1、考点规范练62古典概型与几何概型基础巩固1.某人从甲地去乙地共走了500 m,途经一条宽为x m的河流,该人不小心把一件物品丢在途中,若物品掉在河里就找不到,若物品未掉在河里,则能找到,已知该物品能被找到的概率为45,则河宽大约为()A.80 mB.50 mC.40 mD.100 m答案:D解析:由长度型的几何概型公式结合题意可知,河宽大约为5001-45=100(m).2.已知A=(x,y)|-1x1,0y2,B=(x,y)|1-x2y.若在区域A中随机地扔一粒豆子,则该豆子落在区域B中的概率为()A.1-8B.4C.4-1D.8答案:A解析:集合A=(x,y)|-1x1,0y2表示的区域是
2、正方形,其面积为4,集合B=(x,y)|1-x2y表示的区域在正方形内的部分为图中阴影部分,其面积为4-1212.故向区域A内随机地扔一粒豆子,则豆子落在区域B内的概率为4-124=1-8.3.(2020黑龙江大庆三模)为抗击新冠肺炎疫情,全国各地的医护人员纷纷请战支援武汉,某医院要从第一时间请战的5名医护人员中随机选派3名支援武汉,已知这5名医护人员中有一对夫妻,则这对夫妻恰有一人被选中的概率为()A.310B.25C.35D.710答案:C解析:从第一时间请战的5名医护人员中随机选取3名支援武汉所包含的基本事件的个数为C53=10,这对夫妻恰有一人被选中所包含的基本事件的个数为C21C32
3、=6,故这对夫妻恰有一人被选中的概率为610=35.4.(2020陕西汉中模拟)如图,在圆O的圆心O处有一个通信基站,=2,假设其信号覆盖范围是该圆内的白色区域(该圆形区域内无其他信号来源,基站工作正常),若在圆内随机地选一地点,则该地点无信号的概率是()A.1-sin2B.2C.1-sin22D.2-sin22答案:D解析:在圆O中,设圆O的半径为r,扇形的面积为12r2,又AOB的面积为12r2sin,扇形AOB的圆心角=2,阴影部分弓形的面积为12r2(-sin)=12r2(2-sin2).若在圆内随机地选一地点,则该地点无信号的概率P=12r2(2-sin2)r2=2-sin22.故选
4、D.5.某停车场只有并排的8个停车位,恰好全部空闲,现有3辆汽车依次驶入,并且随机停放在不同车位,则至少有2辆汽车停放在相邻车位的概率是()A.514B.1528C.914D.67答案:C解析:因为3辆车皆不相邻的情况有C63种,所以3辆车皆不相邻的概率为C63C83=514,因此至少有2辆汽车停放在相邻车位的概率是1-514=914.6.在RtABC中,三条边恰好为三个连续的自然数,以三个顶点为圆心的扇形的半径为1.若在ABC中随机地选取m个点,其中有n个点正好在扇形里面,则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为()A.16nmB.12nmC.8nmD.6nm答案:B解析:由题意得RtABC
5、的三条边恰好为三个连续的自然数,设三边分别为n,n+1,n+2,则n2+(n+1)2=(n+2)2,解得n=3.SABC=1234=6,以三个顶点为圆心的扇形的面积和为1212=2,由题意,得26=nm,=12nm.7.(2020吉林四模)北京公交101路是北京最早的无轨电车之一,最早可追溯至1957年.游客甲与乙同时从红庙路口西站上了开往百万庄西口站方向的101路公交车,甲将在朝阳门外站之前的任意一站下车,乙将在神路街站之前的任意一站下车,他们都至少坐一站再下车,则甲比乙后下车的概率为()A.720B.25C.920D.12答案:D解析:甲下车的站名可能为小庄路口东站、呼家楼西站,关东店站,
6、东大桥路口西站、神路街站,乙下车的站名可能为小庄路口东站、呼家楼西站、关东店站、东大桥路口西站.所以甲、乙下车的所有情况共有C51C41=20种,其中甲比乙后下车的情况共有10种.故甲比乙后下车的概率为P=1020=12.故选D.8.将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中,若每个信封放2张,则标号为1,2的卡片放入同一个信封的概率为.答案:15解析:由题意,将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中,若每个信封放2张,共有C62C42C22=90种.先从3个信封中选一个放1,2有3种不同的选法,再从剩下的4张卡片中选两张放一个信封有C42=6种,余下放入
