1、考点规范练42直线的倾斜角与斜率、直线的方程基础巩固1.(2020重庆期末)过点A(2,1),B(m,3)的直线的倾斜角的范围是4,34,则实数m的取值范围是()A.0m2B.0m4C.2m4D.0m2或2m4答案:B解析:由直线的倾斜角的范围是4,34,得直线的斜率存在时,有k1.又kAB=3-1m-2=2m-2,m2,故2m-21,解得0m2或2m1,且n1B.mn0C.m0,且n0,且n0答案:B解析:因为y=-mnx+1n经过第一、二、四象限,所以-mn0,即m0,n0,但此为充要条件,因此,其必要不充分条件为mn0,故选B.5.设A,B是x轴上的两点,点P的横坐标为2,且|PA|=|
2、PB|,若直线PA的方程为x-y+1=0,则直线PB的方程是()A.x+y-5=0B.2x-y-1=0C.2x-y-4=0D.2x+y-7=0答案:A解析:易知A(-1,0).|PA|=|PB|,P在AB的中垂线x=2上.B(5,0).PA,PB关于直线x=2对称,kPB=-1.lPB:y-0=-(x-5),即x+y-5=0.6.若ab0,且A(a,0),B(0,b),C(-2,-2)三点共线,则ab的最小值为.答案:16解析:根据A(a,0),B(0,b)确定直线的方程为xa+yb=1,又C(-2,-2)在该直线上,故-2a+-2b=1,所以-2(a+b)=ab.又ab0,故a0,b0.根据
3、基本不等式ab=-2(a+b)4ab,从而ab0(舍去)或ab4,故ab16,当且仅当a=b=-4时取等号.即ab的最小值为16.7.(2020云南保山期末)已知直线l过点P(1,0)且与线段y=2(-2x2)有交点,设直线l的斜率为k,则k的取值范围是.答案:-,-232,+)解析:如图,kPB=2-02-1=2,kPA=2-0-2-1=-23,由于直线l与线段y=2(-2x2)有交点,故k2或k-23.8.设直线l的方程为(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=2m-6,根据下列条件分别求m的值.(1)直线l经过定点P(2,-1);(2)直线l在y轴上的截距为6;(3)直线l与y轴平行
4、;(4)直线l与y轴垂直.解：(1)由于点P在直线l上,即点P的坐标(2,-1)适合方程(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=2m-6,把点P的坐标(2,-1)代入方程,得2(m2-2m-3)-(2m2+m-1)=2m-6,解得m=17.(2)令x=0,得y=2m-62m2+m-1,且2m2+m-10,根据题意可知2m-62m2+m-1=6,且m-1或12,解得m=-13或m=0.(3)直线与y轴平行,则有m2-2m-30,2m2+m-1=0,解得m=12.(4)直线与y轴垂直,则有m2-2m-3=0,2m2+m-10,解得m=3.9.已知直线l过点P(0,1),且与直线l1:x-3y+
5、10=0和l2:2x+y-8=0分别交于点A,B(如图).若线段AB被点P平分,求直线l的方程.解：点B在直线l2:2x+y-8=0上,可设点B的坐标为(a,8-2a).点P(0,1)是线段AB的中点,点A的坐标为(-a,2a-6).又点A在直线l1:x-3y+10=0上,将A(-a,2a-6)代入直线l1的方程,得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4.点B的坐标是(4,0).因此,过P(0,1),B(4,0)的直线l的方程为x4+y1=1,即x+4y-4=0.能力提升10.直线l经过点A(1,2),在x轴上的截距的取值范围是(-3,3),则其斜率的取值范围是()A.-1,15B.-,1
6、2(1,+)C.(-,1)15,+D.(-,-1)12,+答案:D解析:设直线的斜率为k,如图,过定点A的直线经过点B时,直线l在x轴上的截距为3,此时k=-1;过定点A的直线经过点C时,直线l在x轴上的截距为-3,此时k=12,满足条件的直线l的斜率范围是(-,-1)12,+.11.已知直线l过点P(3,2),且与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,当AOB的面积取最小值时,直线l的方程为.答案:2x+3y-12=0解析:方法1:易知直线l的斜率k存在且k0,则直线l的方程为y-2=k(x-3)(k0,b0),将点P(3,2)代入得3a+2b=126ab,即ab24,当且仅当3a=
7、2b,即a=6,b=4时等号成立,又SAOB=12ab,所以当a=6,b=4时,AOB的面积最小,此时直线l的方程为x6+y4=1,即2x+3y-12=0.12.直线l过点P(-2,1)且斜率为k(k1),将直线l绕P点按逆时针方向旋转45得直线m,若直线l和m分别与y轴交于Q,R两点.(1)用k表示直线m的斜率;(2)当k为何值时,PQR的面积最小?并求出面积最小时直线l的方程.解：(1)设直线l的倾斜角为,则直线m的倾斜角为+45,由k1,知(45,90),根据题意知直线m的倾斜角为+45,故km=tan(45+)=1+tan1-tan=1+k1-k.(2)易得直线l的方程为y-1=k(x
8、+2),直线m的方程为y-1=1+k1-k(x+2),令x=0,得yQ=2k+1,yR=3+k1-k,即SPQR=12|yQ-yR|xP|=2(k2+1)k-1.因为k1,所以SPQR=2(k2+1)k-1=2k2+1k-1=2(k-1)+2k-1+24(2+1).由k-1=2k-1,得k=2+1(k=1-2舍去),所以当k=2+1时,PQR的面积最小,最小值为4(2+1),此时直线l的方程是(2+1)x-y+22+3=0.高考预测13.在平面直角坐标系xOy中,已知角的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边落在直线y=2x上,则sin32+2=()A.45B.-45C.35D.-35答案:C解析:因为角终边落在直线y=2x上,所以tan=2,可得cos2=15,所以sin32+2=-cos2=-(2cos2-1)=-215-1=35.故选C.