1、成才之路 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索北师大版 必修4 第二章 平面向量成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 平面向量 第二章 第二章 平面向量成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 箭射雁头服群雄水浒传中写道，花荣把眼一观，随行人半数内却有带弓箭的，急取过一支好箭，便对晁盖道：“恰才兄长见说花荣射断绒绦，众头领似有不信之意，远远的有一行雁来，花荣未敢夸口，这支箭要射雁行内第三只雁的头上射不中时，众头领休笑”花荣搭上箭，拽满弓，觑得亲切，望空中只一箭射去，果然正中雁行内第三只，直坠落山坡下，急叫军士取来看时，那支箭正穿在雁头上，晁盖和众头领看了，尽皆骇然
2、，都称花荣做“神臂将军”第二章 平面向量成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 箭在古代又叫“矢”，物理上的“矢量”在数学中又叫“向量”本章将要学习平面向量的有关知识，通过本章的学习，我们将知道，平面向量的知识在生活中有着广泛的应用花荣有如此神功，说明他射箭的方向和距离(力度)掌握的恰到好处那么花荣是如何掌控箭的方向和距离的呢？学完本章后，你就明白了第二章 1 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 1 从位移、速度、力到向量第二章 第二章 1 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 课堂典例讲练 2课 时 作 业 4课前自主预习 1易错疑难辨析
3、 3第二章 1 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 课前自主预习第二章 1 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去，请问：猫能否追到老鼠(如图)?结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了分析：老鼠逃窜的路线AC、猫追逐的路线BD实际上都是有长短、有方向的量生活中还有许多既有大小又有方向的量，你能说出它们并指出其大小和方向吗？本节就来学习这方面的知识第二章 1 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 1向量的概念既有_，又有_的量叫作向量2向量的表示方法(1)具有_的线段，叫作有向线段以A为始点，以B为终点的
4、有向线段记作_，线段AB 的长度也叫作有向线段AB的长度，记作|AB|.大小方向方向和长度AB第二章 1 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 (2)向量可以用_来表示有向线段的长度表示_，箭头所指的方向表示_(3)向量也可以用黑体小写字母如a，b，c，来表示，书写用 a，b，c，来表示3向量的长度(模)_(或_)表示向量 AB(或a)的大小，即长度(也称模)有向线段向量的大小向量的方向|AB|a|第二章 1 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 4四种重要的向量(1)长 度 为 零 的 向 量 叫 作 _，记 作 _ 或_，它的方向与任一向量平行(2)与向
5、量a_，且长度为_的向量，叫作a方向上的单位向量，记作_(3)长度_且方向_的向量叫作相等向量，向量a与b相等，记作ab规定所有的零向量_(4)如 果 表 示 两 个 向 量 的 有 向 线 段 所 在 的 直 线_，则称这两个向量_或_，a与b平行或共线，记作ab零向量0 0同方向单位1 a0相等相同相等平行或重合平行共线第二章 1 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 1下列各量：密度；浮力；温度；风速其中向量有()ABCD答案 C第二章 1 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 解析 主要考查向量与数量的区别由向量的概念可知：浮力和风速是向量，密度与温
6、度是数量，故选C实际问题中的一些量(温度、电量等)，尽管它们有正、负之分，但不是表示方向的，它们是数量，而向量是一个既有大小又有方向的量，如位移、速度、加速度、力等物理量第二章 1 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 2下列关于向量的说法中，正确的是()A长度相等的两向量必相等B两向量相等，其长度不一定相等C向量的大小与有向线段的起点无关D向量的大小与有向线段的起点有关答案 C解析 长度相等，方向不同的向量并不是相等向量，故A错；两向量相等，必有两向量的长度相等，故B错；向量的大小与有向线段的起点并无关系，故D错第二章 1 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必
7、修4 3如图，AB DC，AC与BD相交于点O，则相等的向量是()AAD 与CBBOA 与OCCAC与DBDDO 与OB第二章 1 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 答案 D解析 ABDC，四边形ABCD为平行四边形AC与BD的交点O为BD中点，DO OB.第二章 1 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 4若对任意向量b，均有ab，则a为_答案 0解析 零向量可以与任意向量平行5设O是正ABC的中心，则向量 AO，OB，OC 是_(填上正确的序号)平行向量；模相等的向量；相等向量答案 解析 由O是正ABC的中心，知O点到三个顶点A，B，C的距离相等，但
