1、专题突破练(5)立体几何的综合问题一、选择题1已知m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面下列说法中错误的是()A若m，m，n，则mnB若mn，m，则nC若n，则nD若m，m，则答案B解析由线面平行的性质定理可知，A正确；若m，mn，则n或n，所以B错误；如图，设l，m，在平面内取一点A，过点A分别作ABl，ACm，垂足分别为B，C，因为，l，ABl，AB，所以AB，因为n，所以ABn，同理可得ACn，因为ABACA，所以n，所以C正确；因为m，m，所以，又，所以，所以D正确故选B.2(2021昆明高三模拟)已知直线l平面，直线m平面，则“”是“lm”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充
2、要条件D既不充分也不必要条件答案A解析因为l，所以l，又m，所以lm；但l，lm，m不能得到.所以“”是“lm”的充分不必要条件故选A.3(2022广东广雅中学高三上月考)已知直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB1，AC，ABAC，AA14，则球O的表面积为()A5B10C.20D答案C解析如图所示，因为AB1，AC，ABAC，所以BC，B1C1的中点O1，O2，分别为ABC，A1B1C1的外接圆的圆心，所以直三棱柱ABCA1B1C1的外接球的球心是O1O2的中点，所以R，所以球O的表面积为S4R220.故选C.4已知O为等腰直角三角形POD的直角顶点，以OP为旋转轴旋
3、转一周得到几何体，CD是底面圆O上的弦，COD为等边三角形，则异面直线OC与PD所成角的余弦值为()A.BC.D答案B解析设OPr，过点D作OC的平行线，与CD平行的半径交于点E，所以PDE为异面直线OC与PD所成的角，在PDE中，PEPDr，DEr，所以cosPDE.故选B.5如图所示，已知在多面体ABCDEFG中，AB，AC，AD两两垂直，平面ABC平面DEFG，平面BEF平面ADGC，ABADDG2，ACEF1，则该多面体的体积为()A2B4C6D8答案B解析如图所示，将多面体补成棱长为2的正方体，那么显然所求的多面体的体积即为该正方体体积的一半，于是所求几何体的体积为V234.故选B.
4、6. (2022福建福州第三中学高三上第二次质量检测)陀螺指的是绕一个支点高速转动的几何体，是中国民间最早的娱乐工具之一传统陀螺大致是木或铁制的倒圆锥形，玩法是用鞭子抽中国是陀螺的老家，从中国山西夏县新石器时代的遗址中就发掘了石制的陀螺如图，一个倒置的陀螺，上半部分为圆锥，下半部分为同底圆柱其中总高度为8 cm，圆柱部分高度为6 cm，已知该陀螺由密度为0.7 g/cm3的木质材料做成，其总质量为70 g，则最接近此陀螺圆柱底面半径的长度为()A2.0 cmB2.2 cmC2.4 cmD2.6cm答案B解析由题意，该陀螺由密度为0.7 g/cm3的木质材料做成，其总质量为70 g，可得该陀螺的
5、总体积为100 cm3，设底面半径为r，则r26r2(86)100，解得r2.2 cm.故选B.7(2021福建省厦门市高三毕业班5月质量检查)一副三角板由一块有一个内角为60的直角三角形和一块等腰直角三角形组成，如图所示，BF90，A60，D45，BCDE.现将两块三角板拼接在一起，取BC的中点O与AC的中点M，则下列直线与平面OFM所成的角不为定值的是()AACBAFC.EFDCF答案B解析因为O，M为中点，所以OMAB，所以OMBC，又OFBC，且OMOFO，所以BC平面OFM，所以EF，CF与平面OFM所成的角分别为EFO和CFO，它们相等，等于45，根据直线与平面所成角的定义知，AC
6、与平面OFM所成的角为CMOA60，故只有AF与平面OFM所成的角不为定值故选B.8. 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点O为线段BD的中点设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为，则sin的取值范围是()A.BC.D答案B解析设正方体的棱长为1，则A1C1，A1C，A1OOC1，OC，所以cosA1OC1，sinA1OC1，cosA1OC，sinA1OC.又直线与平面所成的角小于等于90，而A1OC为钝角，所以sin的取值范围为，故选B.9(多选) (2021广东省普宁二中七校联合体高三第一次联考)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1AB4，BC2，M，N
