1、考点规范练61随机事件的概率基础巩固1.从正五边形的五个顶点中,随机选择三个顶点连成三角形,记“这个三角形是等腰三角形”为事件A,则下列推断正确的是()A.事件A发生的概率等于15B.事件A发生的概率等于25C.事件A是不可能事件D.事件A是必然事件2.(2021广西防城港模拟)将黑桃A、红心A、方块A、梅花A四张不同花色的扑克牌分给甲、乙、丙、丁四人,每人分得一张牌,则事件“甲分得黑桃A”与事件“乙分得黑桃A”是()A.不可能事件B.对立事件C.不是互斥事件D.互斥但不对立事件3.某商场为了迎接周年庆开展抽奖活动,奖项设置一等奖、二等奖、三等奖,其他都是幸运奖.设事件A=抽到一等奖,事件B=
2、抽到二等奖,事件C=抽到三等奖,且已知P(A)=0.1,P(B)=0.25,P(C)=0.4,则事件“抽到三等奖或者幸运奖”的概率为()A.0.35B.0.25C.0.65D.0.64.(2021云南昆明一中模拟)根据某医疗研究所的调查,某地区居民血型的分布为O型49%,A型19%,B型25%,AB型7%.已知同种血型的人可以互相输血,O型血的人可以给任何一种血型的人输血,AB型血的人可以接受任何一种血型的血,其他不同血型的人不能互相输血.现有一血型为B型的病人需要输血,若在该地区任选一人,则能为该病人输血的概率为()A.25%B.32%C.74%D.81%5.(2021广东惠州模拟)某超市计
3、划按月订购一种冷饮,根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:)有关.如果最高气温不低于25 ,需求量为600瓶;如果最高气温位于区间20 ,25 ),需求量为300瓶;如果最高气温低于20 ,需求量为100瓶.为了确定6月份的订购计划,统计了前三年6月份各天的最高气温数据,得到下面的频数分布表:最高气温15,20)20,25)25,30)30,35)35,40)天数45253818以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.若6月份这种冷饮一天的需求量不超过x瓶的概率估计值为0.1,则x的值为()A.100B.300C.400D.6006.我国高铁发展迅速,技术先进.经统
4、计,在经停某站的高铁列车中,有10个车次的正点率为0.97,有20个车次的正点率为0.98,有10个车次的正点率为0.99,则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为.7.袋中有12个小球,分别为红球、黑球、黄球、绿球,从中任取一球,取到红球的概率为14,取到黑球或黄球的概率是512,取到黄球或绿球的概率是12,则任取一球取到黄球的概率为.8.在某次数学考试中,小江的成绩在90分以上的概率是x,在80,90的概率是0.48,在70,80)的概率是0.11,在60,70)的概率是0.09,在60分以下的概率是0.07.计算:(1)x的值;(2)小江在此次数学考试中取得80分及以上的概率;(
5、3)小江考试及格(成绩不低于60分)的概率.9.在某商场有奖销售中,购满100元商品得1张奖券,多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位,设特等奖1个,一等奖10个,二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A,B,C,求:(1)P(A),P(B),P(C);(2)1张奖券的中奖概率;(3)1张奖券不中特等奖,且不中一等奖的概率.能力提升10.当调查敏感问题时,一般难以得到被调查者的合作,所得结果可能不真实,此时通常采用“瓦纳随机问答法”进行调查.为调查某大学学生谈恋爱的比例.提出问题如下:问题1:你现在谈恋爱吗?问题2:你学籍号尾数是偶数吗?设计了一副纸牌共100张,其中7
6、5张标有数字1,25张标有数字2.随机调查了该校1 000名学生,每名学生任意抽取一张纸牌.若抽到标有数字1的纸牌回答问题1;若抽到标有数字2的纸牌回答问题2,回答“是”或“否”后放回.统计显示共有200名学生回答“是”,估计该大学学生现在谈恋爱的百分比是()A.10%B.20%C.25%D.45%11.假设甲、乙两种品牌的同类产品在某地区市场上的销售量相等,为了解它们的使用寿命,现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试,统计结果如图所示.(1)估计甲品牌产品寿命小于200 h的概率;(2)在这两种品牌产品中,某个产品已使用了200 h,试估计该产品是甲品牌的概率.12.(2021四
7、川天府名校5月诊断)成都市为促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱.为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机抽取了成都市三类垃圾箱中总计1 000吨生活垃圾,数据统计如表所示(单位:吨):生活垃圾分类垃圾箱“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾5005050可回收物3024030其他垃圾202060(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率:(2)试估计生活垃圾投放错误的概率;(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a,b,c,其中a0,a+b+c=450.当数据a,b,c的方差s2最大时,写出
8、a,b,c的值(结论不要求证明),并求此时s2的值.注:s2=1n(x1-x)2+(x2-x)2+(xn-x)2,其中x为数据x1,x2,xn的平均数.13.电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表:电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率;(2)随机选取1部电影,估计这部电影没有获得好评的概率;(3)电影公司为增加投资回报,拟改变投资策略,这将导致不同
9、类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化,那么哪类电影的好评率增加0.1,哪类电影的好评率减少0.1,使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大?(只需写出结论)高考预测14.某中学高一年级有1 000名学生,他们选考科目的情况如表所示:科目人数物理化学生物思想政治历史地理300200100200100100从这1 000名学生中随机抽取1人,分别设:事件A=“该生选了物理”;事件B=“该生选了化学”;事件C=“该生选了生物”;事件D=“该生选了思想政治”;事件E=“该生选了历史”;事件F=“该生选了地理”.(1)求P(B),P(DEF).(2)求P
