1、2.1.2 演绎推理1.结合已学过的数学实例和生活中的实例,体会演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本模式,并能用其进行简单的推理.2.通过具体的实例,了解合情推理和演绎推理之间的联系和区别.1 2 1.演绎推理 由概念的定义或一些真命题,依照一定的逻辑规则得到正确结论的过程,通常叫做演绎推理.演绎推理的特征是:当前提为真时,结论必然为真.归纳总结(1)演绎推理是以某一类事物的一般判断为前提,而作出关于该类事物中的个别特殊事物的判断的思维方式,因此,演绎推理是一种从一般到特殊的推理.(2)演绎推理的特征是:当前提为真时,只要推理规则正确,则结论必然为真,是一种必然性推理.即:由真命题a,b,遵循
2、演绎推理规则得出命题q,则q必然为真.an=12-1+1-1 (n2)1 2【做一做1】下面几种推理过程是演绎推理的是()A.两条直线平行,同时和第三条直线相交,同旁内角互补.如果A和B是两条平行直线与第三条直线相交形成的同旁内角,则A+B=180 B.由平面三角形的性质,推测空间四面体的性质 C.某校高三年级共有10个班,其中一班51人,二班53人,三班52人,由此推测各班都超过50人 D.在数列an中,a1=1,由此归纳出数列an的通项公式 解析:选项B为类比推理,选项C,D为归纳推理,由演绎推理的定义知,选项A符合.答案:A 1 2 2.演绎推理的四种推理规则(1)假言推理:用符号表示这
3、种推理规则就是“如果pq,p真,则q真”.假言推理的本质是,通过验证结论的充分条件为真,判断结论为真.(2)三段论推理:用符号表示这种推理规则就是“如果M是P,S是M,则S是P.(3)传递性关系推理:推理规则是“如果aRb,bRc,则aRc”,其中“R”表示具有传递性的关系.(4)完全归纳推理:把所有情况都考虑在内的演绎推理规则叫做完全归纳推理.1 2【做一做2】下面说法正确的有()演绎推理是由一般到特殊的推理;演绎推理得到的结论一定是正确的;演绎推理的一般模式是“三段论”形式;演绎推理得到的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关.A.1个 B.2个 C.3个D.4个 解析:正确.错误的原因
4、是演绎推理的结论要为真,必须前提和推理形式都正确.答案:C 1 2 1.合情推理与演绎推理的区别与联系有哪些?剖析:合情推理 演绎推理 主要区别 常用形式 归纳、类比 三段论 思维运动过程的方向 归纳推理是从部分到整体,从特殊到一般的推理;类比推理是从特殊到特殊的推理 从一般性的知识的前提推出一个特殊性的知识的结论,即从一般到特殊的推理 前提与结论的联系 结论超过了前提所断定的范围,其结论具有或然性 结论不超过前提所断定的范围,前提和结论的联系是必然的 1 2 合情推理 演绎推理 主要区别 应用 不能作为数学证明的工具,但它具有创造性思维,对于一些科学的发现十分有用 可以作为数学证明的工具,较
5、少创造性,但它严密的论证有助于科学的理论化和系统化 主要联系 两者紧密联系,互为依赖,互为补充1.演绎推理的一般性知识的大前提必须借助于合情推理从具体的实验中概括出来.从这个意义上可以说,没有合情推理就没有演绎推理.2.合情推理也离不开演绎推理,合情推理活动的目的、任务和方向必须借助于理论思维,依靠人们先前积累的一般性理论知识作指导.这本身就是一种演绎活动,并且合情推理得到的结论正确与否,必须借助于演绎推理去论证,从这个意义上说,没有演绎推理也就没有合情推理 1 2 2.演绎推理的特点是什么?剖析:(1)演绎推理的前提是一般性原理,演绎推理所得的结论是蕴含于前提之中的个别、特殊事实,结论完全蕴
6、含于前提之中.(2)在演绎推理中,前提与结论之间存在必然的联系,只要前提是真实的,推理的形式是正确的,那么结论也必定是正确的,因而演绎推理是数学中严格证明的工具.(3)演绎推理是一种收敛性的思维方式,它缺乏创造性,但却具有条理清晰、令人信服的论证特点,有助于科学的理论化和系统化.题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 假言推理 【例题 1】已知函数 f(x)=+1 的图象与函数h(x)=14 +1+2 的图象关于点A(0,1)对称.(1)求m的值;(2)若在区间(0,2上为减函数,求实数a的取值范围.分析:应用假言推理,根据对称的性质,函数f(x)图象上的点关于点A(0,1)的对称点在函数h(