7、分别为棱C1D1，CC1的中点，则下列说法正确的是()AA，M，N，B四点共面BBN平面ADMC直线BN与B1M所成的角为60D平面ADM平面CDD1C1答案CD解析由图显然AM，BN是异面直线，故A，M，N，B四点不共面，故A错误；取DD1的中点H，连接AH，易证BNAH，由AH与平面ADM相交，得BN与平面ADM不平行，故B错误；取CD的中点O，连接BO，ON，可知BON为等边三角形，故C正确；由题意得AD平面CDD1C1，故平面ADM平面CDD1C1，故D正确10. (多选)(2022江苏盐城阜宁中学高三上第二次阶段检测)截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体
8、的四个顶点所产生的多面体如图所示，将棱长为3a的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为a的截角四面体，则下列说法正确的是()A该截角四面体的表面积为7a2B该截角四面体的体积为a3C该截角四面体的外接球表面积为a2D该截角四面体中，二面角ABCD的余弦值为答案ABC解析如图所示，将题中的截角四面体补成正四面体SNPQ，截角四面体由4个边长为a的正三角形，4个边长为a的正六边形构成，故该截角四面体的表面积为4a246a27a2，A正确；棱长为a的正四面体的高ha，该截角四面体的体积为(3a)23a4a2aa3，B正确；设外接球的球心为O，ABC的中心为O，NPQ的中心为O，截角
9、四面体上下底面距离为aaa，a， a，a，R2a2R2a2a，R2a2，该截角四面体的外接球表面积为4R2a2，C正确；易知二面角SBCA为锐角，所以二面角ABCD为钝角，其余弦值应为负值，D错误故选ABC.11(多选)(2021山东省德州市高三模拟)如图1，点E为正方形ABCD的边BC上异于点B，C的动点，将ABE沿AE翻折，得到如图2所示的四棱锥BAECD，且平面BAE平面AECD，点F为线段BD上异于点B，D的动点，则在四棱锥BAECD中，下列说法正确的有()A直线BE与直线CF必不在同一平面上B存在点E使得直线BE平面DCEC存在点F使得直线CF与平面BAE平行D存在点E使得直线BE与
10、直线CD垂直答案AC解析对于A，假设直线BE与直线CF在同一平面上，所以E在平面BCF上，又E在线段EC上，EC平面BCFC，所以E与C重合，与E异于C矛盾，所以直线BE与直线CF必不在同一平面上；对于B，若存在点E使得直线BE平面DCE，AE平面AECD，所以BEAE，又ABBE，所以ABE中有两个直角，与三角形内角和为180矛盾，所以不存在点E使得直线BE平面DCE；对于C，取F为BD的中点，ECAD，再取AB的中点G，则ECFG且ECFG，四边形ECFG为平行四边形，CFEG，则直线CF与平面BAE平行；对于D，过D作DHAE于H，因为平面BAE平面AECD，平面BAE平面AECDAE，
11、所以DH平面BAE，所以DHBE.若存在点E使得直线BE与直线CD垂直，又DH平面AECD，CD平面AECD，DHCDD，所以BE平面AECD，所以BEAE，与ABE是以B为直角的三角形矛盾，所以不存在点E使得直线BE与直线CD垂直故选AC.12. (多选)(2022河北省普通高中高三教学质量监测)如图是直四棱柱ABCDA1B1C1D1，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA12，点E，F，H分别为棱DD1，D1C1，BB1上的中点，则下列结论中一定正确的是()A点F在平面EAB1内B直线C1H与平面BDD1B1所成的角为CC1H平面EAB1D异面直线AB1与C1H所成的角为答案ABC解析如
