1、13.2奇偶性第1课时函数的奇偶性目标 1.了解函数奇偶性的含义；2.掌握判断函数奇偶性的方法，培养逻辑推理核心素养；3.了解奇、偶函数的图象的对称性，培养直观想象能力重点 掌握判断函数奇偶性的方法难点 奇偶性的含义及判断.知识点一偶函数、奇函数的概念填一填设函数f(x)的定义域为D，1偶函数：对任意xD，都有f(x)f(x)，则f(x)为偶函数2奇函数：对任意xD，都有f(x)f(x)，则f(x)为奇函数答一答1奇偶性定义中的“任意”可以省略吗？提示：不能省略如函数yx2，x2,3，有f(2)4f(2)，f(1)f(1)，但不能因此就说函数yx2，x2，3是偶函数，因为f(3)是没有定义的从
2、这个意义上来说，任意两字实则强调的是函数的定义域一定要关于原点对称这个条件是必不可少的抛开了这个条件去讨论函数的奇偶性是毫无意义的也就是说在讨论一个函数的奇偶性之前，要先探讨函数的定义域2从奇偶函数的定义来考虑，若对于奇(偶)函数定义域内的任意一个自变量x，它的相反数x也在定义域内吗？由此得到什么结论？yx2，x1,1)是偶函数吗？提示：在函数的定义域内，奇(偶)函数的定义域是对称的yx2，x1,1)不是偶函数，原因是f(1)f(1)(f(1)不存在)3若奇函数f(x)在x0处有意义，则f(0)等于什么？提示：f(x)f(x)，f(0)f(0)，即2f(0)0，f(0)0.知识点二偶函数、奇函
3、数的图象特征填一填1偶函数的图象关于y轴对称2奇函数的图象关于原点对称答一答4一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数吗？函数图象关于原点对称呢？提示：若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数；图象关于原点对称，则这个函数是奇函数5如图是偶函数f(x)在y轴右侧部分的图象，试画出函数f(x)在y轴左侧部分的图象提示：利用偶函数的图象关于y轴对称的特点，可作出函数yf(x)在y轴左侧部分的图象如图所示类型一判断函数的奇偶性例1判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)；(2)f(x)；(3)f(x)|xa|xa|(aR)；(4)f(x).分析首先确定函数的定义域是否关于原点对称，然后化
4、简解析式，验证f(x)与f(x)的关系解(1)函数f(x)的定义域为1,1，关于原点对称，此时f(x)0，所以函数f(x)既是奇函数又是偶函数(2)函数f(x)的定义域是(，1)(1，)，不关于原点对称，f(x)是非奇非偶函数(3)函数的定义域为(，)，关于原点对称当a0时，f(x)|xa|xa|xa|xa|(|xa|xa|)f(x)；当a0时，f(x)|xa|xa|x|x|0.综上，当a0时，函数f(x)为奇函数；当a0时，函数f(x)既是奇函数又是偶函数(4)由1x20，得1x1.由|x2|20，得x0，且x4.故函数f(x)的定义域是1,0)(0,1，关于原点对称显然x1,0)(0,1时
5、，x20.则f(x).f(x)f(x)，f(x)是奇函数(1)对复杂的函数解析式，要合理、恰当地变形，向有利于判断的方向进行，直到判断出其奇偶性为止.(2)当函数中含有待定系数时，要注意对其进行分类讨论.(3)因为函数的定义域是否关于原点对称是判断函数奇偶性的前提，所以判断函数的奇偶性时，应先判断函数的定义域是否关于原点对称.变式训练1(1)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是(D)AyByxCyx2 Dyxx2解析：A，C选项是偶函数，B选项是奇函数，D选项既不是奇函数，也不是偶函数选D.(2)判断函数f(x)的奇偶性解：函数的定义域关于原点对称当x0时，x0，f(x)x1(x)x(1
6、x)f(x)当x0，f(x)(x)1(x)x(1x)f(x)f(x)f(x)，f(x)是奇函数类型二函数奇偶性的图象特征例2(1)若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(，0上是减函数，且f(2)0，则使得f(x)0的x的取值范围是()A(，2)B(2，)C(，2)(2，)D(2,2)(2)设奇函数f(x)的定义域为5,5，若当x0,5时，f(x)的图象如图，则不等式f(x)0的解集是_答案(1)D(2)x|2x0或2x5解析(1)由f(x)在(，0上是减函数，又偶函数的图象关于y轴对称知，f(x)在0，)上是增函数又由f(2)0知，函数图象过点(2,0)故作符合题设条件的示意图如图(1)，由