8、三个向量的方向既不相同也不相反，所以AO，OB，OC 的模相等第二章 1 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 课堂典例讲练第二章 1 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 向量的有关概念给出下列几种说法：(1)温度、速度、位移这些物理量都是向量；(2)若|a|b|，则ab或ab；(3)向量的模一定是正数；(4)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；(5)向量AB 与CD 是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一直线上其中正确的序号是_第二章 1 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 思路分析 本题涉及了向量的几个重要概念解答时
9、可从向量定义、向量的模、相等向量、平行向量等概念入手，逐一判断对错答案(4)规范解答(1)错误，只有速度、位移是向量.(2)错误由|a|b|仅说明a与b模相等，但不能说明它们方向的关系(3)错误.0的模|0|0.第二章 1 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 (4)正确对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的，因此相等向量可以起点不同(5)错误共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB、CD 必须在同一直线上第二章 1 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 规律总结 对于一些意义相近的概念，一定要准确把握，仔细分辨如有向
10、线段与向量，不能混同，有向线段是向量的几何表现形式，不仅有大小和方向，还有起点和终点，而向量只有大小和方向比如向量a的单位向量有两个，这两个单位向量方向相反再如向量共线与向量同向，共线不一定同向，但同向一定共线第二章 1 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 给出下列说法：若 AB DC，则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点；在平行四边形ABCD中，一定有 AB DC；若ab，bc，则ac；若ab，bc，则aC其中正确的序号为_答案 第二章 1 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 解析 AB DC，A，B，C，D四点可能在同一条直线上，故不正确在平行
11、四边形ABCD中，|AB|DC|，AB 与DC 平行且方向相同，所以ABDC，故正确若ab，则|a|b|，且a与b方向相同；若bc，则|b|c|，则b与c方向相同，则a与c长度相等且方向相同，所以ac，故正确对于，当b0时，a与c不一定平行，故不正确第二章 1 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 相等向量与共线向量以边长为2的正方形的中心O为起点，分别以各顶点、各边的中点为终点作出向量a、b、c、d、e、f、g、h.(1)在各边与已知正方形相应各边平行且边长为1的正方形ABCD中找出与它们相等的向量；(2)写出分别与AB、BC、AC、BD 共线的向量思路分析(1)要找出具体
12、相等向量，只需在正方形ABCD中分别找出长度相等且方向相同的向量即可；(2)共线向量只需找方向相同或相反的向量即可第二章 1 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 规范解答(1)作出图形如图，由已知，有|a|c|e|g|1，|b|d|f|h|2，而在正方形ABCD中，|AB|CD|BC|AD|1，|AC|BD|2.第二章 1 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 又已知两正方形对应边平行，所以AB DC a，BC ADc，BA CD e，CB DA g，AC b，CA f，BD d，DB h.(2)已知两正方形对应边平行，则对应对角线也平行，所以与AB共线的
13、向量有：a、e；与BC共线的向量有：c、g；与AC共线的向量有：b、f；与BD 共线的向量有：d、h.第二章 1 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 规律总结(1)寻找相等向量要把握住向量的两要素：大小和方向，相等向量必须二者都相同才成立同时，也可以看出，向量是可以平移的，相等向量的起点并不一定要相同(2)对于非零向量，共线向量只需把握向量的方向要素，与向量的大小无关，故寻找非零共线向量时，只需判断两向量所在的直线是否共线或者重合即可第二章 1 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 如图所示，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形(1)与向量ED 相等的向