12、图，连接EF，DC1.因为点E，F分别为DD1，D1C1的中点，故EFDC1，又DC1AB1，所以EFAB1，又E平面EAB1，所以EF平面EAB1，所以点F在平面EAB1内，故A正确；连接A1C1，B1D1，交于点O，连接OH.由题设，知C1HO为直线C1H与平面BDD1B1所成的角又C1H，C1O，且C1OOH，故sinC1HO，所以C1HO，故B正确；设C1C的中点为P，连接BP，则C1HBP.又BPAE，所以C1HAE，故C1H平面EAB1，故C正确；由于C1HAE，所以异面直线AB1与C1H所成的角为EAB1或其补角由题设，知AE，AB1，EB1，所以cosEAB1，故D错误二、填空
13、题13设和为不重合的两个平面，给出下列命题：若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则；若外的一条直线l与内的一条直线平行，则l；设l，若内有一条直线垂直于l，则；直线l的充要条件是l与内的两条直线垂直其中所有真命题的序号是_答案解析正确；正确；满足的与不一定垂直，所以错误；直线l的充要条件是l与内的两条相交直线垂直，所以错误所有真命题的序号是.14. (2021广东省实验中学高三上学期第一次阶段考试)如图，在四棱锥SABCD中，SA平面ABCD，底面ABCD是菱形，且DAB60，SAAB1，则异面直线SD与BC所成角的余弦值为_，点C到平面SAD的距离为_答案解析ADBC，SDA即为异面直
14、线SD与BC所成的角，其余弦值为cosSDA.SA平面ABCD，平面SAD平面ABCD，点C到交线AD的距离即为点C到平面SAD的距离，为CDsin60.15. 如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为，动点P在对角线BD1上，过点P作垂直于BD1的平面，记这样得到的截面多边形(含三角形)的面积为y，设BPx，则当x时，函数yf(x)的值域为_答案解析如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为，正方体的对角线长为3，x，当x或时，截面是正三角形，此时截面的面积最小，设截面正三角形的边长为t，由等体积法得t22t，t，ymin2.当x，即P为BD1的中点时，截面为正六边形，此时截面的面积最
15、大，正六边形的边长为 ，故截面面积最大为62.函数yf(x)的值域为.16在三棱锥PABC中，ABC和PBC都是边长为2的正三角形，PA3.若M为三棱锥PABC外接球上的动点，则点M到平面ABC的距离的最大值为_答案1解析设BC的中点为T，连接AT，PT，如图，因为ABC，PBC都是边长为2的正三角形，所以ATBC，PTBC，则ATP为二面角ABCP的平面角，且PTAT3，又PA3，所以PT2AT2PA2，所以PTAT，即ATP，所以平面PBC平面ABC，且PT平面ABC，AT平面PBC.设ABC的外心为O1，PBC的外心为O2，过O1作平面ABC的垂线，过O2作平面PBC的垂线，两垂线交于点
16、O，则点O到A，B，C，P的距离相等，即点O为三棱锥PABC的外接球的球心易知OO1O2T，O1TOO2，且O1TO2T1，AO1PO22，所以四边形OO1TO2是边长为1的正方形，连接OP，所以外接球的半径R，所以点M到平面ABC的距离的最大值为ROO11.三、解答题17. 在如图所示的多面体中，EF平面AEB，AEEB，ADEF，EFBC，BC2AD4，EF3，AEBE2，G是BC的中点(1)求证：AB平面DEG；(2)求二面角CDFE的余弦值解(1)证明：ADEF，EFBC，ADBC，又BC2AD，G是BC的中点，AD綊BG，四边形ADGB是平行四边形，ABDG.AB平面DEG，DG平面
17、DEG，AB平面DEG.(2)EF平面AEB，AE平面AEB，BE平面AEB，EFAE，EFBE，又AEEB，EB，EF，EA两两垂直以点E为坐标原点，EB，EF，EA所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系则E(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2，4,0)，F(0,3,0)，D(0，2,2)由已知得(2,0,0)是平面EFDA的一个法向量设平面DCF的法向量为n(x，y，z)，则(0，1,2)，(2,1,0)，令z1，得y2，x1，平面DCF的一个法向量为n(1,2,1)设二面角CDFE的大小为，则|cos|cosn，|.易知二面角CDFE为钝二面角，二面角CDFE的余弦值