10、(CE),P(BF).(3)事件A与D是否相互独立?请说明理由.答案：1.D解析因为从正五边形的五个顶点中随机选三个顶点连成的三角形都是等腰三角形,所以事件A是必然事件.故选D.2.D解析甲、乙两人不可能同时分得黑桃A,所以是互斥事件;甲、乙两人可能都得不到黑桃A,所以不是对立事件,因此是互斥但不对立事件.3.C解析设事件D=抽到幸运奖,则由题意知事件A,B,C,D互为互斥事件.记事件M=抽到三等奖或幸运奖,P(A)=0.1,P(B)=0.25,P(C)=0.4,则P(M)=1-P(A)-P(B)=1-0.1-0.25=0.65.故选C.4.C解析由题意可知,能为B型血病人输血的有O型和B型,
11、因此,在该地区任选一人能为病人输血的概率为49%+25%=74%.5.B解析由表格数据知,最高气温低于25的频率为4+590=0.1,所以6月份这种冷饮一天的需求量不超过300瓶的概率估计值为0.1.6.0.98解析由题意,得经停该高铁站的列车的正点数约为100.97+200.98+100.99=39.2,其中车次数为10+20+10=40,所以经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为39.240=0.98.7.16解析由题意得袋中有红球1214=3个,有黑球或黄球12512=5个,有黄球或绿球1212=6个,因此黄球个数为(5+6)-(12-3)=2,故任取一球取到黄球的概率为P=21
12、2=16.8.解(1)分别记小江的成绩在90分以上,80,90),70,80),60,70),60分以下为事件A,B,C,D,E,它们是互斥事件.由条件得P(A)=x,P(B)=0.48,P(C)=0.11,P(D)=0.09,P(E)=0.07,由题意得P(A)+P(B)+P(C)+P(D)+P(E)=1,因此x=1-0.48-0.11-0.09-0.07=0.25.(2)小江的成绩在80分及以上的概率为P(AB),P(AB)=P(A)+P(B)=0.25+0.48=0.73.(3)小江考试及格(成绩不低于60分)的概率为P(E)=1-P(E)=1-0.07=0.93.9.解(1)由题意可知
13、P(A)=11000,P(B)=101000=1100,P(C)=501000=120.(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖.设“1张奖券中奖”为事件M,则M=ABC.A,B,C两两互斥,P(M)=P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)=1+10+501000=611000.故1张奖券的中奖概率为611000.(3)设“1张奖券不中特等奖,且不中一等奖”为事件N,则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件,故P(N)=1-P(AB)=1-11000+1100=9891000,即1张奖券不中特等奖,且不中一等奖的概率为9891000.10.A解析由题意得回答问题2的学生有1
14、00025100=250人,故回答问题2的学生有25012=125人回答是,则回答问题1的学生有750人,其中200-125=75人回答是,因此该大学学生现在谈恋爱的百分比是75750100%=10%.故选A.11.解(1)甲品牌产品寿命小于200h的频率为5+20100=14,用频率估计概率,可得甲品牌产品寿命小于200h的概率为14.(2)根据频数分布直方图可得寿命不低于200h的两种品牌产品共有75+70=145(个),其中甲品牌产品有75个,所以在样本中,寿命不低于200h的产品是甲品牌的频率是75145=1529.据此估计已使用了200h的该产品是甲品牌的概率为1529.12.解(1
15、)厨余垃圾投放正确的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量厨余垃圾总量=500500+50+50=56.(2)设生活垃圾投放错误为事件A,则事件A表示生活垃圾投放正确.事件A的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量总和除以生活垃圾总量,即P(A)=500+240+601000=0.8,所以P(A)=1-0.8=0.2.(3)当a=450,b=c=0时,s2取得最大值.因为x=13(a+b+c)=150,所以s2=13(450-150)2+(0-150)2+(0-150)2=45000.13.解(1)由题意知,样本中电影的总部数是140+50+30
16、0+200+800+510=2000.第四类电影中获得好评的电影部数是2000.25=50,故所求概率为502000=0.025.(2)设“随机选取1部电影,这部电影没有获得好评”为事件B.没有获得好评的电影共有1400.6+500.8+3000.85+2000.75+8000.8+5100.9=1628(部).由古典概型概率公式得P(B)=16282000=0.814.(3)第五类电影的好评率增加0.1,第二类电影的好评率减少0.1.14.解(1)事件B=“该生选了化学”,由题意得1000名学生中选化学的学生有300+100+100=500(名),故P(B)=5001000=12.事件D=“
17、该生选了思想政治”;事件E=“该生选了历史”;事件F=“该生选了地理”.由题意得1000名学生中同时选思想政治、历史、地理的学生有200(名),故P(DEF)=2001000=15.(2)事件C=“该生选了生物”,事件E=“该生选了历史”,由题意得1000名学生中选生物或历史的学生有300+200+200+100=800(名),故P(CE)=8001000=45.事件B=“该生选了化学”,事件F=“该生选了地理”,由题意得1000名学生中选化学或地理的学生有300+200+100+200+100+100=1000(名),故P(BF)=10001000=1.(3)事件A=“该生选了物理”,事件D=“该生选了思想政治”,事件A与D相互独立.理由如下:由题意得选择物理与否与选择思想政治无关,选择思想政治与否与选择物理无关,故事件A与D相互独立.