1、高考大题专项练二高考中的三角函数与解三角形1.在平面四边形ABCD中,ADC=90,A=45,AB=2,BD=5.(1)求cosADB;(2)若DC=22,求BC.解：(1)在ABD中,由正弦定理得BDsinA=ABsinADB.由题设知,5sin45=2sinADB,所以sinADB=25.由题设知,ADB90,所以cosADB=1-225=235.(2)由题设及(1)知,cosBDC=sinADB=25.在BCD中,由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2BDDCcosBDC=25+8-252225=25.所以BC=5.2.在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=3,b-
2、c=2,cos B=-12.(1)求b,c的值;(2)求sin(B+C)的值.解：(1)由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,又a=3,cosB=-12,得b2=32+c2-23c-12.因为b=c+2,所以(c+2)2=32+c2-23c-12.解得c=5,所以b=7.(2)由cosB=-12,又B(0,),得sinB=32.由正弦定理得sinA=absinB=3314.在ABC中,B+C=-A.所以sin(B+C)=sinA=3314.3.在ABC中,D是BC上的点,AD平分BAC,ABD的面积是ADC面积的2倍.(1)求sinBsinC;(2)若AD=1,DC=22,求BD和AC的
3、长.解：(1)SABD=12ABADsinBAD,SADC=12ACADsinCAD.因为SABD=2SADC,BAD=CAD,所以AB=2AC.由正弦定理可得sinBsinC=ACAB=12.(2)因为SABDSADC=BDDC,又DC=22,所以BD=2.在ABD和ADC中,由余弦定理知AB2=AD2+BD2-2ADBDcosADB,AC2=AD2+DC2-2ADDCcosADC.又AD=1,故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.由(1)知AB=2AC,所以AC=1.4.(2020全国,文18)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知B=150.(1)若a=3c,b
4、=27,求ABC的面积;(2)若sin A+3sin C=22,求C.解：(1)由题设及余弦定理得28=3c2+c2-23c2cos150,解得c=-2(舍去),c=2.从而a=23.ABC的面积为12232sin150=3.(2)在ABC中,A=180-B-C=30-C,所以sinA+3sinC=sin(30-C)+3sinC=sin(30+C).故sin(30+C)=22.而0C30,所以30+C=45,故C=15.5.在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2a,3csin B=4asin C.(1)求cos B的值;(2)求sin2B+6的值.解：(1)在ABC
5、中,由正弦定理bsinB=csinC,得bsinC=csinB,又由3csinB=4asinC,得3bsinC=4asinC,又sinC0,所以3b=4a.又因为b+c=2a,得到b=43a,c=23a.由余弦定理可得cosB=a2+c2-b22ac=a2+49a2-169a22a23a=-14.(2)由(1)可得sinB=1-cos2B=154,从而sin2B=2sinBcosB=-158,cos2B=cos2B-sin2B=-78,故sins2B+6=sin2Bcos6+cos2Bsin6=-15832-7812=-35+716.6.已知函数f(x)=cos2x-3+2sinx-4sinx
6、+4.(1)求函数f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程;(2)求函数f(x)在区间-12,2上的值域.解：(1)f(x)=cos2x-3+2sinx-4sinx+4=12cos2x+32sin2x+(sinx-cosx)(sinx+cosx)=12cos2x+32sin2x+sin2x-cos2x=12cos2x+32sin2x-cos2x=sin2x-6,周期T=22=.由2x-6=k+2(kZ),得x=k2+3(kZ).故函数f(x)的图象的对称轴方程为x=k2+3(kZ).(2)x-12,2,2x-6-3,56.当2x-6=2,即x=3时,f(x)取最大值1;当2x-6=-3,即x=-
7、12时,f(x)取最小值-32.函数f(x)在区间-12,2上的值域为-32,1.7.(2020全国,文17)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos22+A+cos A=54.(1)求A;(2)若b-c=33a,证明:ABC是直角三角形.答案：(1)解由已知得sin2A+cosA=54,即cos2A-cosA+14=0.所以cosA-122=0,得cosA=12.由于0A,故A=3.(2)证明由正弦定理及已知条件可得sinB-sinC=33sinA.由(1)知B+C=23,所以sinB-sin23-B=33sin3,即12sinB-32cosB=12,sinB-3=12.由于0B0,cosC=5-12.又B+C=2,sinB=5-12.