7、最后一个信封,标号为1,2的卡片放入同一个信封共有3C42=18种.标号为1,2的卡片放入同一个信封的概率为1890=15.9.(2020山东济南模拟)如图,已知正方形的边长为10,向正方形内随机地撒200颗黄豆,数得落在阴影外的黄豆数为114颗,以此实验数据为依据,可以估计出阴影部分的面积约为.答案:43解析:设阴影外部分的面积为s,则由几何概型的概率公式得s1010=114200,解得s=57,可以估计出阴影部分的面积约为100-57=43.10.锅中煮有芝麻馅汤圆6个,花生馅汤圆5个,豆沙馅汤圆4个,这三种汤圆的外部特征完全相同.从中任意舀取4个汤圆,则每种汤圆都至少取到1个的概率为.答
8、案:4891解析:所求的概率为C62C51C41+C61C52C41+C61C51C42C154=1520+640+63015137=4891.11.(2020浙江杭州期末)甲从集合1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取三个不同的元素,并按降序排列得到十进制三位数a,乙从集合1,2,3,4,5,6,7,8中任取三个不同的元素,按降序排列得到十进制三位数b,则ab的概率为.答案:3756解析:甲从集合1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取三个不同的元素,并按降序排列得到十进制三位数a,共有C93=84种情况.乙从集合1,2,3,4,5,6,7,8中任取三个不同的元素,按降序排列得到十进制三位
9、数b,共有C83=56种情况.故三位数a,b进行比较可得到8456种情况.乙取到的三位数甲都能取到,若乙取到的数是123,这在甲中是取得的最小的三位数,则在甲取得的数中,除了123外,其他的数都比123大,共有84-1=83种情况,当乙取得其他数时,分析同理,则可以得到在所有数的比较中,ab的情况共有83+82+81+29+28种,故ab的概率为83+82+29+288456=3756.能力提升12.从集合2,3,4中随机抽取两个数x,y,则满足logxy12的概率是()A.23B.12C.13D.16答案:D解析:logxy12,x,y2,3,4,yx.从集合2,3,4中随机抽取两个数x,y
10、,所有的数对(x,y)共有32=6(个).满足yx的数对(x,y)有(4,2),共1个,从集合2,3,4中随机抽取两个数x,y,满足logxy12的概率是16.13.某酒厂制作了3种不同的精美卡片,每个酒盒随机装入一张卡片,集齐3种卡片可获奖,现购买该种酒5瓶,能获奖的概率为()A.3181B.3381C.4881D.5081答案:D解析:假设5个酒盒各不相同,5个酒盒装入卡片的方法一共有35=243(种),其中包含了3种不同卡片有两种情况:即一样的卡片3张,另外两种不同的卡片各1张,有C5323=60(种)方法,两种不同的卡片各2张,另外一种卡片1张,有C513C42=156=90(种),故
11、所求的概率为90+60243=5081.14.抛掷两枚质地均匀的骰子,得到的点数分别为a,b,则使得直线bx+ay=1与圆x2+y2=1相交且所得弦长不超过423的概率为.答案:19解析:根据题意,得到的点数所形成的数组(a,b)共有66=36(种),其中满足直线bx+ay=1与圆x2+y2=1相交且所得弦长不超过423,则圆心到直线的距离不小于13,即11a2+b213,即1a2+b29的有(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)四种,故直线bx+ay=1与圆x2+y2=1相交且所得弦长不超过423的概率为436=19.15.张先生订了一份报纸,送报人在早上6:307:30之间把报纸送
12、到他家,张先生离开家去上班的时间在早上7:008:00之间,则张先生在离开家之前能得到报纸的概率是.答案:78解析:以横坐标x表示报纸送到时间,纵坐标y表示张先生离家时间,建立平面直角坐标系如图所示.因为随机试验落在正方形区域内任何一点是等可能的,所以符合几何概型.根据题意只要点落到阴影部分,就表示张先生在离开家前能得到报纸,故所求的概率为11-12121211=78.高考预测16.(2020陕西宝鸡三模)在区间0,5上随机地取一个数x,则事件“12x-14”发生的概率为()A.25B.15C.12D.14答案:A解析:根据题意,因为12x-14,即202x-122,解得1x3,因此事件“12x-14”发生的概率P=3-15-0=25.故选A.