2a3，公差d2.a9a72d6.(3)法一：Sm12，Sm0，Sm13，amSmSm12，am1Sm1Sm3，公差dam1am1，由Snna1dna1，得由得a1
5、，代入可得m5.法二：数列an为等差数列，且前n项和为Sn，数列也为等差数列，即0，解得m5.经检验为原方程的解(4)由a3a4，得到12d(1d)24，即d24，因为an是递增的等差数列，所以d2，故an2n1.答案(1)B(2)A(3)C(4)2n1等差数列基本量运算问题的常见类型及解题策略(1)化基本量求公差d或项数n.通项公式和前n项和公式是解决此类问题的基础和核心，在求解时，一般要运用方程思想(2)化基本量求通项a1和d是等差数列的两个基本元素，只要把它们求出来，其余的元素便可以求出(3)化基本量求特定项利用通项公式或等差数列的性质求解(4)化基本量求前n项和直接将基本量代入前n项和
6、公式求解，或利用等差数列的性质求解1记等差数列an的前n项和为Sn.若a1，S420，则S6()A16 B24 C36 D48解析：选D设公差为d，由得则故S66348.2已知等差数列an的前n项和为Sn，且满足1，则数列an的公差为()A. B1 C2 D3解析：选CSn，由1，得1，即a3a22，数列an的公差为2.3已知数列an中，a12，当n2时，an，则数列an的通项公式为_解析：当n2时，an1，两边取倒数，得，即，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以(n1)1(n1)，所以an(nN*)答案：an(nN*)考点三等差数列的性质 例3(1)在等差数列an中，已知a4a816，
7、则该数列前11项和S11()A58 B88 C143 D176(2)设等差数列an的前n项和为Sn，已知前6项和为36，最后6项的和为180，Sn324(n6)，求数列an的项数及a9a10.自主解答(1)S1188.(2)由题意知a1a2a636，anan1an2an5180，得(a1an)(a2an1)(a6an5)6(a1an)216，a1an36，又Sn324，18n324，n18.a1an36，n18，a1a1836，从而a9a10a1a1836.答案(1)B【方法规律】应用等差数列的性质应注意两点(1)在等差数列an中，若mnpq2k，则amanapaq2ak是常用的性质，本例(1
8、)(2)都用到了这个性质(2)掌握等差数列的性质，悉心研究每个性质的使用条件及应用方法，认真分析项数、序号、项的值的特征，这是解题的突破口1已知等差数列an的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为()A10 B20 C30 D40解析：选A设这个数列有2n项，则由等差数列的性质可知：偶数项之和减去奇数项之和等于nd，即25152n，故2n10，即数列的项数为10.2已知等差数列an的前n项和为Sn，且S1010，S2030，则S30_.解析：S10，S20S10，S30S20成等差数列，且S1010，S2030，S20S1020，S30301021
9、030，S3060.答案：60考点四等差数列前n项和的最值 例4已知在等差数列an中，a131，Sn是它的前n项的和，S10S22.(1)求Sn；(2)这个数列前多少项的和最大？并求出这个最大值自主解答(1)S10a1a2a10，S22a1a2a22，又S10S22，a11a12a220，即0，即a11a222a131d0.又a131，d2.Snna1d31nn(n1)32nn2.(2)法一：由(1)知，Sn32nn2(n16)2256，当n16时，Sn有最大值256.法二：由(1)知，令(nN*)，解得n，nN*，n16时，Sn有最大值256.【互动探究】若将本例中的“S10S22”改为“S
10、10S15”，则该数列的前多少项的和最大？解：S10S15，a11a12a13a14a150，即5a130，a130.又此等差数列首项为正，当n12或13时，Sn有最大值 【方法规律】求等差数列前n项和的最值的方法(1)运用配方法转化为二次函数，借助二次函数的单调性以及数形结合的思想，从而使问题得解(2)通项公式法：求使an0(an0)成立时最大的n值即可一般地，等差数列an中，若a10，且SpSq(pq)，则若pq为偶数，则当n时，Sn最大；若pq为奇数，则当n或n时，Sn最大已知等差数列an中，Sn为前n项和，a312，且S120，S130.(1)求公差d的取值范围；(2)前几项和最大？并说明理由解：(1)因为a3a12d12，所以a1122d，所以即解得d3.故公差d的取值范围为.(2)法一：前6项和最大由d0可知an为递减数列，因此，在1n12中，必存在一个自然数n，使得an0，an10，此时对应的Sn就是S1，S2，S12中的最大值由于于是a70，因此S6最大法二：前6项和最大由d0可知an是递减数列，令可得由于d3，可得所以5.5n0，d0，则满足的项数m使得Sn取得最大值Sm；若a10，则满足的项数m使得Sn取得最小值Sm.4种方法等差数列的判断方法(1)定义法；(2)等差中项法；(3)通项公式法；(4)前n项和公式法.