18、为.18. (2021山东青岛胶州市高三上学期期中考试)如图，在半圆柱W中，AB，CD分别为该半圆柱的上、下底面直径，E，F分别为半圆弧，上的点，AD，BC，EF均为该半圆柱的母线，ABAD2.(1)证明：平面DEF平面CEF；(2)设CDF，若二面角ECDF的余弦值为，求的值解(1)证明：因为EF为半圆柱的母线，所以EF平面CDF，所以EFCF，又因为CD为直径，所以DFCF，因为DFEFF，DF，EF平面DEF，所以CF平面DEF，又因为CF平面CEF，所以平面DEF平面CEF.(2)以F为坐标原点，FD，FC，FE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Fxyz，所以D(2cos，0
19、,0)，C(0,2sin，0)，E(0,0,2)，设平面CDE的法向量为n1(x，y，z)，因为n1(x，y，z)(2cos，2sin，0)0，n1(x，y，z)(0，2sin，2)0，所以取y1，解得xtan，zsin，所以平面CDE的一个法向量为n1(tan，1，sin)，取平面CDF的一个法向量n2(0,0,1)，由题知，所以，所以(2sincos)21，即(sin2)21，所以sin21或sin21(舍去)，所以.19(2022湖北重点中学模拟)在五边形AEBCD中，BCCD，CDAB，AB2CD2BC，AEBE，AEBE(如图1)将ABE沿AB折起，使平面ABE平面ABCD，线段AB
20、的中点为O(如图2)(1)求证：平面ABE平面DOE；(2)求平面ABE与平面ECD所成的锐二面角的大小解(1)证明：因为AB2CD，O是线段AB的中点，所以OBCD.又CDAB，所以四边形OBCD为平行四边形，又BCCD，所以ABOD.因为AEBE，O为线段AB的中点，所以EOAB.又EOODO，EO，OD平面DOE，所以AB平面DOE.又AB平面ABE，故平面ABE平面DOE.(2)由(1)易知OB，OD，OE两两垂直，以O为坐标原点，以OB，OD，OE所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，由题意知EAB为等腰直角三角形，且AB2CD2BC，则OAOBODOE，取
21、CDBC1，则O(0,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，E(0,0,1)，(1,0,0)，(0，1,1)设平面ECD的法向量为n(x，y，z)，则即取z1，得平面ECD的一个法向量为n(0,1,1)，因为OD平面ABE，所以平面ABE的一个法向量为(0,1,0)设平面ECD与平面ABE所成的锐二面角为，则cos|cos，n|.因为090，所以45，故平面ABE与平面ECD所成的锐二面角为45.20. 如图，在各棱长均为2的三棱柱ABCA1B1C1中，侧面A1ACC1底面ABC，A1AC60.(1)求侧棱AA1与平面AB1C所成角的正弦值；(2)已知点D满足，在直线AA1上是否存在点
22、P，使DP平面AB1C？若存在，请确定点P的位置；若不存在，请说明理由解(1)因为侧面A1ACC1底面ABC，作A1OAC于点O，连接BO，所以A1O平面ABC，所以A1OBO.又A1AC60，且各棱长均为2，所以AO1，OA1BO，BOAC.故以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则A(0，1,0)，B(，0,0)，A1(0，0，)，C(0,1,0)，B1(，1，)，所以(0,1，)，(，2，)，(0,2,0)设平面AB1C的法向量为n(x，y，z)，则令z1，则x1，得n(1,0,1)设侧棱AA1与平面AB1C所成的角为，则sin|cos，n|.所以侧棱AA1与平面AB1C所成角的正弦值为.(2)因为，而(，1,0)，(，1,0)，所以(2，0,0)又因为B(，0,0)，所以点D的坐标为(，0,0)假设存在点P符合题意，则其坐标可设为(0，y0，z0)，所以(，y0，z0)因为DP平面AB1C，n(1,0,1)为平面AB1C的一个法向量，所以n0，即z0.因为(0，y01，z0)，则由得所以y0.又DP平面AB1C，故存在点P，使DP平面AB1C，其坐标为(0,0，)，即恰好为点A1.
