1、考点规范练56几何概型基础巩固1.某人睡午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台报时(电台整点报时),则他等待的时间不多于15分钟的概率为()A.14B.12C.23D.34答案:A解析:电台整点报时,事件总数包含的时间长度是60,满足他等待的时间不多于15分钟的事件包含的时间长度是15,由几何概型公式得到P=1560=14.2.(2020陕西模拟)如图,在圆O的圆心O处有一个通信基站,=2,假设其信号覆盖范围是该圆内的白色区域(该圆形区域内无其他信号来源,基站工作正常),若在圆内随机地选一地点,则该地点无信号的概率是()A.1-sin2B.2C.1-sin22D.2-sin22答案:D解
2、析:在圆O中,设圆O的半径为r,扇形的面积为12r2,又AOB的面积为12r2sin,扇形AOB的圆心角=2,阴影部分弓形的面积为12r2(-sin)=12r2(2-sin2).若在圆内随机地选一地点,则该地点无信号的概率是P=12r2(2-sin2)r2=2-sin22.故选D.3.“今有池方一丈,葭生其中央,出水一尺,引葭赴岸,适与岸齐.问水深、葭长各几何?”其意思是:有一个正方形的池塘,池塘的边长为一丈,有一棵芦苇生长在池塘的正中央,露出水面一尺,若把它引向岸边,正好与岸边齐(如图所示),问水有多深?芦苇有多长?其中一丈为十尺.若从该芦苇上随机取一点,则该点取自水上的概率为()A.121
3、3B.113C.314D.213答案:B解析:设水深为x尺,根据勾股定理可得(x+1)2=x2+52,解得x=12,则水深12尺,芦苇长13尺.根据几何概型概率公式可得,从该芦苇上随机取一点,该点取自水上的概率为P=113,故选B.4.某人从甲地去乙地共走了500 m,途经一条宽为x m的河流,该人不小心把一件物品丢在途中,若物品掉在河里就找不到,若物品未掉在河里,则能找到,已知该物品能被找到的概率为45,则河宽大约为()A.80 mB.50 mC.40 mD.100 m答案:D解析:由长度型的几何概型公式结合题意可知,河宽大约为5001-45=100(m).5.已知在ABC中,ABC=60,
4、AB=2,BC=6,在BC上任取一点D,则使ABD为钝角三角形的概率为()A.16B.13C.12D.23答案:C解析:如图,当BE=1时,AEB为直角,则点D在线段BE(不包含B,E点)上时,ABD为钝角三角形;当BF=4时,BAF为直角,则点D在线段CF(不包含C,F点)上时,ABD为钝角三角形.故ABD为钝角三角形的概率为1+26=12.6.有一个长、宽分别为50 m,30 m的游泳池,一名工作人员在池边巡视,某时刻出现在池边任一位置的可能性相同.一人在池中心(对角线的交点)处呼唤工作人员,其声音可传出152 m,则工作人员能及时听到呼唤(出现在声音可传到区域)的概率是()A.34B.3
5、8C.316D.12+332答案:B解析:如图,工作人员在池边巡视的长度为160,工作人员能及时听到呼唤的长度为30+30=60,故所求的概率为60160=38.7.若在区间-1,1上随机取一个数x,则sinx4的值介于-12与22之间的概率为()A.14B.13C.23D.56答案:D解析:-1x1,-4x44.由-12sinx422,得-6x44,则-23x1.故所求事件的概率为1-231-(-1)=56.8.2020年2月17日开始,为实现“停课不停学”的目的,张老师每天晚上20:0520:50之间通过班群直播的形式为学生们在线答疑.某天一名高三学生在19:0020:30之间的某个时刻加
6、入群聊,则他等待直播的时间不超过30分钟的概率是.答案:1118解析:由题意,可得该学生在19:00至20:30之间的某个时刻加入群聊,其时间长度为90分钟,要使等待直播的时间不超过30分钟,需在19:35至20:30分之间的任意时刻加入,区间长度为55,由几何概型中的线段型可得所求概率为5590=1118.9.记集合A=(x,y)|x2+y24和集合B=(x,y)|x+y-20,x0,y0表示的平面区域分别为1和2,若在区域1内任取一点M(x,y),则点M落在区域2的概率为.答案:12解析:作圆O:x2+y2=4,区域1就是圆O内部(含边界),其面积为4,区域2就是图中AOB内部(含边界),
7、其面积为2,因此所求概率为24=12.10.(2020山东济南模拟)如图,已知正方形的边长为10,向正方形内随机地撒200颗黄豆,数得落在阴影外的黄豆数为114颗,以此实验数据为依据,可以估计出阴影部分的面积约为.答案:43解析:设阴影外部分的面积为s,则由几何概型的概率公式得s1010=114200,解得s=57,可以估计出阴影部分的面积约为100-57=43.能力提升11.在区间-1,1上随机取一个数k,使直线y=kx+52与圆x2+y2=1不相交的概率为()A.34B.23C.12D.13答案:C解析:要使直线y=kx+52与圆x2+y2=1不相交,应满足52k2+11,解得-12k12
8、,所以在区间-1,1上随机取一个数k,使直线y=kx+52与圆x2+y2=1不相交的概率为P=12+121+1=12.故选C.12.已知函数f(x)=x2+bx+c,其中0b4,0c4.记函数f(x)满足条件f(2)12,f(-2)4为事件A,则事件A发生的概率为()A.14B.58C.12D.38答案:C解析:由题意,得4+2b+c12,4-2b+c4,0b4,0c4,即2b+c-80,2b-c0,0b4,0c4,表示的区域(阴影部分)如图所示,可知阴影部分的面积为8,所以所求概率为12,故选C.13.设点(a,b)是区域x+y-40,x0,y0内的任意一点,则使函数f(x)=ax2-2bx
9、+3在区间12,+内单调递增的概率为.答案:13解析:作出不等式组x+y-40,x0,y0所对应的平面区域如图AOB区域,可知符合条件的点所构成的区域面积为SAOB=1244=8.若函数f(x)=ax2-2bx+3在区间12,+内是单调递增,则a0,-2b2a=ba12,即a0,a-2b0.则A(0,4),B(4,0),由a+b-4=0,a-2b=0得a=83,b=43.即C83,43.则使函数f(x)=ax2-2bx+3在区间12,+内单调递增的点(a,b)所构成的区域为OBC,其面积为12443=83.故所求的概率为838=13.14.如图,在RtABC中,BAC=90,AB=1,BC=2
10、.在边BC上任取一点M,则AMB90的概率为.答案:14解析:如图,在RtABC中,作ADBC,D为垂足,由题意可得BD=12,且点M在BD上时,满足AMB90,故所求概率为BDBC=122=14.15.张先生订了一份报纸,送报人在早上6:307:30之间把报纸送到他家,张先生离开家去上班的时间在早上7:008:00之间,则张先生在离开家之前能得到报纸的概率是.答案:78解析:以横坐标x表示报纸送到时间,纵坐标y表示张先生离家时间,建立平面直角坐标系如图所示.因为随机试验落在正方形区域内任何一点是等可能的,所以符合几何概型.根据题意只要点落到阴影部分,就表示张先生在离开家前能得到报纸,故所求的概率为11-12121211=78.高考预测16.在区间0,5上随机地取一个数x,则事件“12x-14”发生的概率为()A.25B.15C.12D.14答案:A解析:根据题意,因为12x-14,即202x-122,解得1x3,因此事件“12x-14”发生的概率为P=3-15-0=25.故选A.7