1、考点规范练56几何概型基础巩固1.(2021全国)在区间0,12随机取1个数,则取到的数小于13的概率为()A.34B.23C.13D.162.(2021广西桂林高三检测)如图,矩形的长为6,宽为4,在矩形内随机撒300颗黄豆,落在椭圆外的黄豆数为96,以此试验数据为依据可以估计出椭圆的面积为()A.16.32B.15.32C.8.68D.7.683.“今有池方一丈,葭生其中央,出水一尺,引葭赴岸,适与岸齐.问水深、葭长各几何?”其意思是:有一个正方形的池塘,池塘的边长为一丈,有一棵芦苇生长在池塘的正中央,露出水面一尺,若把它引向岸边,正好与岸边齐(如图所示),问水有多深?芦苇有多长?其中一丈
2、为十尺.若从该芦苇上随机取一点,则该点取自水上的概率为()A.1213B.113C.314D.2134.(2021贵州贵阳模拟)经数学家证明:“在平面上画有一组间距为a的平行线,将一根长度为l(la)的针任意掷在这个平面上,此针与平行线中任一条相交的概率为p=2la(其中为圆周率)”.某试验者用一根长度为2 cm的针,在画有一组间距为3 cm平行线所在的平面上投掷了n次,其中有120次出现该针与平行线相交,并据此估算出的近似值为103,则n的值为()A.300B.400C.500D.6005.已知在ABC中,ABC=60,AB=2,BC=6,在BC上任取一点D,则使ABD为钝角三角形的概率为(
3、)A.16B.13C.12D.236.有一个长、宽分别为50 m,30 m的游泳池,一名工作人员在池边巡视,某时刻出现在池边任一位置的可能性相同.一人在池中心(对角线的交点)处呼唤工作人员,其声音可传出152 m,则工作人员能及时听到呼唤(出现在声音可传到区域)的概率是()A.34B.38C.316D.12+3327.若在区间-1,1上随机取一个数x,则sinx4的值介于-12与22之间的概率为()A.14B.13C.23D.568.(2021广西南宁三中二模)在边长为6的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域,从该正方形区域内任取一点,若该点落在阴影区域内的概率为49,则阴影区域的面积为.9.记
4、集合A=(x,y)|x2+y24和集合B=(x,y)|x+y-20,x0,y0表示的平面区域分别为1和2,若在区域1内任取一点M(x,y),则点M落在区域2的概率为.10.如图,在RtABC中,BAC=90,AB=1,BC=2.在边BC上任取一点M,则AMB90的概率为.能力提升11.在区间-1,1上随机取一个数k,使直线y=kx+52与圆x2+y2=1不相交的概率为()A.34B.23C.12D.1312.已知函数f(x)=x2+bx+c,其中0b4,0c4.记函数f(x)满足条件f(2)12,f(-2)4为事件A,则事件A发生的概率为()A.14B.58C.12D.3813.设点(a,b)
5、是区域x+y-40,x0,y0内的任意一点,则使函数f(x)=ax2-2bx+3在区间12,+内单调递增的概率为.14.(2021广西南宁模拟)魏晋时期数学家刘徽在他的著作九章算术注中,称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”(如图),刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为4.在棱长为2的正方体内任取一点,此点取自“牟合方盖”的概率为.15.张先生订了一份报纸,送报人在早上6:307:30之间把报纸送到他家,张先生离开家去上班的时间在早上7:008:00之间,则张先生在离开家之前能得到报纸的概率是.高考预测16.在区间0,5上随机地取一个数x,
6、则事件“12x-14”发生的概率为()A.25B.15C.12D.14答案：1.B解析所求事件的概率P=13-012-0=23.2.A解析设椭圆的面积为S,则黄豆落在椭圆外的概率为矩形面积-椭圆面积矩形面积=24-S64,即96300=24-S24,解得S=16.32.3.B解析设水深为x尺,根据勾股定理可得(x+1)2=x2+52,解得x=12,则水深12尺,芦苇长13尺.根据几何概型概率公式可得,从该芦苇上随机取一点,该点取自水上的概率为P=113,故选B.4.A解析根据题意,得2la=120n,即221033=120n,所以n=300.5.C解析如图,当BE=1时,AEB为直角,则点D在
7、线段BE(不包含B,E点)上时,ABD为钝角三角形;当BF=4时,BAF为直角,则点D在线段CF(不包含C,F点)上时,ABD为钝角三角形.故ABD为钝角三角形的概率为1+26=12.6.B解析如图,工作人员在池边巡视的长度为160,工作人员能及时听到呼唤的长度为30+30=60,故所求的概率为60160=38.7.D解析-1x1,-4x44.由-12sinx422,得-6x44,则-23x1.故所求事件的概率为1-231-(-1)=56.8.16解析设阴影区域的面积为S,由几何概型公式得49=S66,故S=16.故阴影部分的面积为16.9.12解析作圆O:x2+y2=4,区域1就是圆O内部(
8、含边界),其面积为4,区域2就是图中AOB内部(含边界),其面积为2,因此所求概率为24=12.10.14解析如图,在RtABC中,作ADBC,D为垂足,由题意可得BD=12,且点M在BD上时,满足AMB90,故所求概率为BDBC=122=14.11.C解析要使直线y=kx+52与圆x2+y2=1不相交,应满足52k2+11,解得-12k12,所以在区间-1,1上随机取一个数k,使直线y=kx+52与圆x2+y2=1不相交的概率为P=12+121+1=12.故选C.12.C解析由题意,得4+2b+c12,4-2b+c4,0b4,0c4,即2b+c-80,2b-c0,0b4,0c4,表示的区域(
9、阴影部分)如图所示,可知阴影部分的面积为8,所以所求概率为12,故选C.13.13解析作出不等式组x+y-40,x0,y0所对应的平面区域如图AOB区域,可知符合条件的点所构成的区域面积为SAOB=1244=8.若函数f(x)=ax2-2bx+3在区间12,+内是单调递增,则a0,-2b2a=ba12,即a0,a-2b0.则A(0,4),B(4,0),由a+b-4=0,a-2b=0得a=83,b=43.即C83,43.则使函数f(x)=ax2-2bx+3在区间12,+内单调递增的点(a,b)所构成的区域为OBC,其面积为12443=83.故所求的概率为838=13.14.23解析正方体的棱长为
10、2,则其内切球的半径为1,设正方体的体积为V,正方体的内切球的体积为V1,“牟合方盖”的体积为V2,正方体的体积为V=23=8,正方体的内切球的体积为V1=4313=43.由题意得V1V2=4,则“牟合方盖”的体积为V2=443=163.所以在棱长为2的正方体内任取一点,此点取自“牟合方盖”的概率为P=V2V=1638=23.15.78解析以横坐标x表示报纸送到时间,纵坐标y表示张先生离家时间,建立平面直角坐标系如图所示.因为随机试验落在正方形区域内任何一点是等可能的,所以符合几何概型.根据题意只要点落到阴影部分,就表示张先生在离开家前能得到报纸,故所求的概率为11-12121211=78.16.A解析根据题意,因为12x-14,即202x-122,解得1x3,因此事件“12x-14”发生的概率为P=3-15-0=25.故选A.