14、量为_；(2)若|AB|3，则向量EC的模等于_答案(1)AB、DC (2)6第二章 1 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 解析(1)在平行四边形ABCD和ABDE中，ABED，ABDC，ED DC.(2)由(1)知，ED DC，E、D、C三点共线，|EC|ED|DC|2|AB|6.第二章 1 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 向量表示的模型一辆汽车从A点出发向西行驶了100千米到达点B，然后又改变方向向西偏北50行驶了200千米到达点C，最后又改变方向，向东行驶了100千米到达点D(1)作出向量AB，BC，CD；(2)求|AD|.思路分析 首先确立
15、指向标，然后再根据行驶方向和距离作出向量，进而求解第二章 1 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 规范解答(1)如图所示第二章 1 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 (2)由题意，易知AB与CD 方向相反，故AB与CD 共线又|AB|CD|，在四边形ABCD中，AB綊CD四边形ABCD为平行四边形|AD|BC|200千米第二章 1 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 规律总结(1)准确画出向量的方法是先确定向量起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点(2)要能够运用向量的观点将实际问题抽象成数学模型，“数学建模”是今
16、后能力培养的主要方向，需要在日常学习中不断积累经验第二章 1 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 已知飞机从甲地按北偏东30的方向飞行2000km到达乙地，再从乙地按南偏东30的方向飞行2000km到达丙地，再从丙地按西南方向飞行10002 km到达丁地，问丁地在甲地的什么方向？丁地距甲地多远？解析 如图所示，A、B、C、D分别表示甲地、乙地、丙地、丁地，依题意知，ABC为正三角形，第二章 1 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 AC2000(km)又ACD45，CD1000 2(km)，ACD 为直角三角形，即 AD1000 2(km)，CAD45.故
17、丁地在甲地的东南方向，距甲地 1000 2km.第二章 1 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 一位模型赛车手遥控一辆赛车面向正东方向，向前行进1m，逆时针方向旋转，继续按直线向前行进1m，再按逆时针方向旋转，继续按直线向前行进1m，按此方法继续操作下去(1)作图说明，若45，则操作几次时，赛车的位移是零；(2)按(1)中操作得到的向量中，写出相等或共线的向量思路分析 当赛车总共转了360之后，回到起点时，位移刚好是零向量的应用第二章 1 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 规范解答(1)如图所示，由条件知赛车转了360后，回到起点，此时位移是零.360
18、45 8，所以操作了8次(2)如图所示为正八边形路线图形，其中共线向量是：AB与EF、BC与FG、CD 与GH、DE 与HA.第二章 1 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 规律总结 向量相等或共线与表示向量的有向线段的起点无关，仅决定于向量的长度和方向第二章 1 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 中国象棋中规定：马走“日”字，象走“田”字如下图所示，在中国象棋的半个棋盘(48个矩形中，每个小方格都是单位正方形)中，若马在A处，可跳到A1处，也可跳到A2处，用向量AA1、AA2 表示马走了“一步”，试在图中画出马在B、C处走了一步的所有情况第二章 1
19、成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 解析 如下图，以点C为起点作向量(共8个)，以点B为起点作向量(共3个)第二章 1 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 易错疑难辨析第二章 1 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 下列四个命题若|a|0，则a0；若|a|b|，则ab或ab；若ab，则|a|b|；若a0，则a0.其中正确命题的个数是()A1 B2 C3 D4第二章 1 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 错解 D辨析 认为正确是忽略了0和0的区别由|a|0可知a是零向量，但是a0，之所以出现这样的错误原因是对零向量的概念认识不清；认为正确是把两个向量的模相等和两个实数相等混淆了，两个向量的模相等，只能说明它们的长度相等，并不意味着它们的方向是相同或相反的；认为正确是因为对两个向量平行的意义理解不透造成的，两个向量平行，可以得到它们的方向相同或相反，而未必得到它们的模相等，正确正解 A第二章 1 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 必修4 课 时 作 业（点此链接）