7、图象知使f(x)0的x的取值范围为(2,2)，故选D.(2)由奇函数的性质知，其图象关于原点对称，则f(x)在定义域5，5上的图象如图(2)，由图可知不等式f(x)0的解集为x|2x0或2x5已知函数的奇偶性及部分图象，根据对称性可补出另一部分图象.奇函数在对称区间上单调性相同；偶函数在对称区间上单调性相反.变式训练2已知定义在R上的偶函数f(x)在0，)上单调递增，且f(1)0，则不等式f(x2)0的解集是(，_13,_)解析：由已知可得x21或x21，解得x3或x1，所求解集是(， 13, )类型三利用函数的奇偶性求参数例3(1)已知函数f(x)x2(2m)xm212为偶函数，则m的值是(
8、)A4 B3 C2 D1(2)设函数f(x)为奇函数，则a_.答案(1)C(2)1解析(1)因为函数f(x)x2(2m)xm212为偶函数，所以f(x)f(x)，即x2(2m)xm212(x)2(2m)xm212，即42m0，所以m2.(2)法1：(定义法)由已知f(x)f(x)，即.显然x0得，x2(a1)xax2(a1)xa，故a10，得a1.法2：(特值法)由f(x)为奇函数得f(1)f(1)，即，整理得a1.由函数的奇偶性求参数应注意两点(1)函数奇偶性的定义既是判断函数的奇偶性的一种方法，也是在已知函数奇偶性时可以运用的一个性质，要注意函数奇偶性定义的正用和逆用.(2)利用常见函数如
9、一次函数、反比例函数、二次函数具有奇偶性的条件也可求得参数.变式训练3(1)若函数f(x)ax2bx3ab是偶函数，定义域为a1,2a，则a，b0；(2)已知yf(x)是奇函数，当x0时，f(x)x2ax，且f(3)6，则a的值为5.解析：(1)因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a12a，解得a.又函数f(x)x2bxb1为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得b0.(2)因为f(x)是奇函数，所以f(3)f(3)6，所以(3)2a(3)6，解得a5.1f(x)x3的图象关于(A)A原点对称By轴对称Cyx对称 Dyx对称解析：f(x)的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称又f(x)(x)3
10、x3(x3)f(x)，f(x)是奇函数，其图象关于原点对称2函数f(x)的奇偶性为(D)A奇函数B偶函数C既是奇函数又是偶函数D非奇非偶函数解析：函数f(x)的定义域为0，)，不关于原点对称，故f(x)是非奇非偶函数3若函数f(x)x2|xa|为偶函数，则实数a0.解析：f(x)f(x)，x2|xa|x2|xa|.|xa|xa|，平方得4ax0恒成立a0.4已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且f(1)2，则f(0)f(1)2.解析：f(x)为R上的奇函数，f(0)0，f(1)f(1)2，f(0)f(1)022.5已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x0时，f(x)，试求f(x)的解析式解：
11、当x0，此时f(x)f(x)，所以f(x)即f(x).本课须掌握的三大问题1定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的一个条件， f(x)f(x)或 f(x)f(x)是定义域上的恒等式2奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式： f(x)f(x)f(x)f(x)01(f(x)0)3函数奇偶性的图象特征(1)如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数(2)如果一个函数是偶函数，则它的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数