1、考点规范练44空间向量及其运算基础巩固1.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M为A1C1的中点,若AB=a,BC=b,AA1=c,则BM可表示为()A.-12a+12b+cB.12a+12b+cC.-12a-12b+cD.12a-12b+c答案:A解析:取AC的中点N,连接BN,MN,如图所示.M为A1C1的中点,AB=a,BC=b,AA1=c,NM=AA1=c,BN=12(BA+BC)=12(-AB+BC)=-12a+12b,BM=BN+NM=-12a+12b+c=-12a+12b+c.故选A.2.已知a=(+1,0,2),b=(6,2-1,2),若ab,则与的值可以是()A.2,12B
2、.-13,12C.-3,2D.2,2答案:A解析:ab,存在kR,使b=ka,即(6,2-1,2)=k(+1,0,2),则6=k(+1),2-1=0,2=2k,解得=2,=12或=-3,=12.3.已知a=(-2,1,3),b=(-1,2,1),若a(a-b),则实数的值为()A.-2B.-143C.145D.2答案:D解析:由题意知a(a-b)=0,即a2-ab=0,14-7=0.=2.4.已知A,B,C,D是空间不共面的四点,且满足ABAC=0,ACAD=0,ABAD=0,M为BC的中点,则AMD是()A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.不确定答案:C解析:M为BC的中点,AM=
3、12(AB+AC).AMAD=12(AB+AC)AD=12ABAD+12ACAD=0.AMAD,AMD为直角三角形.5.在空间直角坐标系中,A(1,1,-2),B(1,2,-3),C(-1,3,0),D(x,y,z)(x,y,zR),若A,B,C,D四点共面,则()A.2x+y+z=1B.x+y+z=0C.x-y+z=-4D.x+y-z=0答案:A解析:A(1,1,-2),B(1,2,-3),C(-1,3,0),D(x,y,z)(x,y,zR),AB=(0,1,-1),AC=(-2,2,2),AD=(x-1,y-1,z+2).A,B,C,D四点共面,存在实数,使得AD=AB+AC,即(x-1,
4、y-1,z+2)=(0,1,-1)+(-2,2,2),x-1=-2,y-1=+2,z+2=-+2,解得2x+y+z=1,故选A.6.在空间四边形ABCD中,则ABCD+ACDB+ADBC的值为()A.-1B.0C.1D.2答案:B解析:如图,令AB=a,AC=b,AD=c,则ABCD+ACDB+ADBC=AB(AD-AC)+AC(AB-AD)+AD(AC-AB)=a(c-b)+b(a-c)+c(b-a)=ac-ab+ba-bc+cb-ca=0.7.已知向量a=(1,0,-1),则下列向量与a的夹角为60的是()A.(-1,1,0)B.(1,-1,0)C.(0,-1,1)D.(-1,0,1)答案
5、:B解析:对于选项B,设b=(1,-1,0),则cos=ab|a|b|=1122=12.因为0180,所以=60,故选B.8.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=(1,2,0),AD=(2,1,0),CC1=(0,1,5),则对角线AC1的边长为()A.42B.43C.52D.12答案:C解析:AC1=AA1+A1B1+B1C1=CC1+AB+AD=(0,1,5)+(1,2,0)+(2,1,0)=(3,4,5),所以|AC1|=32+42+52=52.9.(2020上海闵行区模拟)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M和N分别是正方形ABCD和BB1C1C的中心,若点P满足DP
6、=mDA+nDM+kDN,其中m,n,kR,且m+n+k=1,则点P可以是正方体表面上线段上的点.答案:AB1,B1C,AC解析:因为点P满足DP=mDA+nDM+kDN,其中m,n,kR,且m+n+k=1,所以点P在A,M,N三点确定的平面上.如图,连接B1A,B1C,AC,MN,又因为M和N分别是正方形ABCD和BB1C1C的中心,所以CN=B1N,AM=MC,从而MNAB1,所以AB1C即为经过A,M,N三点的平面与正方体的截面.故点P可以是正方体表面上线段AB1,B1C,AC上的点.10.已知O(0,0,0),A(1,2,3),B(2,1,2),P(1,1,2),点Q在直线OP上运动.
7、当QAQB最小时,点Q的坐标是.答案:43,43,83解析:设OQ=OP=(,2),则QA=(1-,2-,3-2),QB=(2-,1-,2-2).故QAQB=(1-)(2-)+(2-)(1-)+(3-2)(2-2)=62-16+10=6-432-23.所以当=43时,QAQB取得最小值-23,此时OQ=43,43,83.所以点Q的坐标是43,43,83.11.如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,G为BC1D的重心,求证:(1)A1,G,C三点共线;(2)A1C平面BC1D.答案:证明(1)CA1=CB+BA+AA1=CB+CD+CC1,可以证明CG=13(CB+CD+CC1)
8、=13CA1,CGCA1,即A1,G,C三点共线.(2)设CB=a,CD=b,CC1=c,则|a|=|b|=|c|=a,且ab=bc=ca=0,CA1=a+b+c,BC1=c-a,CA1BC1=(a+b+c)(c-a)=c2-a2=0.因此CA1BC1,即CA1BC1.同理CA1BD,又BD与BC1是平面BC1D内的两条相交直线,故A1C平面BC1D.能力提升12.在平行六面体ABCD-ABCD中,若AC=xAB+2yBC-3zCC,则x+y+z=()A.1B.76C.56D.23答案:B解析:AC=AC+CC=AD+AB+CC=AB+BC+CC=xAB+2yBC-3zCC,x=1,y=12,
9、z=-13,x+y+z=1+12-13=76.13.如图,直角三角形OAC所在平面与平面交于OC,平面OAC平面,OAC为直角,OC=4,B为OC的中点,且ABC=23,平面内一动点P满足PAB=3,则OPCP的取值范围是.答案:0,+)解析:平面OAC平面,交线为OC,作AOOC,交OC于点O,则AO平面.以O为原点,平面为xOy坐标平面,OA方向为z轴正方向,建立空间直角坐标系Oxyz.OAC为直角,OC=4,B为OC的中点,且ABC=23,BC=AB=OB=2,ABO=3,OA=3,OB=1,OO=1,OC=3.设点P的坐标为(x,y,0).O(0,-1,0),A(0,0,3),B(0,
10、1,0),C(0,3,0),OP=(x,y+1,0),CP=(x,y-3,0),AP=(x,y,-3),AB=(0,1,-3).又PAB=3,APAB=y+3=x2+y2+3212,即x2=6y+60.y-1.OPCP=x2+(y+1)(y-3)=6y+6+y2-2y-3=y2+4y+3=(y+2)2-1.y-1,当y=-1时,OPCP取得最小值0.OPCP0.高考预测14.一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是(0,0,0),(0,0,1),(1,1,0),(1,0,1),则此四面体在xOy坐标平面上的正投影图形的面积为()A.14B.12C.34D.1答案:B解析:一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是(0,0,0),(0,0,1),(1,1,0),(1,0,1),如图,此四面体在xOy坐标平面上的正投影图形是ABD,此四面体在xOy坐标平面上的正投影图形的面积为SABD=1211=12.故选B.