7、x)的图象上,代入h(x)即可求得.g(x)=f(x)+4 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 解:(1)设P(x,y)为函数h(x)图象上的任一点,点P关于点A的对称点为Q(x,y),则有 =-,=2-.点 Q(x,y)在函数 f(x)=+1 的图象上,y=+1.将 x=-x,y=2-y 代入上式,得 2-y=-1.整理,得 y=+1+2.又点 P(x,y)满足 h(x)=14 +1+2,即 y=14 +1+2,m=14.题型一 题型二 题型三 题型四 题型五(2)由(1)知,g(x)=14 +1+4=14 +1+.设 x1,x2 是区间(0,2上的任意两个实数,且 x1 0 对一切x1
8、,x2(0,2恒成立.x1x2-(1+a)0对一切x1,x2(0,2恒成立.x1x20,b0,a+b=1,求证:+12+122.分析:本题属于条件不等式的证明,直接用条件a+b=1来推理,方向不够明确,但只要注意所求证式子的特点,我们不难想到利用传递性关系推理进行证明.题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 证明:a0,b0,且 1=a+b2,ab14.12(a+b)+ab+141.+12 +12 1.2+2 +12 +12 4,即 +12+12+2 +12 +12 4.+12+12 24.+12+122.反思解本题的关键在于找准突破口,选择合理的方法.题型一 题型二 题型三 题型四 题型五
9、完全归纳推理【例题4】求证:当1n4(nN+)时,f(n)=(2n+7)3n+9能被36整除.分析:由于1n4(nN+),故n只取1,2,3,4四个自然数,从而可以进行完全归纳推理.证明:当n=1时,f(1)=(2+7)3+9=36,能被36整除;当n=2时,f(2)=(22+7)9+9=108=363,能被36整除;当n=3时,f(3)=(23+7)27+9=360=3610,能被36整除;当n=4时,f(4)=(24+7)81+9=1 224=3634,能被36整除.综上,当1n4(nN+)时,f(n)=(2n+7)3n+9能被36整除.反思完全归纳推理有两个规则:一是前提中被判断的对象必
10、须是该类事物的全部对象;二是前提中的所有判断都必须是正确的.题型四 题型五 题型一 题型二 题型三 易错辨析 易错点:在应用三段论推理来证明问题时,首先应明确什么是问题中的大前提和小前提.在应用三段论进行推理的过程中,大前提、小前提或推理形式任何一个出现错误,都可能导致结论错误.【例题5】如图,在ABC中,ACBC,CD是AB边上的高.求证:ACDBCD.错解:证明:在ABC中,因为CDAB,ACBC,所以ADBD,所以ACDBCD.错因分析:上面的证明过程中,小前提由ADBD得出ACDBCD是错误的.因为只有在同一个三角形中才有大边所对的角较大这一结论.题型四 题型五 题型一 题型二 题型三
11、 正解:证明:在ABC中,因为CDAB,所以ACD+A=BCD+B=90.又因为ACBC,所以BA,所以ACDBCD.反思应用三段论推理证明问题时,必须保证大前提、小前提及推理形式全部正确.1 2 3 41若a0,b0,则有()A.2 2b-aB.2 0时,|a|0;当a=0时,|a|=0;当a0,所以当a为实数时,|a|0.此推理过程运用的是演绎推理中的 推理.答案:完全归纳 1 2 3 44补充下列三段论:(1)因为互为相反数的两个数的和为0,又因为a与b互为相反数,且 ,所以b=8.(2)因为,又因为e=2.718 28是无限不循环小数,所以e是无理数.答案:(1)a=-8(2)无限不循环小数是无理数